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.2019年上海市浦东新区高考数学一模试卷一、填空题(本大题共有12题,满分54分)只要求直接填写结果,1-6题每个空格填对得4分,7-12题每个空格填对得5分,否则一律得零分.1(4分)已知全集UR,集合A(,12,+),则UA 2(4分)抛物线y24x的焦点坐标是 3(4分)不等式0的解为 4(4分)已知复数z满足(1+i)z4i(i为虚数单位),则z的模为 5(4分)若函数yf(x)的图象恒过点(0,1),则函数yf1(x)+3的图象一定经过定点 6(4分)已知数列an为等差数列,其前n项和为Sn若S936,则a3+a4+a8 7(5分)在ABC中,内角A,B,C的对边是a,b,c若,bc,则A 8(5分)已知圆锥的体积为,母线与底面所成角为,则该圆锥的表面积为 9(5分)已知二项式的展开式中,前三项的二项式系数之和为37,则展开式中的第五项为 10(5分)已知函数f(x)2x|x+a|1有三个不同的零点,则实数a的取值范围为 11(5分)已知数列an满足:nan+21007(n1)an+1+2018(n+1)an(nN*),且a11,a22,若,则A 12(5分)已知函数,若对任意的x12,+),都存在唯一的x2(,2),满足f(x1)f(x2),则实数a的取值范围为 二、选择题(本大题共有4题,满分20分)每小题都给出四个选项,其中有且只有一个选项是正确的,选对得5分,否则一律得零分.13(5分)“”是“一元二次方程x2x+a0有实数解”的()A充分非必要条件B充分必要条件C必要非充分条件D非充分非必要条件14(5分)下列命题正确的是()A如果两条直线垂直于同一条直线,那么这两条直线平行B如果一条直线垂直于一个平面内的两条直线,那么这条直线垂直于这个平面C如果一条直线平行于一个平面内的一条直线,那么这条直线平行于这个平面D如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,那么这两个平面平行15(5分)将4位志愿者分配到进博会的3个不同场馆服务,每个场馆至少1人,不同的分配方案有()种A72B36C64D8116(5分)已知点A(1,2),B(2,0),P为曲线上任意一点,则的取值范围为()A1,7B1,7CD三、解答题(本大题共有5题,满分76分)解答下列各题必须写出必要的步骤17(14分)已知直三棱柱A1B1C1ABC中,ABACAA11,BAC90(1)求异面直线A1B与B1C1所成角;(2)求点B1到平面A1BC的距离18(14分)已知函数(1)若角的终边与单位圆交于点,求f()的值;(2)当时,求f(x)的单调递增区间和值域19(14分)某游戏厂商对新出品的一款游戏设定了“防沉迷系统”,规则如下:3小时以内(含3小时)为健康时间,玩家在这段时间内获得的累积经验值E(单位:exp)与游玩时间t(小时)满足关系式:Et2+20t+16a;3到5小时(含5小时)为疲劳时间,玩家在这段时间内获得的经验值为0(即累积经验值不变);超过5小时为不健康时间,累积经验值开始损失,损失的经验值与不健康时间成正比例关系,比例系数为50(1)当a1时,写出累积经验值E与游玩时间t的函数关系式Ef(t),并求出游玩6小时的累积经验值;(2)该游戏厂商把累积经验值E与游玩时间t的比值称为“玩家愉悦指数”,记作H(t);若a0,且该游戏厂商希望在健康时间内,这款游戏的“玩家愉悦指数”不低于24,求实数a的取值范围20(16分)已知双曲线:的左、右焦点分别是F1、F2,左、右两顶点分别是A1、A2,弦AB和CD所在直线分别平行于x轴与y轴,线段BA的延长线与线段CD相交于点P(如图)(1)若是的一条渐近线的一个方向向量,试求的两渐近线的夹角;(2)若|PA|1,|PB|5,|PC|2,|PD|4,试求双曲线的方程;(3)在(1)的条件下,且|A1A2|4,点C与双曲线的顶点不重合,直线CA1和直线CA2与直线l:x1分别相交于点M和N,试问:以线段MN为直径的圆是否恒经过定点?若是,请求出定点的坐标;若不是,试说明理由21(18分)已知平面直角坐标系xOy,在x轴的正半轴上,依次取点A1,A2,A3,An(nN*),并在第一象限内的抛物线上依次取点B1,B2,B3,Bn(nN*),使得Ak1BkAk(kN*)都为等边三角形,其中A0为坐标原点,设第n个三角形的边长为f(n)(1)求f(1),f(2),并猜想f(n)(不要求证明);(2)令an9f(n)8,记tm为数列an中落在区间(9m,92m)内的项的个数,设数列tm的前m项和为Sm,试问是否存在实数,使得2Sm对任意mN*恒成立?若存在,求出的取值范围;若不存在,说明理由;(3)已知数列bn满足:,数列n满足:,求证:2019年上海市浦东新区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题(本大题共有12题,满分54分)只要求直接填写结果,1-6题每个空格填对得4分,7-12题每个空格填对得5分,否则一律得零分.1(4分)已知全集UR,集合A(,12,+),则UA(1,2)【分析】进行补集的运算即可【解答】解:UA(1,2)故答案为:(1,2)【点评】考查区间表示集合的概念,以及补集的运算2(4分)抛物线y24x的焦点坐标是(1,0)【分析】根据题意,由抛物线的标准方程分析可得抛物线的点在x轴正半轴上,且p2,由抛物线的焦点坐标公式计算可得答案【解答】解:根据题意,抛物线y24x的开口向右,其焦点在x轴正半轴上,且p2,则抛物线的焦点坐标为(1,0),故答案为:(1,0)【点评】本题考查抛物线的几何性质,注意分析抛物线的开口方向3(4分)不等式0的解为(4,+)【分析】根据题意,由行列式的计算公式可得log2x2,原不等式变形可得log2x20,解可得x的取值范围,即可得答案【解答】解:根据题意,log2x2,若0,即log2x20,解可得x4,即不等式的解集为(4,+);故答案为:(4,+)【点评】本题考查对数不等式的解法,涉及行列式的计算,属于基础题4(4分)已知复数z满足(1+i)z4i(i为虚数单位),则z的模为2【分析】利用复数的运算法则及其性质即可得出【解答】解:复数z满足(1+i)z4i(i为虚数单位),(1i)(1+i)z4i(1i),则z2i+2则|z|2故答案为:2【点评】本题考查了复数的运算法则及其性质,考查了推理能力与计算能力,属于基础题5(4分)若函数yf(x)的图象恒过点(0,1),则函数yf1(x)+3的图象一定经过定点(1,3)【分析】因为 f(x)的图象恒过(0,1),所以yf1(x) 过(1,0),在上移3个单位得(1,3)【解答】解:因为 f(x)的图象恒过(0,1),所以yf1(x) 过(1,0),所以yf1(x)+3的图象一定经过定点(1,3)故答案为:(1,3)【点评】本题考查了反函数,属基础题6(4分)已知数列an为等差数列,其前n项和为Sn若S936,则a3+a4+a812【分析】由(a1+a9)9a536,得a54,再由a3+a4+a83a1+12d3a5,能求出结果【解答】解:数列an为等差数列,其前n项和为SnS936,(a1+a9)9a536,解得a54,a3+a4+a83a1+12d3a512故答案为:12【点评】本题考查等差数列的三项和的求法,考查等差数列的性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题7(5分)在ABC中,内角A,B,C的对边是a,b,c若,bc,则A【分析】在ABC中,运用余弦定理:cosA,代入计算即可得到【解答】解:cosA,又A(0,),A故答案为:【点评】本题考查余弦定理及运用,考查运算能力,属于基础题8(5分)已知圆锥的体积为,母线与底面所成角为,则该圆锥的表面积为3【分析】设圆锥底面半径AOOBr,则母线长lSA2r,高SOr,则V,求出r1,lSA2,该圆锥的表面积为Srl+r2,由此能求出结果【解答】解:圆锥的体积为,母线与底面所成角为,如图,设圆锥底面半径AOOBr,则母线长lSA2r,高SOr,V,解得r1,lSA2,SO,该圆锥的表面积为Srl+r22+3故答案为:3【点评】本题考查圆锥的表面积的求法,考查圆锥的性质、体积、表面积等基础知识,考查运算求解能力,是基础题9(5分)已知二项式的展开式中,前三项的二项式系数之和为37,则展开式中的第五项为x【分析】由题意利用二项式系数的性质求得n的值,再利用二项展开式的通项公式,求得展开式中的第五项【解答】解:已知二项式的展开式中,前三项的二项式系数之和为 +1+n+37,则n8,故展开式中的第五项为xx,故答案为:x【点评】本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,二项式系数的性质,属于基础题10(5分)已知函数f(x)2x|x+a|1有三个不同的零点,则实数a的取值范围为(,)【分析】由f(x)0,可得x0,可得ax+或ax,由函数的单调性和基本不等式,即可得到所求范围【解答】解:由f(x)0可得2x|x+a|10,即|x+a|有三个正根,可得ax+或ax,由x0,yx+递减,可得方程ax+有一解;由yx2,(x时取得等号),可得a时,ax有两个正根,综上可得a的范围是(,)故答案为:(,)【点评】本题考查函数的零点问题解法,注意运用分离参数法和函数的单调性、基本不等式,考查运算能力,属于中档题11(5分)已知数列an满足:nan+21007(n1)an+1+2018(n+1)an(nN*),且a11,a22,若,则A1009【分析】nan+21007(n1)an+1+2018(n+1)an,a11,a22,可得an0,n1时,1007+,根据已知,对于上式两边取极限可得:A1007+,即可解出【解答】解:nan+21007(n1)an+1+2018(n+1)an,a11,a22,an0,n1时,1007+,0,对于上式两边取极限可得:A1007+,化为:(A1009)(A+2)0,解得A1009故答案为:1009【点评】本题考查了数列极限性质、方程的解法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题12(5分)已知函数,若对任意的x12,+),都存在唯一的x2(,2),满足f(x1)f(x2),则实数a的取值范围为2,6)【分析】由题意可得f(x)在x2的范围包含在x2的范围内,先运用基本不等式求得f(x)在x2的范围,再讨论a2,a2,结合函数的单调性可得f(x)的范围,解a的不等式可得所求范围【解答】解:当x12,+)时,(0,当x2(,2)时,(1)若a2,则在(,2)上是单调递增函数,所以若满足题目要求,则,所以,a24,a6又a2,所以a2,6)(2)若a2,则,f(x)在(,a)上是单调递增函数,此时f(x)(0,1);f(x)在a,2)上是单调递减函数,此时若满足题目要求,则,a2,又a2,所以a2,2)综上,a2,6)故答案为:2,6)【点评】本题考查分段函数的运用,考查任意性和存在性问题解法,注意运用分类讨论思想和转化思想,考查运算能力,属于中档题二、选择题(本大题共有4题,满分20分)每小题都给出四个选项,其中有且只有一个选项是正确的,选对得5分,否则一律得零分.13(5分)“”是“一元二次方程x2x+a0有实数解”的()A充分非必要条件B充分必要条件C必要非充分条件D非充分非必要条件【分析】先求出一元二次方程x2x+a0有实数解的充要条件为a,再判断“a”与”a“的关系即可【解答】解:当一元二次方程x2x+a0有实数解,则:0,即14a0,即a,又”a“能推出“a”,但“a”不能推出”a“,即“”是“一元二次方程x2x+a0有实数解”的充分非必要条件故选:A【点评】本题考查了充分条件、必要条件、充要条件及一元二次方程的解,属简单题14(5分)下列命题正确的是()A如果两条直线垂直于同一条直线,那么这两条直线平行B如果一条直线垂直于一个平面内的两条直线,那么这条直线垂直于这个平面C如果一条直线平行于一个平面内的一条直线,那么这条直线平行于这个平面D如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,那么这两个平面平行【分析】根据空间线面关系的判定定理,性质及几何特征,逐一分析给定四个结论的真假,可得答案【解答】解:如果两条直线垂直于同一条直线,那么这两条直线平行,或相交,或异面,故错误;如果一条直线垂直于一个平面内的两条平行直线,那么这条直线不一定垂直于这个平面,故错误;如果一条平面外直线平行于一个平面内的一条直线,那么这条直线平行于这个平面,但平面内直线不满足条件,故错误;果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,那么这两个平面平行,故正确;故选:D【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体,考查了空间线面关系的判定,难度不大,属于基础题15(5分)将4位志愿者分配到进博会的3个不同场馆服务,每个场馆至少1人,不同的分配方案有()种A72B36C64D81【分析】先从4个人中选出2个作为一个元素看成整体,再把它同另外两个元素在三个位置全排列,根据分步乘法原理得到结果【解答】解:将4位志愿者分配到3个不同场馆服务,每个场馆至少1人,先从4个人中选出2个作为一个元素看成整体,再把它同另外两个元素在三个位置全排列,共有C24A3336故选:B【点评】本题考查排列组合及简单的计数问题,是一个基础题,本题又是一个易错题,排列容易重复,注意做到不重不漏16(5分)已知点A(1,2),B(2,0),P为曲线上任意一点,则的取值范围为()A1,7B1,7CD【分析】结合已知曲线方程,引入参数方程,然后结合和角正弦公式及正弦函数的性质即可求解【解答】解:设P(x,y)则由y可得(y0),令x2cos,(0,(x1,y+2),(1,2),x1+2y+4x+2y+32cossin+34sin()+3,0,1,故选:A【点评】本题主要考查了平面向量数量积的运算及三角函数性质的简单应用,参数方程的应用是求解本题的关键三、解答题(本大题共有5题,满分76分)解答下列各题必须写出必要的步骤17(14分)已知直三棱柱A1B1C1ABC中,ABACAA11,BAC90(1)求异面直线A1B与B1C1所成角;(2)求点B1到平面A1BC的距离【分析】法一:(1)求出,从而BCB1C1,进而A1BC为异面直线A1B与B1C1所成的角或补角,由此能求出异面直线A1B与B1C1所成角(2)设点B1到平面A1BC的距离为h,由,能求出点B1到平面A1BC的距离法二:(1)设异面直线A1B与B1C1所成角为,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出异面直线A1B与B1C1所成角(2)求出平面A1BC的法向量,利用向量法能求出点B1到平面A1BC的距离【解答】解法一:(1)在直三棱柱A1B1C1ABC中,AA1AB,AA1AC,ABACAA11,BAC90所以,2分因为,BCB1C1,所以A1BC为异面直线A1B与B1C1所成的角或补角4分在A1BC中,因为,所以,异面直线A1B与B1C1所成角为7分(2)设点B1到平面A1BC的距离为h,由(1)得,9分,11分因为,12分所以,解得,所以,点B1到平面A1BC的距离为14分解法二:(1)设异面直线A1B与B1C1所成角为,如图建系,则,4分因为,所以,异面直线A1B与B1C1所成角为7分(2)设平面A1BC的法向量为,则又,9分所以,由,得12分所以,点B1到平面A1BC的距离14分【点评】本题考查异面直线所成角的求法,考查点到平面的距离的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查推理能力与计算能力,是中档题18(14分)已知函数(1)若角的终边与单位圆交于点,求f()的值;(2)当时,求f(x)的单调递增区间和值域【分析】(1)利用定义即可求解f()的值;(2)利用三角恒等式公式化简,结合三角函数的性质即可求解,当时,求解内层函数,从而求解值域【解答】解:(1)角的终边与单位圆交于点,;(2)由;由,得,又,所以f(x)的单调递增区间是;,故得f(x)的值域是2,1【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质,利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键19(14分)某游戏厂商对新出品的一款游戏设定了“防沉迷系统”,规则如下:3小时以内(含3小时)为健康时间,玩家在这段时间内获得的累积经验值E(单位:exp)与游玩时间t(小时)满足关系式:Et2+20t+16a;3到5小时(含5小时)为疲劳时间,玩家在这段时间内获得的经验值为0(即累积经验值不变);超过5小时为不健康时间,累积经验值开始损失,损失的经验值与不健康时间成正比例关系,比例系数为50(1)当a1时,写出累积经验值E与游玩时间t的函数关系式Ef(t),并求出游玩6小时的累积经验值;(2)该游戏厂商把累积经验值E与游玩时间t的比值称为“玩家愉悦指数”,记作H(t);若a0,且该游戏厂商希望在健康时间内,这款游戏的“玩家愉悦指数”不低于24,求实数a的取值范围【分析】(1)根据题意即可得到函数的解析式,并求出游玩6小时的累积经验值,(2)根据这款游戏的“玩家愉悦指数”不低于24,求出t+4,再分类讨论,即可求出a的范围【解答】解:(1),当t6时,E(6)35,(2)当0t3时,则,综上,【点评】本题考查了函数在实际生活中的应用,关键求出函数的解析式,属于中档题20(16分)已知双曲线:的左、右焦点分别是F1、F2,左、右两顶点分别是A1、A2,弦AB和CD所在直线分别平行于x轴与y轴,线段BA的延长线与线段CD相交于点P(如图)(1)若是的一条渐近线的一个方向向量,试求的两渐近线的夹角;(2)若|PA|1,|PB|5,|PC|2,|PD|4,试求双曲线的方程;(3)在(1)的条件下,且|A1A2|4,点C与双曲线的顶点不重合,直线CA1和直线CA2与直线l:x1分别相交于点M和N,试问:以线段MN为直径的圆是否恒经过定点?若是,请求出定点的坐标;若不是,试说明理由【分析】(1)可得,从而,即(2)求得即P(3,1 ),从而得A(2,1),C(3,3 )代入双曲线方程知:即可;(3)可得的方程为:,求得,令x1,所以,以MN为直径的圆的方程为:,于是,即可得圆过x轴上两个定点和【解答】解:(1)双曲线的渐近线方程为:即bxay0,所以,2分从而,所以.4分(2)设P(xP,yP),则由条件知:,即P(3,1)6分所以A(2,1),

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