一元一次方程应用题全部解法.ppt

应用题的解法很多 以下几种 1 列表法2 图示法3 演示法4 实践法 2020 3 24 1 数学 设未知数的技巧 1 设直接未知数 即求什么设什么 2 设间接未知数 3 设辅助未知数 即 设而不求 2020 3 24 2 数学 在列方程解决实际问题的过程应注意哪些问题 1 设未知数时 要仔细分析问题中的数量关系 找出题中的已知条件和未知数 一般采用直接设法 有些问题可用间接设法 要注意未知数的单位 不要漏写 2 找等量关系时 可借助图表分析题中的数量关系 列出两个代数式 使它们都表示一个相等或相同的量 3 列方程时 要注意方程各项是同类量 单位要一致 方程左右两边应是等量 4 解出方程的解后 要验证它的合理性 再解释它的意义 并要注意单位 5 在解决实际问题的过程中 你是怎样判断一个方程的解是否合理 请举例说明 2020 3 24 3 数学 列方程解应用题步骤 5 检查所得的值是否正确和符合实际情形 并写出答案 包括单位名称 1 弄清题意 用字母 如X 表示问题里的未知数 2 分析题意 找出相等关系 可借助于示意图 表格 3 根据相等关系 列出需要的代数式 从而列出方程 注意 左右两边单位统一 已知条件都要用上 4 解这个方程 求出未知数的值 2020 3 24 4 数学 列一元一次方程解应用题专题 专题一 和差倍分问题专题二 利润率问题专题三 储蓄问题专题四 工程问题专题五 行程问题专题六 规律问题专题七 等积变形 比例专题八 浓度问题专题九 鸡兔同笼问题专题十 年龄问题专题十一 数字问题应用举例 2020 3 24 5 数学 专题一 和差倍分问题 此问题中常用 多 少 大 小 几分之几 或 增加 减少 缩小 等等词语体现等量关系 审题时要抓住关键词 确定标准量与比校量 并注意每个词的细微差别 类似于 甲乙两数之和56 甲比乙多3 乙是甲的1 3 求甲乙各多少 这样的问题就是和倍问题 问题的特点是 已知两个量之间存在合倍差关系 可以求这两个量的多少 基本方法是 以和倍差中的一种关系设未知数并表示其他量 选用余下的关系列出方程 2020 3 24 6 数学 例1 甲班有45人 乙班有39人 现在需要从甲 乙两班各抽调一些同学去参加歌咏比赛 如果甲班抽调的人数比乙班多1人 那么甲班剩余的人数恰好是乙班剩余人数的2倍 问从甲 乙两班各抽调了多少人参加歌咏比赛 2020 3 24 7 数学 例2 1 三个连续偶数的和是30 求他们的积 2 一个两位数 个位上的数字比十位上的数字大5 且个位上的数字与十位上的数字的和比这个两位数的1 7大6 求这个两位数 2020 3 24 8 数学 例3 为了把2013年沈阳全运会举办成一届绿色全运会 实验中学和潞河中学的同学积极参加绿化工程的劳动 两校共绿化了4415平方米的土地 潞河中学绿化的面积比实验中学绿化面积的2倍少13平方米 这两所中学分别绿化了多少面积 2020 3 24 9 数学 例4 出租汽车4千米起价10元 行驶4千米以后 每千米收费1 2元 不足1千米按1千米计算 张天和张智要到离学校15千米的博物馆为同学们联系参观事宜 为了尽快到达博物馆 他们想坐出租车 如果他们只有22元 那么 他们乘出租车能直接到达博物馆吗 2020 3 24 10 数学 例5 本市中学生足球赛中 某队共参加了8场比赛 保持不败的记录 积18分 记分规则是 胜一场得3分 平一场得1分 负一场得0分 你知道这个胜了几场 又平了几场吗 2020 3 24 11 数学 用白铁皮做罐头盒 每张铁皮可制造盒身18个 或制造盒底45个 一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒 现有180张白铁皮 用多少张制造盒身 多少张制造盒底 可以制成整套罐头盒 练习1 2020 3 24 12 数学 练习2 某城市按以下规定收取每月的煤气费 用煤气如果不超过60立方米 按每立方米0 8元收费 如果超过60立方米 超出部分按每立方米1 2元收费 已知 某用户4月份的煤气费平均每立方米0 88元 求该用户4月份应交的煤气费 2020 3 24 13 数学 练习3 我国很多城市水资源缺乏 为了加强居民的节水意识 合理利用水资源 很多城市制定了用水标准 A城市规定每户每月的标准用水量 不超过标准用水量的部分按每立方米1 2元收费 超过标准用水量的部分按每立方米3元收费 该市张大爷家5月份用水9立方米 需交费16 2元 A城市规定的每户每月标准用水量是多少立方米 2020 3 24 14 数学 解 设该市每户每月用水标准量为x立方米 1 2 9 10 8 元 10 8 16 2 张大爷家的用水量超出了标准用水量 即x 9根据题意得1 2x 9 x 3 16 2解这个方程 得x 6答 该市每户每月的标准用水量是6立方米 2020 3 24 15 数学 二 百分率应用题 2020 3 24 16 数学 2020 3 24 17 数学 1 打折销售 主要内容 利润 售价 进价 售价 标价 折数 10 利润率 利润 进价 100 例题 一商店把货品按标价的九折出售 仍可获利12 5 若货品近价为380元 则标价为多少元 例题 一商店经销一种商品 由于进货价格降低了6 4 使得利润率提高了8个百分点 求原来经销这种商品的利润率 例题 编一道 打折销售 的应用题 并能列方程 1 40 80 x x 270来解答 2020 3 24 18 数学 例1小颖的服装店同时卖出两套服装 每套均为168元 按成本计算 其中一套盈利20 另一套亏本20 请你帮小颖算算 在这次买卖中是亏了还是赚了 还是不亏不赚 2020 3 24 19 数学 例2 某商品按定价销售 每个可获利45元 现在按定价的8 5折出售8个所能获得的利润与按定价每个减价35元出售12个所获得利润一样 问这种商品每个的进价 定价各是多少元 2020 3 24 20 数学 例3 商店对某种商品进行调价 按标价的8折出售 此时商品的利润率是10 此商品进价是1600元 求商品的标价是多少元 2020 3 24 21 数学 2 增长率应用题 例1某工厂食堂第三季度一共节煤7400斤 其中八月份比七月份多节约20 九月份比八月份多节约25 问该厂食堂九月份节约煤多少公斤 依题意得 x 1 20 x 1 20 1 25 x 7400 答 该食堂九月份节约煤3000公斤 间接设元 解 设七月份节约煤x公斤 则八月份节约煤 1 20 x公斤 九月份节约煤 1 20 1 25 x公斤 x 2000 1 20 1 25 x 3000 2020 3 24 22 数学 例2 春节前某商场搞促销活动 降价销售 把原定价为3860的彩电以9折优惠出售 但仍可获利25 的利润 那么这种彩电的进价是多少元 2020 3 24 23 数学 例3 某商店在销售商品时 先按进价的150 标价后 为了吸引消费者 再按8折销售 此时每件仍可获利120元 那么商品的进价为多少元 2020 3 24 24 数学 例4 某商品把一个书包按进价提高50 标价 然后再按8折出售 这样商场每卖出一个书包就可盈利8元 这种书包的进价是多少元 若按6折出售 商场还盈利吗 为什么 2020 3 24 25 数学 例5 某商店里某种商品的进价是1000元 标价是2000元 商店要求以利润率不低于20 的价格出售 则售货员最低可以打几折出售此商品 2020 3 24 26 数学 练习1 某商场对顾客实行优惠 规定 一次购物低于200元 不予折扣 一次购物超过200元 但不超过500元的 按标价给予9折优惠 如果一次购物超过500元 按标价给予8 5折优惠 某人去商场购物两次 分别付款168元和430元 如果他合起来一次购买同样的商品 他可以节约多少钱 2020 3 24 27 数学 练习2学校准备添置一批课桌椅 原订购60套 每套100元 店方表示 如果多购可以优惠 结果校方购了72套 每套减价3元 但商店获得同样多的利润 求每套课桌椅的成本是多少 直接设元 解 设每套课桌椅的成本价为x元 依题意得 60 100 x 72 100 3 x x 82 答 每套课桌椅的成本是82元 等量关系 60套时总利润 72套时总利润 2020 3 24 28 数学 练习3 某商店经销一种商品 由于进货价降低了5 售出价不变 使得利润率有原来的m 提高到 m 6 求m的值 分析 等量关系是售出价不变 两种不同利润率下的售价各如何表示 成本我们可以设为 1 解 1 m 1 5 1 m 6 解得 m 14 2020 3 24 29 数学 练习4某套女装进价为300元 标价为600元 现要打8折出售 求此时利润为多少钱 利润率为多少 练习5某人以9折优惠价买了一台电脑 省1000元钱 那么买这台电脑实际花了 元钱 练习6某种MP3原来每个480元 降价后每个售价420元 则降价的百分数是 练习7某商品标价1375元 打8折售出 仍可获利10 则该商品的进价是 元 2020 3 24 30 数学 练习8 已知 商店中某个玩具的进价为40元 标价为60元 若按标价出售该玩具 则所得的利润及利润率分别是多少 若顾客在与店主还价时 店主要保住15 的利润率 则店主出售这个玩具的售价底线是多少元 若店主为吸引顾客 把这个玩具的标价提高10 后 再贴出打8 8折的告示 则这个玩具的实际售价是多少元 若店主设法将进价降低10 标价不变 而贴出打8 8折的告示 则出售这个玩具的利润及利润率分别是多少 2020 3 24 31 数学 银行储蓄问题 其数量关系是 利息 本金 利率 存期 本息 本金 利息 利息税 利息 利息税率 注意利率有日利率 月利率和年利率 年利率 月利率 12 日利率 365 2020 3 24 32 数学 例1 小颖的父母存三年期教育储蓄 三年后取出了5000元钱 你能求出本金是多少吗 2020 3 24 33 数学 例2 小丽的爸爸前年存了年利率为2 25 的二年期定储蓄 今年到期后 扣除利息的20 作为利息税 所得利息正好为小丽买了一只价值36元的计算器 问小丽爸爸前年存了多少元钱 2020 3 24 34 数学 例35年定期储蓄的年利率为2 88 若存入5年定期的本金是1000元 请计算存款到期时 应得的本利和是多少 2020 3 24 35 数学 例4 王利到银行存入5年定期的储蓄若干元 到期后一共缴了72元的利息税 若这种储蓄的年利率为2 4 求王利当初存入银行多少元 2020 3 24 36 数学 例5 小明的父亲到银行存入一笔钱 3年期满后共从银行取出2632元 若这种储蓄的年利率为2 2 求他当初存入了多少元 2020 3 24 37 数学 例6 李阿姨买了20000元某公司1年的债务 1年后除了20 的利息税之后得到本利和为20800元 请问这种债券的年利率是多少 2020 3 24 38 数学 例7 某人到银行按两种不同的储蓄方式存入了人名币各5000元 一种为3年期的定期存储 另一种为5年期的定期存储 他计算了一下 到期时 他可得税后利息700元 已知 这两种储蓄的年利率之和为4 3 求这两种储蓄的年利率各是多少 2020 3 24 39 数学 例8 2010年 为了准备小明6年后上大学的学费50000元 他的父母现在就参加了教育储蓄 下面是两种储蓄的方式 直接存一个6年期 先存一个3年期 3年后将本利和自动转存 已知 三年定期储蓄的年利率为3 24 六年定期储蓄的年利率为3 60 你认为哪种储蓄方式开始存入的本金较少 注 教育储蓄不扣利息税 2020 3 24 40 数学 专题四 工程问题 其基本数量关系 工作总量 工作效率 工作时间 合做的效率 各单独做的效率的和 当工作总量未给出具体数量时 常设总工作量为 1 分析时可采用列表或画图来帮助理解题意 2020 3 24 41 数学 四 工程问题中的数量关系 1 工作效率 2 工作总量 工作效率 工作时间 3 工作时间 4 各队合作工作效率 各队工作效率之和 5 全部工作量之和 各队工作量之和 2020 3 24 42 数学 例1修筑一条公路 甲工程队单独承包要80天完成 乙工程队单独承包要120天完成1 现在由两个工程队合作承包 几天可以完成 2 如果甲 乙两工程队合作了30天后 因甲工作队另有任务 剩下工作由乙工作队完成 则修好这条公路共需要几天 解 1 设两工程队合作需要x天完成 2 设修好这条公路共需要y天完成 等量关系 甲30天工作量 乙队y天的工作量 1 答 两工程队合作需要48天完成 修好这条公路还需75天 等量关系 甲工作量 乙工作量 1 依题意得 依题意得 y 75 x 48 2020 3 24 43 数学 例2已知开管注水缸 10分钟可满 拨开底塞 满缸水20分钟流完 现若管 塞同开 若干时间后 将底塞塞住 又过了2倍的时间才注满水缸 求管塞同开的时间是几分钟 分析 设两管同开x分钟 等量关系 注入量 放出量 缸的容量 依题意得 x 4答 管塞同开的时间为4分钟 x 2x 3x 分钟 x 分钟 2020 3 24 44 数学 解 设再经过x小时水槽里的水恰好等于水槽的 等量关系 甲管流进水的水 乙管流出的水 水槽的 依题意得 答 再经过小时水槽里的水恰好是水槽容量的 2020 3 24 45 数学 例4一个水池装甲 乙 丙三根水管 单开甲管10小时可注满水池 单开乙管15小时可注满 单开丙管20小时可注满 现在三管齐开 中途甲管关闭 结果6小时把水池注满 问甲管实际开了几个小时 解 设甲管实际开了x小时等量关系 甲管x小时的工作量 乙 丙两管同开6小时的工作量 1 答 甲管实际开了3小时 依题意得 x 3 2020 3 24 46 数学 等量关系 4天的工作量 改进后 x 4 工作量 0 5 解 设一共x天可以修完它的一半 依题意得 4 x 4 0 5 答 一共天可以修完它的一半 例5 分析 x 2020 3 24 47 数学 例6 一项工程 甲队单独施工20天完成 乙队单独施工30天完成 若甲乙两队合干 需要几天完成 2020 3 24 48 数学 例7 一项工程 甲队单独施工15天完成 乙队单独施工9天完成 现在由甲队先工作3天 剩下的由甲乙两队合作 还需几天完成 2020 3 24 49 数学 例8一项工程 甲队单独施工15天完成 乙队单独施工10天完成 现在两队合干 4天后乙队接到命令到另外一个地方工作去了 问甲队还需几天完成 2020 3 24 50 数学 例9 某项工程 甲队单独施工10天完成 乙队单独施工15天完成 若甲先干2天半 然后甲乙合作完成此项剩余的工作 求甲一共做了几天 2020 3 24 51 数学 例10 小王原计划13小时生产一批零件 后因每小时多生产10件 用12小时不但完成了任务 而且还比原计划多生产了60件 问原计划生产多少个零件 2020 3 24 52 数学 练习1 刘师傅要加工一批零件 计划5小时完成 若每小时多加工3个 就可以提前1小时完成 求这批零件一共多少个 2020 3 24 53 数学 练习2 一个水池 有甲 乙 丙三个水管 甲 乙两个水管是进水管 丙是排水管 单开甲管12分钟就可以将水池注满 单开乙管15分钟就可以将水池注满 单开丙管20分钟就可以将一池的水放光 现在 先将甲管打开 6分钟后三管齐开 问过几分钟可以注满水池的9 10 2020 3 24 54 数学 练习3 有一件工程 由甲 乙两个工程队共同合作完成 工期不得超过8天 甲队单独做需要10天才能完成 乙队单独做需要12天 现在甲 乙两队合作3天后 乙队接到新任务要去另一个工地 由甲队单独工作 问此工程能否按期完成 2020 3 24 55 数学 练习4 有两只蜡烛 长短粗细各不相同 长的能点7小时 短的能点10小时 同时点燃4小时后 两支蜡烛长度正好相等 问长蜡烛长度是短蜡烛长度的多少倍 2020 3 24 56 数学 专题五 行程问题 要掌握行程中的基本关系 路程 速度 时间 相遇问题 相向而行 相等关系是 各人走路之和等于总路程或同时走时两人所走的时间相等为等量关系 追及问题 同向而行 等量关系是 两人的路程差等于追及的路程或以追及时间为等量关系 环形跑道上的相遇和追及问题 同地反向而行的等量关系是两人走的路程和等于一圈的路程 同地同向而行的等量关系是两人所走的路程差等于一圈的路程 航行问题 速度关系是 顺水速度 静水中速度 水流速度 逆水速度 静水中速度 水流速度 飞行问题 基本等量关系 顺风速度 无风速度 风速 逆风速度 无风速度 风速行程问题可以采用画示意图的辅助手段来帮助理解题意 并注意两者运动时出发的时间和地点 2020 3 24 57 数学 一 明确行程问题中三个量的关系 三个基本量关系是 速度 时间 路程 分析方法辅助手段 线型图示法 相遇问题 甲的路程 乙的路程 全程 追及问题 1 同地不同时 慢者行程 先行路程 快者路程 2 同时不同地 快者路程 慢者行程 间隔距离 2020 3 24 58 数学 例1 甲 乙两车从A B两地于上午8点钟同时出发 相向而行 已知甲的速度比乙快2千米 时 到上午10时两车还相距36千米 又过了两小时后 两车又相距36千米 1 求甲乙两地间的距离与两车的速度 2 若甲乙两车分别从A B两地同时相向而行 到B A两地后立即返回 求两车第一次相遇和第二次相遇所走的时间是多少 2020 3 24 59 数学 分析 甲 乙 2020 3 24 60 数学 分析 甲 乙 2020 3 24 61 数学 分析 甲 乙 2020 3 24 62 数学 分析 甲 乙 2020 3 24 63 数学 分析 甲 乙 2020 3 24 64 数学 分析 甲 乙 2020 3 24 65 数学 分析 甲 乙 2020 3 24 66 数学 分析 甲 乙 2020 3 24 67 数学 分析 甲 乙 2020 3 24 68 数学 分析 甲 乙 2020 3 24 69 数学 分析 甲 乙 2020 3 24 70 数学 分析 甲 乙 2020 3 24 71 数学 分析 甲 乙 2020 3 24 72 数学 分析 甲 乙 36千米 A B 甲 乙 甲行2小时的路程 S1 乙行2小时的路程 s2 甲 乙 36千米 2020 3 24 73 数学 分析 甲 乙 2020 3 24 74 数学 分析 甲 乙 2020 3 24 75 数学 分析 甲 乙 2020 3 24 76 数学 分析 甲 乙 2020 3 24 77 数学 分析 甲 乙 2020 3 24 78 数学 分析 甲 乙 2020 3 24 79 数学 分析 甲 乙 2020 3 24 80 数学 分析 甲 乙 2020 3 24 81 数学 分析 甲 乙 2020 3 24 82 数学 分析 甲 乙 2020 3 24 83 数学 分析 甲 乙 2020 3 24 84 数学 分析 甲 乙 2020 3 24 85 数学 分析 甲 乙 A B 甲行2小时的路程 乙行2小时的路程 36千米 36千米 A B 甲行2小时的路程 S1 乙行2小时的路程 s2 甲 乙 36千米 甲 乙 2020 3 24 86 数学 解 设乙车速度为X千米 时 则甲车速度为 X 2 千米 时 依题意列方程 2X 2 X 2 72解得X 17 X 2 19 A B两地距离为 72 36 108 答 A B两地距离是108千米 甲车速度为19千米 时 乙车速度为17千米 时 相等关系 前2小时所行驶的路程 后2小时所行驶的路程 2020 3 24 87 数学 分析 甲 乙 2020 3 24 88 数学 分析 甲 乙 2020 3 24 89 数学 分析 甲 乙 2020 3 24 90 数学 分析 甲 乙 2020 3 24 91 数学 分析 甲 乙 2020 3 24 92 数学 分析 甲 乙 2020 3 24 93 数学 分析 甲 乙 2020 3 24 94 数学 分析 甲 乙 2020 3 24 95 数学 分析 甲 乙 2020 3 24 96 数学 分析 甲 乙 2020 3 24 97 数学 分析 甲 乙 2020 3 24 98 数学 分析 甲 乙 2020 3 24 99 数学 分析 甲 乙 2020 3 24 100 数学 分析 甲 乙 2020 3 24 101 数学 分析 甲 乙 2020 3 24 102 数学 分析 甲 乙 2020 3 24 103 数学 分析 甲 乙 2020 3 24 104 数学 分析 甲 乙 2020 3 24 105 数学 分析 甲 乙 2020 3 24 106 数学 分析 甲 乙 2020 3 24 107 数学 分析 甲 乙 2020 3 24 108 数学 分析 甲 乙 2020 3 24 109 数学 分析 甲 乙 A B 第二次相遇甲所行驶的路程 第二次相遇乙所行驶的路程 由以上分析可知 第一次相遇两车共行驶的路程为1个AB 到第二次相遇两车共行驶的路程为3个AB 2020 3 24 110 数学 设第一次相遇为y小时 19y 17y 108 解得y 3 设第二次相遇为a小时 19a 17a 108 3 解得a 9 答 第一次相遇所行驶的时间为3小时 第二次相遇所行驶的时间为9小时 注意 一题中的几个小题 前题的结论可作后题的已知条件 相等关系 第一次相遇两车行驶路程和 108千米 第二次相遇两车行驶路程和 108 3千米 2020 3 24 111 数学 发散思维 例1的变式思考 1 若两车相向而行 问何时两车相距36千米 有两解 2 若两车在72千米的环形公路上 同时 同地 反向而行 甲车速19千米 时 乙车速17千米 时 问两车经过多少时间相遇 3 若两车在72千米的环形公路上 同时 同地 同向而行 甲车速19千米 时 乙车速17千米 时 当它们第一次相遇时需要多少时间 2020 3 24 112 数学 练习 辅助教材P57B组2 A组8 1 某学生总是以每小时5千米的速度行走 可以及时从家里走到学校 有一次他走了全程的三分之一后 搭上速度是每小时20千米的汽车 因此比原来提前2小时到校 他家离学校多远 分析 画示意图 家 学校 步行 5千米 时 家 学校 步行 5千米 时 乘车 20千米 时 2020 3 24 113 数学 相等关系 1 学生单独走的路程 学生步行和乘车所行路程和 2 学生单独走的时间 2小时 学生单独走三分之一路程的时间 乘车的时间 解法一 设学生单独走准时到校所用时间为t小时 5t 5 20 t 2 t t 3 3 解得t 4 5 4 20答 他家离学校20千米 2020 3 24 114 数学 解法二 设两地相距S千米 2 S 3 5 3 1 S 3 2 S 20 解得 S 20答 两地相距20千米 2020 3 24 115 数学 例2 甲 乙两地相距162公里 一列慢车从甲站开出 每小时走48公里 一列快车从乙站开出 每小时走60公里试问 1 两列火车同时相向而行 多少时间可以相遇 2 两车同时反向而行 几小时后两车相距270公里 3 若两车相向而行 慢车先开出1小时 再用多少时间两车才能相遇 4 若两车相向而行 快车先开25分钟 快车开了几小时与慢车相遇 5 两车同时同向而行 快车在后面 几小时后快车可以追上慢车 6 两车同时同向而行 慢车在后面 几小时后两车相距200公里 2020 3 24 116 数学 例3 从甲地到乙地 水路比公路近40千米 上午十时 一艘轮船从甲地驶往乙地 下午1时一辆汽车从甲地驶往乙地 结果同时到达终点 已知轮船的速度是每小时24千米 汽车的速度是每小时40千米 求甲 乙两地水路 公路的长 以及汽车和轮船行驶的时间 解 设水路长为x千米 则公路长为 x 40 千米 等量关系 船行时间 车行时间 3小时 答 水路长240千米 公路长为280千米 车行时间为7小时 船行时间为10小时 依题意得 x 40 280 x 240 2020 3 24 117 数学 例4某连队从驻地出发前往某地执行任务 行军速度是6千米 小时 18分钟后 驻地接到紧急命令 派遣通讯员小王必须在一刻钟内把命令传达到该连队 小王骑自行车以14千米 小时的速度沿同一路线追赶连队 问是否能在规定时间内完成任务 等量关系 小王所行路程 连队所行路程 答 小王能在指定时间内完成任务 解 设小王追上连队需要x小时 则小王行驶的路程为14x千米 连队所行路程是千米 依题意得 2020 3 24 118 数学 例5一列客车和一列货车在平行的轨道上同向行驶 客车的长是200米 货车的长是280米 客车的速度与货车的速度比是5 3 客车赶上货车的交叉时间是1分钟 求各车的速度 若两车相向行驶 它们的交叉时间是多少分钟 解 设客车的速度是5x米 分 则货车的速度是3x米 分 依题意得 5x 3x 280 200 x 240 5x 1200 3x 720 设两车相向行驶的交叉时间为y分钟 依题意得 1200y 720y 280 200 y 0 25 2020 3 24 119 数学 例6 一架飞机飞行两城之间 顺风时需要5小时30分钟 逆风时需要6小时 已知风速为每小时24公里 求两城之间的距离 等量关系 顺风时飞机行驶的路程 逆风时飞机行驶的路程 答 两城之间的距离为3168公里 注 飞行问题也是行程问题 同水流问题一样 飞行问题的等量关系有 顺风飞行速度 飞机本身速度 风速逆风飞行速度 飞机本身速度 风速 5 5 x 24 6 x 24 解得 x 552 解 静风的速度为x公里 小时 由题意得 6 x 24 3168 2020 3 24 120 数学 练习1 甲 乙两人环绕周长是400米的跑道散步 如果两人从同一地点背道而行 那么经过2分钟他们两人就要相遇 如果2人从同一地点同向而行 那么经过20分钟两人相遇 如果甲的速度比乙的速度快 求两人散步的速度 等量关系 甲行的路程 乙行的路程 环形周长 注 同时同向出发 快车走的路程 环行跑道周长 慢车走的路程 第一次相遇 同时反向出发 甲走的路程 乙走的路程 环行周长 第一次相遇 练习2 甲乙两人从同一村庄步行去县城 甲比乙早1小时出发 而晚1小时到达 甲每小时走4千米 乙每小时走6千米 求村庄到县城的距离 2020 3 24 121 数学 练习3 甲乙两人从同一村庄步行去县城 甲比乙早1小时出发 而晚1小时到达 甲每小时走4千米 乙每小时走6千米 求村庄到县城的距离 2020 3 24 122 数学 练习4 两地相距28公里 小明以15公里 小时的速度 小亮以30公里 小时的速度 分别骑自行车和开汽车从同一地前往另一地 小明先出发1小时 小亮几小时后才能追上小明 解 设小亮开车x小时后才能追上小明 则小亮所行路程为30 x公里 小明所行路程为15 x 1 等量关系 小亮所走路程 小明所走路程 依题意得 30 x 15 x 1 x 1 检验 两地相距28公里 在两地之间 小亮追不上小明 2020 3 24 123 数学 练习5 张宏从家去上学 若每小时行5千米 恰好按时到校 当她行到与学校还有1 3千米的路程时 发现有件东西忘了 立即沿原路原速回家 到家后立即骑车以15千米 时的速度去学校 结果还是迟到了20分钟 问张宏家距学校有多远 2020 3 24 124 数学 六 探寻规律类 这类方程的特点是 从给出的材料中找出规律 并利用这一规律找出解决问题的相等关系 列出方程 例如 数字排列规律 2 4 6 8 1 2 3 4 5 还有日历中的规律 年龄的规律 数字表示规律等 2020 3 24 125 数学 一 日历中的方程 找规律解方程 例1如图某月日历 如果用正方形所圈出4个数的和是76 这4天分别是几号 问题 日历中阴影中的9个数的和能等于136吗 2020 3 24 126 数学 例2如下图 将一张正方形纸片 剪成四个大小形状一样的小正方形 然后将其中的一个小正方形再按同样的方法剪成四个小正方形 再将其中的一个小正方形剪成四个小正方形 如此循环进行下去 1 填表 2 如果剪n次 共剪出多少个小正方形 3 如果共剪出301个小正方形 则剪了几次 47101316 2020 3 24 127 数学 例3有一些分别标有6 12 18 24 30 36 的卡片 小明从中任意拿到了相邻的3张卡片 发现这些卡片上的数字的和为342猜猜小明拿到了哪3张卡片 小明能否拿到相邻的3张卡片 使得它们的和为86 说明理由 2020 3 24 128 数学 例46个人围成一圈 每人心里想一个数 并把这个数告诉左 右两个人 然后每一个人把左 右两个相邻人告诉自己的数的平均数亮出来 如图 问亮出11的人原来心中想的那个数是多少 2020 3 24 129 数学 例5如图 一个长方形被划分成6个正方形 已知中间的最小的正方形面积为1平方厘米 求这个正方形的面积 2020 3 24 130 数学 练习1有一列数字按照一定规律排列 3 9 27 81 在这列数字中相邻三个的和140 求这三个数 问题中的规律在于前一个数乘以 3等于后一个数 根据这一规律 及和为140这个等量关系可以设第一个数为X 列方程为练习2在日历上任意圈出一竖列上的4个数 如果这4个数的和是54 那么这4个数是多少呢 如果这4数的和是70 那么这4个数是多少呢 你能否找到一种最快的方法 马上说出这4个数是多少 2020 3 24 131 数学 七 等积变形及比例 调配 1 等积问题 此类问题的关键在 等积 上 是等量关系的所在 必须掌握常见几何图形的面积 体积公式 变形前的体积 变形后的体积 例题1 要锻造一个半径为5cm 高为8cm的圆柱形毛坯 应截取截面半径为4cm的圆钢多长 例题2 直径为30cm 高为50cm的圆柱形瓶里放满了饮料 现把饮料倒入底面直径为10cm的圆柱形小杯 刚好倒满30杯 求小杯的高 2020 3 24 132 数学 2 周长为一定时 当长和宽相等时面积最大 例3 用一根长为10米的铁丝围成一个长方形 1 使得长方形的长比宽多1 4米 此时长方形的长 宽各为多少米 2 使得长方形的长比宽多0 8米 此时长方形的长 宽各为多少米 它所围成的长方形与 1 中所围长方形相比 面积有什么变化 2020 3 24 133 数学 例4 甲仓库有存粮120吨 乙仓库有存粮食80吨 现从甲库调部分到乙库 若要求调运后甲库的存粮是乙库的 问应从甲库调多少吨粮食到乙库 例5 某公司原有职员60名 其中女职员占20 今年又有几位男职员辞职 公司又补招了3名女职员 女职员的比例提高到25 问公司离开公司的男职员一共有几人 2020 3 24 134 数学 例6甲 乙两个仓库要向A B两地运送水泥 已知甲仓库可调100吨水泥乙仓库可调水泥80吨 A地需70吨水泥 B地需110吨水泥 两仓库到A B两地的路程和运费如下表 1 设甲仓库运往A地水泥x吨 试用x的一次式表示总运费W 2 你能确定当甲 乙两仓库各运往A B多少吨水泥时 总运费461000元 最省的总运费是多少 2020 3 24 135 数学 从调配后的数量关系中找等量关系 常见是 和 差 倍 分 关系 要注意调配对象流动的方向和数量 2 比例分配应用题 2020 3 24 136 数学 例1 我国四大发明之一的黑火药是用硝酸钠 硫磺 木炭三种 原料按15 2 3的比例配制而成 现要配制这种火药150公斤 则这三种原料各需要多少公斤 解 设需要硝酸钠15x公斤 硫磺2x公斤 木炭3x公斤 依题意得 15x 2x 3x 150 x 7 5 15x 15 7 5 112 52x 2 7 5 153x 3 7 5 22 5 答 硝酸钠应取112 5公斤 硫磺取15公斤 木炭应取22 5公斤 2020 3 24 137 数学 设元是间接设元 一般设其中的一份为x 必要时要求连比 相等关系一般是总量等于部分量的和或找题中的话 也可以是整个题中始终不变的量 按比例分配的应用题的设元和找相等关系各有什么特点 2020 3 24 138 数学 例2一足球由黑白两种皮子缝制而成共32块 已知黑白皮子数的比为3 5 求各多少块 例3甲 乙两人合资办一个企业 并协议按照投资额的比例多少分配所得利润 已知甲与乙投资额的比例为3 4 首年利润为38500元 问甲 乙两人可获得利润分别为多少元 2020 3 24 139 数学 例4A B两个超市去年销售额共150万元 今年共170万元 A超市销售额今年比去年增加15 B超市今年比去年增加10 求A B两个超市今年销售额各多少 例5一份试卷共有25道题 每道题都给出了4个答案 其中只有一个正确答案 每道题选对得4分 不选或错选倒扣1分 如果一个学生得90分 那么他做对了多少道题 2020 3 24 140 数学 八 浓度配置问题 其基本数量关系是 溶质 溶液 浓度 溶液 溶质 溶剂 这类问题常根据配制前后的溶质质量或溶剂质量找等量关系 分析时可采用列表的方法来帮助理解题意 2020 3 24 141 数学 八溶液配制问题 例1 有浓度为98 的硫酸溶液8千克 加入浓度为20 的硫酸溶液多少千克 可配制成浓度为60 的硫酸溶液 例2把含酒精60 的溶液9000克 变为含酒精40 的溶液则需加水量是多少 例3 某中学的实验室需含碘20 的碘酒 现有含碘25 的碘酒350克 应加纯酒精多少克 2020 3 24 142 数学 例4 在一个日历上 如果用正方形圈出的4个数的和是60 那么这四天分别是几号 2020 3 24 143 数学 例5 将一个底面直径是10cm 高为36厘米的 瘦长 形圆柱锻压成底面直径是20cm的 矮胖 形圆柱 高变成了多少 2020 3 24 144 数学 例6 1 用一根长为8米的铁丝围成一个长方形 使得长比宽多1米 求这个长方形的面积 2 用一根长为8米的铁丝围成一个正方形 求这个正方形的面积 3 用一根长为8米的铁丝围成一个圆 求这个圆的面积 4 周长相等的长方形 正方形 圆 谁的面积最大 谁的面积最小 2020 3 24 145 数学 这类问题特点是 两处总量都和包含的个体有关系 因此两处总量就是两个等量关系 可以设其中一个个体为X 利用等量关系列方程 例1 鸡兔同笼 共有头26 足72 问鸡兔各几何 九 鸡兔同笼类问题 2020 3 24 146 数学 例23月12日是植树节 某校在植树活动中种了杨树和杉树两类树种 已知种植杨树的棵数比总数的一半多56棵 杉树的棵数比总数的三分之一少14棵 两类树种各种了多少棵 例36 某班有男 女学生共56人 女生人数的一半比男生总数少20人 求该班男女生共多少人 例37 甲现有的练习本比乙现有的练习本的2倍还多8本 如果甲把自己的练习本的三分之一送给乙 那么甲将比乙少4本 问甲 乙两人现有练习本各几本 7 有人问毕达哥拉斯 他的学校中有多少学生 他回答说 一半学生学数学 四分之一学音乐 七分之一正休息 还剩3个女学生 问毕达哥拉斯的学校中多少个学生 2020 3 24 147 数学 例4 某地电话拨号入网有两种收费方式 用户可任选其一 A计时制 3元 小时 B包月制 50元 月 限一部个人电话入网 此外 每一种上网方式都得加通信费每小时1 2元 1 某用户每月的上网时间为x小时 请写出两种收费方式下该用户应该支付的费用 2 若某用户估计一个月的上网时间为25小时 认为选择哪种上网方式较合理 2020 3 24 148 数学 十 年龄问题其基本数量关系 大小两个年龄差不会变 这类问题主要寻找的等量关系是 抓住年龄增长 一年一岁 人人平等 2020 3 24 149 数学 1 现在儿子的年龄是8岁 父亲的年龄是儿子年龄的4倍 多少年后父亲的年龄是儿子年龄的3倍 2 小明今年13岁 他爸爸今年39岁 几年后小明的年龄将是爸爸年龄的一半 3 现在甲的年龄是乙的2倍 8年以后 两人年龄之和74 现在甲比乙大几岁 4 两根同样长的蜡烛 点完一根粗蜡烛要2小时 而点完一根细蜡烛要1小时 一天晚上停电 小芳同时点燃了这两支蜡烛看书 若干分钟后来电了 小芳将两支蜡烛同时熄灭 发现粗蜡烛的长是细蜡烛的2倍 问停电多少分钟 2020 3 24 150 数学 数字问题 要正确区分 数 与 数字 两个概念 这类问题通常采用间接设法 常见的解题思路分析是抓住数字间或新数 原数之间的关系寻找等量关系 列方程的前提还必须正确地表示多位数的代数式 一个多位数是各位上数字与该位计数单位的积之和 若一个三位数 百位数字为a 十位数字为b 个位数字为c 则这三位数为 2020 3 24 151 数学 例1有两个两位数 其十位数字均是个位数字的一半 第二个数的十位数字比第一个数的十位数字小1 第一个数加上第二个数后仍为两位数 且和恰为原来第一数十位与个位上数字交换后所得数 求第一个两位数 例2一个三位数三个数字之和是24 十位数字比百位数字少2 如果这个三位数减去两个数字都与百位数字相同的一个两位数所得的数也是三位数 而这三位数三个数字的顺序和原来三位数的数字的顺序恰好颠倒 求原来的三位数 例3有两个两位数 其十位数字均是个位数字的一半 第二个数的十位数字比第一个数的十位数字小1 第一个数加上第二个数后仍为两位数 且和恰为原来第一数十位与个位上数字交换后所得数 求第一个两位数 例4 有一个三位数 十位数字是个位数字2倍 百位数字比个位数字大3 如果把十位上的数字与百位上的数字对调 新的三位数与原来三位数和为1246 求原来的三位数 2020 3 24 152 数学 有理数应用题举例 2020 3 24 153 数学 例1 每袋小麦的标准重量为90千克 10袋小麦称重记录如下 919191 58991 291 388 788 891 891 110袋小麦总计超过多少千克或不足多少千克 10袋小麦总重是多少千克 2020 3 24 154 数学 解 以90千克为标准 超过的重量记为正数 不足的重量记为负数 则10袋小麦对应的数分别为 1 1 1 5 1 1 2 1 3 1 3 1 2 1 8 1 1 1 1 1 5 1 1 2 1 3 1 3 1 2 1 8 1 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 1 1 5 1 8 1 1 5 4 千克 90 10 5 4 905 4 千克 所以10袋小麦总计超过标准重量5 4千克 总重量为905 4千克 2020 3 24 155 数学 练习 女子排球队共有10名