中英两国高一数学教材探究内容的比较探讨.doc

中英两国高一数学教材探究内容的比较探讨沈丹，华东师范大学课程与教学系2011级硕士研究生（200062）. 进入新世纪，各国数学课程改革日益注重动手实践、自主探索与合作交流1，我国在高中数学课程标准中也积极倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式2.学生通过探究学习，不仅能掌握数学知识，更能感受并学习到数学知识中凝聚的数学智慧，形成初步的研究意识和主动学习的态度.3 教材是实施数学教学的宝贵资源.数学教材中的探究内容是学生进行数学探究活动的重要载体4.英国的数学教育改革有许多成功的经验5，故本研究将考察中英两国高一数学教材中的探究内容，选择人民教育出版社普通高中课程标准实验教科书数学（A版）（必修1，3，4，5）（以下简称中国PEP），牛津大学出版社的由学校数学课程设计小组（School Mathematics Project，以下简称SMP）编写的纯数学1（Core 1）、纯数学2（Core2）、力学数学1（Mechanics 1）和统计数学1（Statistics 1）（以下简称英国SMP）为比较对象，通过比较探究内容的组织和呈现方式的特点，获得改进和发展我国高中数学教材探究内容的启示. 一、研究方法 （一）研究对象 通过文献分析，本研究将“数学探究”界定为：学生围绕某个问题情境或者数学问题，去观察、分析、推测数学事实，提出有意义的数学问题，猜测、验证适当的数学结论或规律，或给出解释，或加以证明，再反思结论或产生新一轮问题.为了避免主观判断可能引起的混淆，本次比较将教材中显性的探究内容作为研究对象（如表1）. 中国人民教育出版社根据普通高中数学课程标准（实验）编写的普通高中课程标准实验教科书数学（A版）强调为学生创造恰当的自主思维空间，设置“阅读与思考”、“观察与猜想”、“探究与发现”、“信息技术应用”、“实习作业”等探究显性栏目，为学生提供丰富的具有思想性、实践性、挑战性的探究资源.6 英国学校数学课程设计小组所编教材在数学课程改革运动中占有十分显著的地位，经过修改发展，已成为英国最受欢迎的教材系列之一.7英国SMP高中数学教材以AQA考试委员会A水平考试数学大纲为编写标准.教材每章中都含有“发展材料”（development material），其间根据学习需要穿插着探究显性栏目“问题讨论”（discussion questions），要求学生以全班（whole class）或者小团队（smaller groups）讨论的形式来学习重要知识点或者某种数学技能. （二）研究框架 结合概念界定以及预研究结果，课题组将探究内容组织和呈现方式细化为五个一级指标：情境表述、问题表述、活动组织形式、活动类型、对教材上下文的影响.五个指标再分解为若干二级或三级指标（见图1）. 二、研究结果和分析 本研究根据指标体系，对两国高一数学教材中的探究内容进行了比较分析.主要分析结果如下. （一）两国高一数学探究内容均以创设纯数学情境为主 数学情境是一种以激发学生的问题意识为价值取向的刺激性的数据材料和背景信息.8探究内容呈现的情境类型包括真实情境、虚设情境和纯数学情境. 两国高一数学教材在呈现数学探究内容情境时均以纯数学情境为主，中国PEP、英国SMP分别有78.05%，58.33%为纯数学情境（见图2）.但中国PEP中以真实情境呈现的探究内容多于英国SMP；而英国SMP中以虚设情境呈现的探究内容比例是中国PEP的三倍多，其中力学数学1（Mechanics 1）占英国SMP虚设情境总量的87.88%，教材的探究内容大多是设置在牛顿力学的背景下，尽管与日常生活、外部现实世界相关，但数学信息以人为虚设为主. 例如英国SMP的力学数学1（Mechanics 1）的“问题讨论”，呈现如下虚设情境9： “内容1”问题讨论：Fraser能划船使船以2m/s的速度运行，他想渡船到达河对岸，且起点与终点的连线正好垂直于河岸.在这种情况下，船的速度大小是已知的，但是船运行的速度方向是不确定的.Fraser的终点也是已知的，这就确定了合速度的方向.为了达到预期的终点，Fraser需要将船头朝向上游.这是运动的矢量三角形，是船航行方向与河岸所成角度，而v是指合速度. 若Fraser以1.8m/s的速度划船，他垂直到达河对岸. （a）画出船运行的矢量三角形；（b）计算合速度的大小；（c）计算船速与河对岸所成的角度. 这是力学数学1（Mechanics 1）中二维动力学关于“合速度”的问题.上述内容是涉及向量和三角函数知识的虚设情境.英国SMP在不同的数学学习模块中对向量知识都有所要求10.因此，英国SMP教材除了在纯数学模块中设置了向量学习，还通过专门的力学数学来学习向量的应用，内容类似于中国的高中物理教材.含有物理和数学知识的真实情境可能信息复杂，对于学习新知的学生会有困难，而含有虚设物理情境的探究内容既能将题设信息设置在理想情况下，又能发展学生的应用意识和能力. （二）英国SMP探究活动强调团队探究，中国PEP侧重于个人探究 学生参与探究活动可以是以个人、同伴或者团队的形式，教材中的探究内容往往会标示指明.中国PEP很少明确要求学生以同伴或者团队合作开展探究活动，只有0.7%的探究内容标识出“团队活动”的要求.但英国SMP将探究内容完全聚焦在团队活动上，尤为重视通过探究活动培养学生的团队合作意识.它明确指出“问题讨论（discussion questions）”栏目适合全班（whole class）或者小团队（smaller groups）讨论，目的是使学生获得重要知识点或者某种数学技能.例如英国SMP的统计数学1（Statistics 1）“问题讨论”，创设了如下合作学习的问题情境9： “内容2”问题讨论：一个学生在她的学校进行了一项关于学生的调查.为了获得更具有代表性的样本数据，她以1岁为年龄间距将713岁分成7个年龄段团体，从每个团体中随机选取了5个学生.她记录了每个学生的一些变量数据.她将数据在散点图中展现出来，以学生的身高为横坐标，以学生常识测验（general knowledge quiz）成绩为纵坐标.这组数据的相关系数为0.885.这是不是说明了身高越高，在常识方面就越擅长？ 英国SMP教材通过描述一个学生误用相关性的实例，激发学生思考并讨论如何正确解释统计中得到的相关系数，引出“假性相关（spurious correlation）”这个新知识点.这里创设的问题能有效地引发不同观点，开展讨论和合作，在探究活动中发展学生的数学表达能力和交流意识. （三）两国均以解题探究为主，中国PEP侧重验证反思，英国SMP强调推测解释 “活动类型”指的是教材在设计数学探究内容时，为学生创造的数学活动条件和空间，包括解答活动、写作活动、项目活动、阅读活动、实验活动等.通过设置多元化的探究活动，为学生开展多方位的数学探究提供了可能. 中国PEP和英国SMP教材组织的数学探究活动均以解答活动为主，分别占所有活动类型的84.06%，98.54%（见表2）.除数学解答活动外，中国PEP组织的探究活动较为丰富，还包括实验活动、写作活动、项目活动和阅读活动.其中的写作活动主要是以“实习报告”形式，写作内容是应用已学知识记录问题探究的过程；实验活动包括信息技术类实验活动和日常生活类活动；阅读活动主要是介绍数学史与数学方法.丰富的活动类型为学生探究能力的形成和发展提供了广阔的空间.而英国SMP设置了比重较小的实验活动（1.46%），均是借助信息技术（绘图仪（graph plotter）和电子数据表）作图，推测并验证自己的发现. 两国教材均以数学解答活动为主，并且超过60%的解答活动为严格意义上的数学计算证明类（图5）.但将解答活动进一步细化，发现两国高一数学教材中的解答活动在培养学生数学探究的侧重点上是不同的.英国SMP重视培养学生根据问题情境对过程或结论进行推测、判断或解释的能力，设置的推测解释类活动超过中国PEP的两倍多，如“内容3”要求学生阅读某项调查的过程和结果后，推测、解释相关系数的意义，激发学生思考如何正确解释相关性；而中国PEP则关注解答活动在促进学生验证和反思能力发展的功能，给予学生验证、反思已有的（自己或他人的）解答过程或结论的机会. 上述数据和分析表明，中英两国教材在高一数学探究内容的组织与呈现方式上各有特点.中国PEP中真实情境和纯数学情境的比例均高于英国的教材，设计的基于探究情境的开放式问题比例也较高.这表明，中国PEP致力于为学生创设真实、开放的问题情境，给学生充分的空间去分析、验证、反思数学事实，体验积极的探究过程.而英国SMP则通过创设丰富的虚设情境融合数学和力学，让学生体验数学的应用，尤其是在物理学领域中的应用，同时也关注培养学生的推测和解释能力. 三、对我国教材探究内容设置的思考及其启示 （一）丰富探究内容的情境类型 教材在组织和呈现探究内容时所使用的不同情境能让学生经历不同的数学探究过程.中国PEP中的情境创设较为单一，纯数学情境、真实情境、虚设情境的比例为811.而英国相应的比例为815，它创设了34.38%的融合生活常识、物理和数学的虚设情境，在理想化的背景下提供接近于真实的信息，使学生获得“数学化”的体验.因此，中国教材可借鉴英国SMP的理念，适当增加以虚设情境呈现的探究内容，并合理地创设与现实接轨的真实情境，使学生的探究空间充分触及到日常生活以及其他学科等不同领域. （二）加强创设团队合作的数学探究活动 数学课堂高探究水平强调学生的合作交流，关注学生对解决问题的过程、方法的评判，重视学习共同体的优势.因此，通过组织合作讨论形式的探究活动不但能使学生思维开阔，给予收获别人思维方式、方法的机会，也对团队精神的培养有较大作用.11为了培养具有现代素质的人才，合作素养必不可少，团队式的探究活动恰能针对性地发展学生的合作交流能力. 英国SMP尤为重视开展团队合作的探究活动，在教材中明确要求通过合作（全班或者小团队的形式）完成“问题讨论”栏目.相对而言，中国PEP较为侧重个人形式的探究活动，所以中国教材应逐渐加强创设有益于提升团队合作能力的探究内容，并明确提出团队合作的要求. （三）重视呈现能培养推测解释能力的探究内容 推理是数学的基本思维方式，推理能力的发展需要长期的、循序渐进的过程，应贯穿于整个数学学习过程.12为了发展合情推理能力，教材应设计适当的学习活动，引导学生通过观察、尝试、估算、归纳、类比、画图等活动发现一些规律，猜测某些结论.英国SMP较为关注通过呈现推测解释类的探究内容来发展