同济大学高等数学第七版1.2_数列的极限.ppt

第一章 一 数列极限的定义 第二节 数列的极限 二 收敛数列的性质 如果按照某一法则 对每个 对应着一个 确定的实数 这些实数 按照下标n从小到大排列 得到的一个序列 就叫做数列 简记为数列 数列中的每一个数叫做数列的项 第n项叫做数列的一般项或通项 1 数列 定义 一 数列极限的定义 例如 注意 1 数列对应着数轴上一个点列 可看作一动点在数轴上依次取 2 数列是整标函数 1 有界性 数列 xn 有上界 即存在M 使xn M n 1 2 数列 xn 有下界 即存在m 使xn m n 1 2 2 数列的性质 有界 有界 有界 无界 有界 判断下列数列 单调增加 单调减少 单调数列 2 单调性 单调增加 单调减少 判断下列数列的单调性 单调增加 无单调性 无单调性 L L 数列 2 从原点的两侧无限地接近于0 3 数列极限的定义 当n无限增大时 如果数列 xn 的一般项xn无限接近于一个确定的常数a 则常数a称为数列 xn 的极限 或称数列 xn 收敛于a 记为 或 如果数列没有极限 就说数列是发散的 例如 趋势不定 收敛 发散 问题 无限接近 意味着什么 如何用数学语言刻划它 通过观察 当n无限增大时 无限接近于1 引例 观察数列 时的变化趋势 100 1 给定 100 1 1 n 由 100 1 1 n x 有 数列极限的精确定义 当n无限增大时 xn无限接近于a 当n无限增大时 xn a 无限接近于0 当n无限增大时 xn a 可以任意小 要多小就能有多小 当n增大到一定程度以后 xn a 能小于事先给定的任意小的正数 或 只要n无限增大 xn就会与1无限靠近 引入符号N和 来刻化无限增大和无限接近 注 就会暂时确定下来 一旦给定 以此来确定相应的N 记作 此时也称数列收敛 否则称数列发散 或 则称该数列 的极限为a 定义 设为一数列 如果存在常数a 对于任意给 定的正数 不论它多小 总存在正整数N 使得当n N 时 不等式 都成立 数列极限的精确定义 都落在a点的 邻域 因而在这个邻域之外至多能有数列中的有限个点 注意 数列极限的定义未给出求极限的方法 数列极限的几何意义 使得N项以后的所有项 注 越小 表示 与a接近得越好 OK N找到了 n N 目的 NO 有些点在条形域外面 数列极限的演示 N 数列极限的演示 e越来越小 N越来越大 例1 已知 证明数列 的极限为1 证 欲使 即 只要 因此 取 则当 时 就有 故 N与 有关 但不唯一 不一定取最小的N 注 例2 已知 证明 证 欲使 只要 即 取 则当 时 就有 故 故也可取 也可由 N与 有关 但不唯一 不一定取最小的N 说明 取 机动目录上页下页返回结束 例3 设 证明等比数列 证 欲使 只要 即 亦即 因此 取 则当n N时 就有 故 的极限为0 机动目录上页下页返回结束 练习1用定义证明 证明对于任意给定的要使 只要 取自然数 则当时 有 所以 注 就会暂时确定下来 一旦给定 以此来确定相应的N 二 收敛数列的性质 证 用反证法 及 且 取 因 故存在N1 从而 同理 因 故存在N2 使当n N2时 有 1 收敛数列的极限唯一 使当n N1时 假设 从而 矛盾 因此收敛数列的极限必唯一 则当n N时 故假设不真 满足的不等式 机动目录上页下页返回结束 2 收敛数列一定有界 证 设 取 则 当 时 从而有 取 则有 由此证明收敛数列必有界 有 机动目录上页下页返回结束 收敛的数列必有界 有界的数列不一定收敛 无界的数列必发散 发散的数列不一定无界 3 收敛数列的保号性 若 且 时 有 证 对a 0 取 推论 若数列从某项起 用反证法证明 机动目录上页下页返回结束 内容小结 1 数列极限的 N 定义及应用 2 收敛数列的性质 唯一性 有界性 保号性 任一子数列收敛于同一极限 机动目录上页下页返回结束 刘徽 约225 295年 我国古代魏末晋初的杰出数学家 他撰写的 重 差 对 九章算术 中的方法和公式作了全面的评 注 指出并纠正了其中的错误 在数学方法和数学 理