2019年上海市浦东新区高考数学一模试卷.doc

.2019年上海市浦东新区高考数学一模试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分）只要求直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分.1（4分）已知全集UR，集合A（，12，+），则UA 2（4分）抛物线y24x的焦点坐标是 3（4分）不等式0的解为 4（4分）已知复数z满足（1+i）z4i（i为虚数单位），则z的模为 5（4分）若函数yf（x）的图象恒过点（0，1），则函数yf1（x）+3的图象一定经过定点 6（4分）已知数列an为等差数列，其前n项和为Sn若S936，则a3+a4+a8 7（5分）在ABC中，内角A，B，C的对边是a，b，c若，bc，则A 8（5分）已知圆锥的体积为，母线与底面所成角为，则该圆锥的表面积为 9（5分）已知二项式的展开式中，前三项的二项式系数之和为37，则展开式中的第五项为 10（5分）已知函数f（x）2x|x+a|1有三个不同的零点，则实数a的取值范围为 11（5分）已知数列an满足：nan+21007（n1）an+1+2018（n+1）an（nN*），且a11，a22，若，则A 12（5分）已知函数，若对任意的x12，+），都存在唯一的x2（，2），满足f（x1）f（x2），则实数a的取值范围为 二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得5分，否则一律得零分.13（5分）“”是“一元二次方程x2x+a0有实数解”的（）A充分非必要条件B充分必要条件C必要非充分条件D非充分非必要条件14（5分）下列命题正确的是（）A如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行B如果一条直线垂直于一个平面内的两条直线，那么这条直线垂直于这个平面C如果一条直线平行于一个平面内的一条直线，那么这条直线平行于这个平面D如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行15（5分）将4位志愿者分配到进博会的3个不同场馆服务，每个场馆至少1人，不同的分配方案有（）种A72B36C64D8116（5分）已知点A（1，2），B（2，0），P为曲线上任意一点，则的取值范围为（）A1，7B1，7CD三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须写出必要的步骤17（14分）已知直三棱柱A1B1C1ABC中，ABACAA11，BAC90（1）求异面直线A1B与B1C1所成角；（2）求点B1到平面A1BC的距离18（14分）已知函数（1）若角的终边与单位圆交于点，求f（）的值；（2）当时，求f（x）的单调递增区间和值域19（14分）某游戏厂商对新出品的一款游戏设定了“防沉迷系统”，规则如下：3小时以内（含3小时）为健康时间，玩家在这段时间内获得的累积经验值E（单位：exp）与游玩时间t（小时）满足关系式：Et2+20t+16a；3到5小时（含5小时）为疲劳时间，玩家在这段时间内获得的经验值为0（即累积经验值不变）；超过5小时为不健康时间，累积经验值开始损失，损失的经验值与不健康时间成正比例关系，比例系数为50（1）当a1时，写出累积经验值E与游玩时间t的函数关系式Ef（t），并求出游玩6小时的累积经验值；（2）该游戏厂商把累积经验值E与游玩时间t的比值称为“玩家愉悦指数”，记作H（t）；若a0，且该游戏厂商希望在健康时间内，这款游戏的“玩家愉悦指数”不低于24，求实数a的取值范围20（16分）已知双曲线：的左、右焦点分别是F1、F2，左、右两顶点分别是A1、A2，弦AB和CD所在直线分别平行于x轴与y轴，线段BA的延长线与线段CD相交于点P（如图）（1）若是的一条渐近线的一个方向向量，试求的两渐近线的夹角；（2）若|PA|1，|PB|5，|PC|2，|PD|4，试求双曲线的方程；（3）在（1）的条件下，且|A1A2|4，点C与双曲线的顶点不重合，直线CA1和直线CA2与直线l：x1分别相交于点M和N，试问：以线段MN为直径的圆是否恒经过定点？若是，请求出定点的坐标；若不是，试说明理由21（18分）已知平面直角坐标系xOy，在x轴的正半轴上，依次取点A1，A2，A3，An（nN*），并在第一象限内的抛物线上依次取点B1，B2，B3，Bn（nN*），使得Ak1BkAk（kN*）都为等边三角形，其中A0为坐标原点，设第n个三角形的边长为f（n）（1）求f（1），f（2），并猜想f（n）（不要求证明）；（2）令an9f（n）8，记tm为数列an中落在区间（9m，92m）内的项的个数，设数列tm的前m项和为Sm，试问是否存在实数，使得2Sm对任意mN*恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由；（3）已知数列bn满足：，数列n满足：，求证：2019年上海市浦东新区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分）只要求直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分.1（4分）已知全集UR，集合A（，12，+），则UA（1，2）【分析】进行补集的运算即可【解答】解：UA（1，2）故答案为：（1，2）【点评】考查区间表示集合的概念，以及补集的运算2（4分）抛物线y24x的焦点坐标是（1，0）【分析】根据题意，由抛物线的标准方程分析可得抛物线的点在x轴正半轴上，且p2，由抛物线的焦点坐标公式计算可得答案【解答】解：根据题意，抛物线y24x的开口向右，其焦点在x轴正半轴上，且p2，则抛物线的焦点坐标为（1，0），故答案为：（1，0）【点评】本题考查抛物线的几何性质，注意分析抛物线的开口方向3（4分）不等式0的解为（4，+）【分析】根据题意，由行列式的计算公式可得log2x2，原不等式变形可得log2x20，解可得x的取值范围，即可得答案【解答】解：根据题意，log2x2，若0，即log2x20，解可得x4，即不等式的解集为（4，+）；故答案为：（4，+）【点评】本题考查对数不等式的解法，涉及行列式的计算，属于基础题4（4分）已知复数z满足（1+i）z4i（i为虚数单位），则z的模为2【分析】利用复数的运算法则及其性质即可得出【解答】解：复数z满足（1+i）z4i（i为虚数单位），（1i）（1+i）z4i（1i），则z2i+2则|z|2故答案为：2【点评】本题考查了复数的运算法则及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题5（4分）若函数yf（x）的图象恒过点（0，1），则函数yf1（x）+3的图象一定经过定点（1，3）【分析】因为 f（x）的图象恒过（0，1），所以yf1（x） 过（1，0），在上移3个单位得（1，3）【解答】解：因为 f（x）的图象恒过（0，1），所以yf1（x） 过（1，0），所以yf1（x）+3的图象一定经过定点（1，3）故答案为：（1，3）【点评】本题考查了反函数，属基础题6（4分）已知数列an为等差数列，其前n项和为Sn若S936，则a3+a4+a812【分析】由（a1+a9）9a536，得a54，再由a3+a4+a83a1+12d3a5，能求出结果【解答】解：数列an为等差数列，其前n项和为SnS936，（a1+a9）9a536，解得a54，a3+a4+a83a1+12d3a512故答案为：12【点评】本题考查等差数列的三项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题7（5分）在ABC中，内角A，B，C的对边是a，b，c若，bc，则A【分析】在ABC中，运用余弦定理：cosA，代入计算即可得到【解答】解：cosA，又A（0，），A故答案为：【点评】本题考查余弦定理及运用，考查运算能力，属于基础题8（5分）已知圆锥的体积为，母线与底面所成角为，则该圆锥的表面积为3【分析】设圆锥底面半径AOOBr，则母线长lSA2r，高SOr，则V，求出r1，lSA2，该圆锥的表面积为Srl+r2，由此能求出结果【解答】解：圆锥的体积为，母线与底面所成角为，如图，设圆锥底面半径AOOBr，则母线长lSA2r，高SOr，V，解得r1，lSA2，SO，该圆锥的表面积为Srl+r22+3故答案为：3【点评】本题考查圆锥的表面积的求法，考查圆锥的性质、体积、表面积等基础知识，考查运算求解能力，是基础题9（5分）已知二项式的展开式中，前三项的二项式系数之和为37，则展开式中的第五项为x【分析】由题意利用二项式系数的性质求得n的值，再利用二项展开式的通项公式，求得展开式中的第五项【解答】解：已知二项式的展开式中，前三项的二项式系数之和为 +1+n+37，则n8，故展开式中的第五项为xx，故答案为：x【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题10（5分）已知函数f（x）2x|x+a|1有三个不同的零点，则实数a的取值范围为（，）【分析】由f（x）0，可得x0，可得ax+或ax，由函数的单调性和基本不等式，即可得到所求范围【解答】解：由f（x）0可得2x|x+a|10，即|x+a|有三个正根，可得ax+或ax，由x0，yx+递减，可得方程ax+有一解；由yx2，（x时取得等号），可得a时，ax有两个正根，综上可得a的范围是（，）故答案为：（，）【点评】本题考查函数的零点问题解法，注意运用分离参数法和函数的单调性、基本不等式，考查运算能力，属于中档题11（5分）已知数列an满足：nan+21007（n1）an+1+2018（n+1）an（nN*），且a11，a22，若，则A1009【分析】nan+21007（n1）an+1+2018（n+1）an，a11，a22，可得an0，n1时，1007+，根据已知，对于上式两边取极限可得：A1007+，即可解出【解答】解：nan+21007（n1）an+1+2018（n+1）an，a11，a22，an0，n1时，1007+，0，对于上式两边取极限可得：A1007+，化为：（A1009）（A+2）0，解得A1009故答案为：1009【点评】本题考查了数列极限性质、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题12（5分）已知函数，若对任意的x12，+），都存在唯一的x2（，2），满足f（x1）f（x2），则实数a的取值范围为2，6）【分析】由题意可得f（x）在x2的范围包含在x2的范围内，先运用基本不等式求得f（x）在x2的范围，再讨论a2，a2，结合函数的单调性可得f（x）的范围，解a的不等式可得所求范围【解答】解：当x12，+）时，（0，当x2（，2）时，（1）若a2，则在（，2）上是单调递增函数，所以若满足题目要求，则，所以，a24，a6又a2，所以a2，6）（2）若a2，则，f（x）在（，a）上是单调递增函数，此时f（x）（0，1）；f（x）在a，2）上是单调递减函数，此时若满足题目要求，则，a2，又a2，所以a2，2）综上，a2，6）故答案为：2，6）【点评】本题考查分段函数的运用，考查任意性和存在性问题解法，注意运用分类讨论思想和转化思想，考查运算能力，属于中档题二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得5分，否则一律得零分.13（5分）“”是“一元二次方程x2x+a0有实数解”的（）A充分非必要条件B充分必要条件C必要非充分条件D非充分非必要条件【分析】先求出一元二次方程x2x+a0有实数解的充要条件为a，再判断“a”与”a“的关系即可【解答】解：当一元二次方程x2x+a0有实数解，则：0，即14a0，即a，又”a“能推出“a”，但“a”不能推出”a“，即“”是“一元二次方程x2x+a0有实数解”的充分非必要条件故选：A【点评】本题考查了充分条件、必要条件、充要条件及一元二次方程的解，属简单题14（5分）下列命题正确的是（）A如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行B如果一条直线垂直于一个平面内的两条直线，那么这条直线垂直于这个平面C如果一条直线平行于一个平面内的一条直线，那么这条直线平行于这个平面D如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行【分析】根据空间线面关系的判定定理，性质及几何特征，逐一分析给定四个结论的真假，可得答案【解答】解：如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行，或相交，或异面，故错误；如果一条直线垂直于一个平面内的两条平行直线，那么这条直线不一定垂直于这个平面，故错误；如果一条平面外直线平行于一个平面内的一条直线，那么这条直线平行于这个平面，但平面内直线不满足条件，故错误；果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行，故正确；故选：D【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了空间线面关系的判定，难度不大，属于基础题15（5分）将4位志愿者分配到进博会的3个不同场馆服务，每个场馆至少1人，不同的分配方案有（）种A72B36C64D81【分析】先从4个人中选出2个作为一个元素看成整体，再把它同另外两个元素在三个位置全排列，根据分步乘法原理得到结果【解答】解：将4位志愿者分配到3个不同场馆服务，每个场馆至少1人，先从4个人中选出2个作为一个元素看成整体，再把它同另外两个元素在三个位置全排列，共有C24A3336故选：B【点评】本题考查排列组合及简单的计数问题，是一个基础题，本题又是一个易错题，排列容易重复，注意做到不重不漏16（5分）已知点A（1，2），B（2，0），P为曲线上任意一点，则的取值范围为（）A1，7B1，7CD【分析】结合已知曲线方程，引入参数方程，然后结合和角正弦公式及正弦函数的性质即可求解【解答】解：设P（x，y）则由y可得（y0），令x2cos，（0，（x1，y+2），（1，2），x1+2y+4x+2y+32cossin+34sin（）+3，0，1，故选：A【点评】本题主要考查了平面向量数量积的运算及三角函数性质的简单应用，参数方程的应用是求解本题的关键三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须写出必要的步骤17（14分）已知直三棱柱A1B1C1ABC中，ABACAA11，BAC90（1）求异面直线A1B与B1C1所成角；（2）求点B1到平面A1BC的距离【分析】法一：（1）求出，从而BCB1C1，进而A1BC为异面直线A1B与B1C1所成的角或补角，由此能求出异面直线A1B与B1C1所成角（2）设点B1到平面A1BC的距离为h，由，能求出点B1到平面A1BC的距离法二：（1）设异面直线A1B与B1C1所成角为，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线A1B与B1C1所成角（2）求出平面A1BC的法向量，利用向量法能求出点B1到平面A1BC的距离【解答】解法一：（1）在直三棱柱A1B1C1ABC中，AA1AB，AA1AC，ABACAA11，BAC90所以，2分因为，BCB1C1，所以A1BC为异面直线A1B与B1C1所成的角或补角4分在A1BC中，因为，所以，异面直线A1B与B1C1所成角为7分（2）设点B1到平面A1BC的距离为h，由（1）得，9分，11分因为，12分所以，解得，所以，点B1到平面A1BC的距离为14分解法二：（1）设异面直线A1B与B1C1所成角为，如图建系，则，4分因为，所以，异面直线A1B与B1C1所成角为7分（2）设平面A1BC的法向量为，则又，9分所以，由，得12分所以，点B1到平面A1BC的距离14分【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，是中档题18（14分）已知函数（1）若角的终边与单位圆交于点，求f（）的值；（2）当时，求f（x）的单调递增区间和值域【分析】（1）利用定义即可求解f（）的值；（2）利用三角恒等式公式化简，结合三角函数的性质即可求解，当时，求解内层函数，从而求解值域【解答】解：（1）角的终边与单位圆交于点，；（2）由；由，得，又，所以f（x）的单调递增区间是；，故得f（x）的值域是2，1【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键19（14分）某游戏厂商对新出品的一款游戏设定了“防沉迷系统”，规则如下：3小时以内（含3小时）为健康时间，玩家在这段时间内获得的累积经验值E（单位：exp）与游玩时间t（小时）满足关系式：Et2+20t+16a；3到5小时（含5小时）为疲劳时间，玩家在这段时间内获得的经验值为0（即累积经验值不变）；超过5小时为不健康时间，累积经验值开始损失，损失的经验值与不健康时间成正比例关系，比例系数为50（1）当a1时，写出累积经验值E与游玩时间t的函数关系式Ef（t），并求出游玩6小时的累积经验值；（2）该游戏厂商把累积经验值E与游玩时间t的比值称为“玩家愉悦指数”，记作H（t）；若a0，且该游戏厂商希望在健康时间内，这款游戏的“玩家愉悦指数”不低于24，求实数a的取值范围【分析】（1）根据题意即可得到函数的解析式，并求出游玩6小时的累积经验值，（2）根据这款游戏的“玩家愉悦指数”不低于24，求出t+4，再分类讨论，即可求出a的范围【解答】解：（1），当t6时，E（6）35，（2）当0t3时，则，综上，【点评】本题考查了函数在实际生活中的应用，关键求出函数的解析式，属于中档题20（16分）已知双曲线：的左、右焦点分别是F1、F2，左、右两顶点分别是A1、A2，弦AB和CD所在直线分别平行于x轴与y轴，线段BA的延长线与线段CD相交于点P（如图）（1）若是的一条渐近线的一个方向向量，试求的两渐近线的夹角；（2）若|PA|1，|PB|5，|PC|2，|PD|4，试求双曲线的方程；（3）在（1）的条件下，且|A1A2|4，点C与双曲线的顶点不重合，直线CA1和直线CA2与直线l：x1分别相交于点M和N，试问：以线段MN为直径的圆是否恒经过定点？若是，请求出定点的坐标；若不是，试说明理由【分析】（1）可得，从而，即（2）求得即P（3，1 ），从而得A（2，1），C（3，3 ）代入双曲线方程知：即可；（3）可得的方程为：，求得，令x1，所以，以MN为直径的圆的方程为：，于是，即可得圆过x轴上两个定点和【解答】解：（1）双曲线的渐近线方程为：即bxay0，所以，2分从而，所以.4分（2）设P（xP，yP），则由条件知：，即P（3，1）6分所以A（2，1），