一阶电路时域分析.ppt

第11章一阶电路时域分析 11 1电感元件和电容元件 11 2动态电路方程的列写 11 3动态电路的初始条件 11 4一阶动态电路 11 6全响应的分解 11 5二阶动态电路 11 9状态变量法 11 7单位阶跃响应和单位冲激响应 11 8卷积积分 一 电感元件 inductor inductance 变量 电流i 磁链 1 线性定常电感元件 N 为电感线圈的磁链 L称为自感系数 L的单位名称 亨 利 符号 H Henry 电感以磁场形式存储能量 11 1电感元件和电容元件 韦安 i 特性 2 线性电感电压 电流关系 由电磁感应定律与楞次定律 i 右螺旋e 右螺旋u i关联 3 电感元件是一种记忆元件 2 当i为常数 直流 时 di dt 0 u 0 电感在直流电路中相当于短路 4 当u i为关联方向时 u Ldi dt u i为非关联方向时 u Ldi dt 电感的电压 电流关系小结 1 u的大小与i的变化率成正比 与i的大小无关 3 电感的储能 不消耗能量 从t0到t电感储能的变化量 无源元件 4 电感的串并联 1 电感的串联 根据KVL和电感的电压电流的关系 有 等效电感与各电感的关系式为 结论 n个串联电感的等效电感值等于各电感值之和 2 电感的并联 根据KCL及电感的电压与电流的关系式 有 等效电感与各电感的关系式为 结论 n个并联电感的等效电感值的倒数等于各电感值倒数之和 当两个电感并联 n 2 时 等效电感值为 二 电容元件 capacitor 电容器 线性定常电容元件 电路符号 电容以电场形式存储能量 描述电容的两个基本变量 u q对于线性电容 有 q Cu 1 元件特性 电容C的单位 法 拉 符号 F Farad 常用 F pF等表示 库伏 q u 特性 C tan 2 线性电容的电压 电流关系 电容的电压 电流关系小结 1 i的大小与u的变化率成正比 与u的大小无关 3 电容元件是一种记忆元件 2 当u为常数 直流 时 du dt 0 i 0 电容在直流电路中相当于开路 电容有隔直作用 4 表达式前的正 负号与u i的参考方向有关 当u i为关联方向时 i Cdu dt u i为非关联方向时 i Cdu dt 3 电容的储能 从t0到t电容储能的变化量 不消耗能量 无源元件 4 电容的串并联 1 电容的串联 由KVL 有 代入各电容的电压 电流关系式 得 等效电容与各电容的关系式为 结论 n个串联电容的等效电容值的倒数等于各电容值的倒数之和 当两个电容串联 n 2 时 等效电容值为 2 电容的并联 由KCL 有 代入各电容的电压 电流关系式 得 等效电容与各电容的关系式为 结论 n个并联电容的等效电容值等于各电容值之和 电容元件与电感元件的比较 电容C 电感L 变量 电流i磁链 关系式 电压u电荷q 1 元件方程是同一类型 2 若把u i q C L i u互换 可由电容元件的方程得到电感元件的方程 3 C和L称为对偶元件 q等称为对偶元素 S未动作前 i 0 uC 0 i 0 uC US 1 什么是电路的过渡过程 稳定状态 三 动态电路简介 稳态分析 S接通电源后很长时间 初始状态 过渡状态 新稳态 过渡过程 电路由一个稳态过渡到另一个稳态需要经历的过程 过渡状态 瞬态 暂态 2 过渡过程产生的原因 1 电路内部含有储能元件L M C 能量的储存和释放都需要一定的时间来完成 2 电路结构发生变化 支路接入或断开 参数变化 3 稳态分析和暂态分析的区别 稳态暂态 换路发生很长时间后 换路刚刚发生 iL uC随时间变化 代数方程组描述电路 微分方程组描述电路 IL UC不变 4 分析方法 返回目录 5 2动态电路方程的列写 依据 KCL KVL和元件约束 例1 例2 复习常系数线性常微分方程求解过程 例3 返回目录 一 t 0 与t 0 的概念 换路在t 0时刻进行 0 t 0的前一瞬间 0 t 0的后一瞬间 11 3动态电路的初始条件 初始条件就是t 0 时u i及其各阶导数的值 0 0 二 换路定律 q CuC t 0 时刻 当i 为有限值时 q 0 q 0 uC 0 uC 0 电荷守恒 当u为有限值时 L 0 L 0 iL 0 iL 0 磁链守恒 换路定律成立的条件 三 电路初始值的确定 2 由换路定律 uC 0 uC 0 8V 1 由0 电路求uC 0 uC 0 8V 3 由0 等效电路求iC 0 iL 0 iL 0 2A 例2 t 0时闭合开关S 求uL 0 1 已知 求 2 0 时刻电路 小结 求初始值的步骤 1 由换路前电路 稳定状态 求uC 0 和iL 0 2 由换路定律得uC 0 和iL 0 3 画出0 时刻的等效电路 1 画换路后电路的拓扑结构 2 电容 电感 用电压源 电流源 替代 取0 时刻值 方向同原假定的电容电压 电感电流方向 4 由0 电路求其它各变量的0 值 电阻电路 直流 电阻电路 返回目录 对L元件 当积分上限为t0 下限为t0 则有 若uL为有限值 若换路时刻t 0时刻 则为 对于联接有多个电容的结点 但不含电压源 换路前后电荷守恒 q 0 q 0 即 Cuc 0 Cuc 0 对于由多个电感构成的回路 不含电流源 换路前后磁链守恒 0 0 即 LiL 0 LiL 0 例11 1 1图示电路 求它们换路前后的磁链关系 解 列KVL方程 对上式在 0 0 进行积分 设i1 i2 i3 i q2 us为有限值 0 L1 i1 0 i1 0 L3 i3 0 i3 0 0L1i1 0 L3i3 0 L1i1 0 L3i3 0 磁链是和还是差与电流的参考方向有关 初始条件 初始值 是求解变量及其阶 n 1 导数在t 0 时的值 uC 0 iL 0 称为独立初始值 电路在过渡过程状态时 遵守 换路定则 KVL KCL及各元件的VCR求初值用0 网络 例11 1 2图示电路 t 0时电路处于稳态 t 0时K闭合求i 0 iC 0 uL 0 解 t 0 时uC 0 0iL 0 0据换路定则 uC 0 uC 0 0iL 0 iL 0 0 画时0 等值网络 电容用短路代替 电感开路 i 0 iC 0 12 4 8 1AuL 0 8 1 8V由此可见 iC 0 0 iC 0 1AuL 0 0 uL 0 8iC uL可跳变 讨论 将上例中的电源换成交流电源us t 10sin t 300 V 再求i 0 iC 0 uL 0 解 t 0 时uC 0 0iL 0 0据换路定则 uC 0 uC 0 0iL 0 iL 0 0 画时0 等值网络 电容用短路代替 电感开路 us 0 10sin300 5Vi 0 iC 0 5 4 8 0 42AuL 0 8 0 42 3 36V结论 外加电源应考虑t 0 时的值 例11 1 3K断开前电路处于稳态 t 0时K断开 u t 10sin2t V 求uC 0 iL 0 i 0 iL 0 解 t 0时处于正弦稳态用相量法求uC t 和iL t 写成时域表达式 令t 0 有 据换路定则 uC 0 uC 0 5ViL 0 iL 0 2 5A画时0 等值网络 求uC 0 iL 0 i 0 iL 0 列A结点电压方程 求uC 0 iL 0 i 0 iL 0 uC 0 5ViL 0 2 5A 当uC 0 或iL 0 不为0时 画0 网络 电容用电压源uC 0 代替 电感用电流源iL 0 代替 例11 1 4t 0时电路处于稳态 t 0时K由1位合到2位 求uC1 0 解 t 0 时uC2 0 0uC1 0 U0当开关由1合到2 此时 uC1 0 uC1 0 uC2 0 uC2 0 但uC1 0 uC2 0 故必须用 q 0 q 0 求解 C1 C2 uC1 0 C1uC1 0 C2uC2 0 C1U0 0 C1U0 例11 1 5 电路如图 a 所示 开关未动作前电路已达稳定 求uC 0 iL 0 11 4一阶动态电路 全解 齐次解 特解全响应 自由响应 强制响应 列方程 非齐次线性常微分方程 解答形式为 非齐次方程的通解 非齐次方程的特解 例1 一 经典解法 与输入激励的变化规律有关 某些激励时强制分量为电路的稳态解 此时强制分量称为稳态分量 变化规律由电路参数和结构决定 全解 uC 0 A US U0 A U0 US 由起始条件uC 0 U0定积分常数A 齐次方程的通解 特解 强制分量 US 通解 自由分量 暂态分量 US U0 令 RC 称 为一阶电路的时间常数 时间常数 的大小反映了电路过渡过程时间的长短 电压初值一定 R大 C不变 i u R放电电流小 C大 R不变 W 0 5Cu2储能大 工程上认为 经过3 5 过渡过程结束 电容电压衰减到原来电压36 8 所需的时间 特征方程 Lp R 0 特征根p 确定A A i 0 I0 i 0 i 0 例2 通解 令 L R 一阶RL电路的时间常数 L大初始储能大R小放电过程功率小 电流初值一定 iL 0 iL 0 1A uV 0 10000V 例3 t 0时刻S打开 求uV 电压表量程为50V 根据例2结论 续流二极管 小结 经典法求解一阶电路过渡过程的一般步骤 列写微分方程 以uC或iL等为变量 求非齐次方程的通解 相应的齐次方程的解 求非齐次方程的特解 稳态解 确定初始条件 0 时刻 求初始值的步骤 根据初始条件确定积分常数 二 三要素法 特点 1 同一电路不同支路变量微分方程的特征方程完全相同同一电路不同支路变量解的自由分量形式完全相同 2 同一电路不同支路变量微分方程等号右端项和初始值不同同一电路不同支路变量解的强制分量和待定系数不同 3 同一电路不同支路变量解的强制分量均为该变量的稳态解 任意支路量方程的形式 强制分量 自由分量 恒定激励下一阶电路的解的一般形式为 令t 0 适用范围 激励为直流和正弦交流 例4 已知 t 0时合开关S 求换路后的uC t 的全响应 强制分量 自由分量 解 全响应 强制分量 自由分量 定性画曲线的几个要点 三 脉冲序列作用下的RC电路 0 t T uC 0 0 uC 100V T 2T 3T 100V RC T t 2T uC T 100V uC 0 RC 1 T 0 t T 稳态解 U2 U1 2 T与 接近 等效电路图 仿真2 这类问题的分析特点 1 认为电路已经进入稳态 2 画不同状态下的电路图 求解电路 3 利用边界条件求出关键点电压 电流 T t 2T 等效电路图 100V U2 U1 0 100V U2 U1 0 0 t T T t 2T t T t 2T 这类问题的分析特点 1 设电路已经进入稳态 2 画电路图 求解电路 3 利用边界条件求出关键点电压 电流 1 MOSFET反相器的输出延迟 四 一阶电路几个典型的应用实例 ui1 0 ui1 1 ui1由 1 变为 0 CGS2充电 ui1 0 ui1 1 CGS2放电 ui1由 0 变为 1 ui1 0 ui1 1 tpd 0 1 tpd 1 0 2 DC DC变换 问题 如何改变直流电压 方法一 uGS US 缺点 类似桥式整流 直流质量较差 改进思路 利用电感维持电流的能力 开关信号 uGS u i tON tOFF t 0 t tON时段等效电路 I1 I2 i T 这类问题的分析特点 1 设电路已经进入稳态 2 画电路图 求电路解 3 利用边界条件求出关键点电压 电流 0 方法二 tON t tON tOFF时段等效电路 uGS u i t I1 I2 i tON tOFF T 0 uGS u i t I1 I2 i tON tOFF T 这类问题的分析特点 1 设电路已进入稳态 2 画电路图 求电路解 3 利用边界条件求出关键点电压 电流 0 从工程观点来估计U 因为L值取得较大 可看作i I不变 因此u U也不变 电感吸收的能量为 电感发出的能量为 稳态时电感每周期能量守恒 降压斩波器BuckConverter 3 AC DC变换 用二极管的模型1分析电路 i D1 D3 D2 D4 u R 1 D1 D4共有16种状态 2 电流i只能从上往下流 3 D1 D4有两种可能的导通模式 D1和D4同时导通 D2和D3同时导通 非线性电路 分段讨论 u 设D1和D4同时导通 设D2和D3同时导通 条件i 0 uS 0 u uS 条件i 0 uS 0 u uS R获得直流 问题1 该直流电压平均值多大 问题2 如何改进该直流电压的质量 电容具有维持电压的能力 D1和D4同时导通 给C充电 uS下降 电容放电 很大 放电很缓慢 正弦的衰减速度 RC放电速度 uC uS D1和D4截止 uS 0时 uC uS 二极管不导通 假设uC为某值 RC放电 uS 0时 D2和D3同时导通 给C充电 1 直流电压平均值提高 2 直流电压脉动减小 RC放电 uC uS 二极管不导通 4 用OpAmp构成微分器和积分器 1 积分器 如果ui US 常数 则 线性函数 2 微分器 如果ui tUS 线性函数 则 常数 正反馈电路 虚短不再适用虚断仍然适用 电路开始工作时存在小扰动 由于正反馈 uo为Usat或 Usat 设uo Usat 则u 设此时uC 0 等效电路为 由于正反馈 uo Usat 5 用OpAmp构成脉冲序列发生器 uo Usat 此时uC Usat 2 等效电路为 由于正反馈 uo Usat t uO uC 0 占空比 D ton T 也可以得到 如何使占空比可调 t T 2时 如何产生三角波 返回目录 R分别为5 4 1 0 时求uC t iL t t 0 uC 0 3ViL 0 0 1 列方程 5 5二阶动态电路 一 经典解法求解析表达式 2 求自由分量 R 5 R 4 R 1 过阻尼 临界阻尼 欠阻尼 有关欠阻尼二阶动态电路中3个参数的讨论 自由振荡角频率 自然角频率 衰减系数 欠阻尼 0 物理上稳定的系统 衰减振荡角频率 3 用初值确定待定系数 R 5 R 4 R 1 R 5 R 4 R 1 看仿真 iL uC 过阻尼 无振荡放电 4 波形与能量传递 R 5 0 t tmuC减小 i增加 t tmuC减小 i减小 iL uC 0 t tmuC减小 i增加 t tmuC减小 i减小 R 4 临界阻尼 无振荡放电 欠阻尼 振荡放电 R 1 uC减小 i增加 uC减小 i减小 uC 增加 i减小 讨论半个周期中能量的关系 R 0 无阻尼振荡 二 用直觉解法定性画支路量的变化曲线 1 过阻尼或临界阻尼 无振荡衰减 初值导数初值终值 uC 0 3ViL 0 0 uC iL 以过阻尼为例 2 欠阻尼 衰减振荡 初值导数初值终值经过多少周期振荡衰减完毕 uC 0 3ViL 0 0 回忆一阶电路中的时间常数 3 5 后过渡过程结束 后过渡过程结束 振荡周期为 衰减过程中有0 24 0 13 2次振荡或0 4 0 13 3次振荡 衰减系数 衰减振荡角频率 d 衰减过程中有0 24 0 13 2次振荡或0 4 0 13 3次振荡 初值导数初值终值经过多少周期振荡衰减完毕 3 无阻尼 初值导数初值最大值 uC 0 3ViL 0 0 因为无阻尼 所以能量守恒 iL取最大值时 uC 0 因此 1 5 1 5 三 关于列写方程和求初值的讨论 特点 1 同一电路不同支路变量微分方程的特征方程完全相同自由分量形式完全相同 2 同一电路不同支路变量微分方程等号右端项和初值不同强制分量和待定系数不同 3 同一电路不同支路变量微分方程列写和初值获取难度不同 返回目录 5 6全响应的分解 全解 齐次解 特解全响应 自由响应 强制响应 激励 外部输入 独立源 元件的初始储能 零状态响应 零输入响应 全响应 全响应 零状态响应 零输入响应 零状态响应 零输入响应 uC 0 U0 例1 强制分量 稳态解 自由分量 暂态解 两种分解方式的比较 零状态响应 零输入响应 物理概念清楚利于叠加 计算简单 全响应 零状态响应 零输入响应 全响应 强制分量 稳态解 自由分量 暂态解 强制分量 稳态解 自由分量 暂态解 原因1 ZIR和ZSR都是可能单独出现的过渡过程 原因2 ZSR对于分析一般激励的响应非常重要 uC 0 0 零状态 激励 响应 输入 输出线性关系 小结 2 一阶电路的零输入响应和初始值成正比 称为零输入线性 一阶电路的零输入响应是由储能元件的初始储能引起的响应 都是从初始值衰减为零的指数衰减函数 3 衰减快慢取决于时间常数 RC电路 RC RL电路 L R 4 同一电路中所有响应具有相同的时间常数 1 一阶电路的零状态响应与输入成正比 称为零状态线性 5 一阶电路的全响应既不与初始值成正比 也不与输入成正比 返回目录 一 单位阶跃函数 unit stepfunction 1 定义 t 0合Su t E t 0拉闸i t IS 5 7单位阶跃响应和单位冲激响应 2 单位阶跃函数的延迟 3 由单位阶跃函数可组成复杂的信号 例1 例3 二 单位阶跃响应 单位阶跃激励下电路的零状态响应 u t t t 1 2 t 2 iL t 1 e t 6 t 1 e t 1 6 t 1 2 1 e t 2 6 t 2 例4 已知 u t 如图示 iL 0 0 求 iL t 并定性画出其波形 例5求图示电路中电流iC t 解法一 两次换路 三要素法 解法二 三 单位冲激函数 unitimpulsefunction 1 单位脉冲函数p t 2 单位冲激函数 t 定义 例6 0 uC E t iC CE t 3 单位冲激函数的延迟 t t0 t t0 4 函数的筛分性 同理有 f 0 t 例7 f t 在t0处连续 单位斜升函数 四 t 与 t 的关系 五 一阶电路的冲激响应 单位冲激响应 单位冲激激励在电路中产生的零状态响应 方法1 由单位阶跃响应求单位冲激响应 单位阶跃响应 单位冲激响应 h t s t 单位冲激 t 单位阶跃 t 先求单位阶跃响应令is t uC 0 0 uC R RC 已知 求 iS t 为单位冲激时 电路响应uC t 和iC t iC 0 1 iC 0 再求单位冲激响应令iS t 冲激响应 阶跃响应 方法2 分两个时间段来考虑冲激响应 关键在于求uC 0 uC不可能是冲激函数 否则KCL不成立 电容中的冲激电流使电容电压发生跳变 方法1 对微分方程0 0 积分 步骤 1 列写方程 2 观察方程求uC 0 3 求iC 方法2 电路直接观察法 uC 0 0 在作用的0 0 范围内的等效电路为 步骤 1 画0 0 范围内电路 2 求iC 3 求uC 在0 0 范围内将C用电压源替代 2 t 0 零输入响应 RC放电 iL不可能是冲激 2 t 0 RL放电 返回目录 5 8卷积积分 一 卷积积分的定义和性质 定义 设f1 t f2 t t 0均为零 性质1 证明 令 t 0t t0 性质2 二 卷积积分的应用 线性网络零状态 h t 即 性质4 性质3 f t 利用卷积积分可以求任意激励作用下的零状态响应 物理解释 在0 t t0时段将激励e t 看成一系列 N个 宽度为 高度为e k 矩形脉冲的和 t t0时刻的响应是由0 t t0时段的全部激励决定的 线性系统的因果性 0 t t0 第1个矩形脉冲 若单位脉冲函数p t 的响应为hp t 第k个矩形脉冲 t0时刻观察到的响应应为0 t0时间内所有激励产生的响应的和 积分变量 激励作用时刻 t参变量 观察响应时刻 由t0的任意性 得 解 先求该电路的冲激响应h t uC 0 再计算时的响应uC t 例2 解 图解说明f2 t 三 卷积积分的图形解法 卷 移 乘 积 由图解过程确定积分上下限 返回目录 一 状态变量 分析动态过程的独立变量 选定系统中一组最少数量的变量X x1 x2 xn T 如果当t t0时这组变量X t0 和t t0后的输入e t 为已知 就可以确定t0及t0以后任何时刻系统的响应 X t0 e t t t0 称这一组最少数目的变量为状态变量 5 9状态变量法 原因