关于极限的一般解法及其若干习题.doc

计算极限的一般方法和若干习题各位同学：数列和函数的极限一直是我们进来学习的主角。不知不觉之中，我们已经学习了很多计算极限的方法，不知大家有没有自己不断的小结，归纳出自己认为有效的方法？我根据自己的体会和有关书籍的启发，求极限的一般方法大致可归结为：0. 利用极限的定义；1. 利用极限的四则运算和复合运算法则；2. 利用无穷小的运算法则；3. 利用无穷小与无穷大的关系；4. 利用极限基本定理：，其中为无穷小；5. 利用两个重要极限；6. 利用单调有界准则；7. 利用夹逼准则；8. 利用等价无穷小代换；9. 利用递推公式；10. 利用若干初等数学方法：拆项、合并、因式分解，约分、取对数、变量代换等技巧；11. 利用； （反过来行不？）12. 利用；13. 利用Heine定理（即利用函数极限与数列极限的关系）；以下方法还没有学习，请注意在以后学习时联系极限计算14. 利用函数连续性；15. 利用导数定义；16. 利用著名的洛必塔法则；17. 利用微分中值定理；18. 利用Taylor公式；19. 利用定积分定义和定积分性质；20. 利用收敛级数的性质。大家一看可能会吃惊，其实，在具体求解时，几种方法可能需要结合起来，所以，还有复合方法呢！这么多啊，怎么记得住？是的，靠记忆是靠不住的，学数学考死记硬背肯定行不通，重要的是理解，能具体问题具体分析，靠清晰的概念和扎实的运算能力做支撑，一切都能化解。金庸武侠小说里有句话，我印象深刻：“无招胜有招”，意思指武林中的功夫，只有练到一招一式都看不出来，所有招数都融会贯通，连接自如，你的招数在不知不觉中使出来时，人家看起来你的功夫里包含了这一门那一派的，但又不是这一派那一门的，你的功夫才是上乘的。学数学和科学与练功的道理一样。请你自己问自己，自己回答自己：你现在的招数有多少？练得如何？下面的例题不分数列和函数的极限，因为用的方法是相通的。我也不加分类，我们需要学的本事不是“对号入座”，而是综合运用，要争取达到“无招“的境地。再次强调，本次材料不是提供给大家看的，而是让大家做的！所以，看到每一题后，先自己做！否则，我花了好大力气准备的东西，被浪费了。例1 设，求。解：因为，所以有 ，这样， （到此，似乎又卡住，怎么再化下去？ 注意到，一下子又找到“又一村”！） ，至此， 已经成为易物了。没有任何困难。 本题用的是初等变换的方法，即合并和拆项的方式，这要靠熟练的运算技巧。这种技巧是靠平时练成的。 有同学问：此类问题是否需要先证明极限的存在性，再计算极限？如果你能求出这个极限值，那么就不必证明极限的存在性了。因为这个极限值就证明了极限的存在。对于给出数列的递推公式的题目，那要注意，需要证明极限的存在性，否则会出荒谬的结果。例2（天津大学1995年竞赛题）设，求。分析：通项形式挺复杂，怎么办才好？总的思路是先尽量化简为上策，形式复杂总不是件好事。注意到求和号里面有，所以从此下手。解： （看到希望了） ，所以所求极限 属于型极限！ （我们要想到与有关！） 。 本题的评分点分为两条：一是通过求和与拆项，化简；二是求一个较常规的极限。第一部分不成功，第二步无法做。例3 （南京大学1995年竞赛题）求分析: 初看题目，见到这么多根号，第一反应是赶紧做“有理化”，消去根号。但是真的做起来，会发现反而是问题复杂化（你可以一试）。所以，要去掉“思维定势”，换一条思路：分项。解：， （到此，可用等价无穷小代换） ， 这是显然的结果了 。 分成2项是最简单的运算，这么一来，题目就变得十分简单。做数学题的过程，不就是“化困难为容易，化复杂为简单”的过程吗？ 千万不要给自己找麻烦！例4 （江苏省1998年竞赛题）求 。分析：我看到题的第一反应是利用无穷小代换公式 ，因为分母是这个形式，而分子也可拆成2个这样的形式：和。但这样做后的结果仍然是型的极限。（请你试试看）所以赶紧更换思路，用常规的“有理化”方法。解： （这时，可以对分子分母用 了） 例5 （2000年考研数一） 求分析：本题考核的是大家平时的基本概念掌握的扎实与否，技巧倒是其次的。第一， 函数在时，要注意左右极限是完全不同的。第二， 本题会出现在时的极限，也要会求：；第三， 在时的左右极限也有不同的形式：，所以本题设计得很好，把众多的基本概念和计算都集中在一个题里。解： 原题在时的极限为： ； 在时的极限为 （分子分母同时除以） 。 所以 ，左右极限相等，故有 。例6 （莫斯科公路学院1976年竞赛题）设，定义两个数列： 证明这两个数列皆收敛，且极限相等。分析：我们以往做的数列极限题只有单个数列，现在有了2个相互“交织”在一起的两个数列。怎么证明它们的极限都存在呢？ 对于有递推公式的问题，我们常用的方法是利用单调有界准则。这里要充分利用“A-G”不等式。 在证明前，自己要判断一下（在脑子里或在草稿纸上）两个数列的大致结构。因为的通项是靠算术平均生成的，而是根据几何平均生成的，所以对同一个序号，前者应比后者的值要大！但是，题目又要求我们证明两个数列的极限相等，因此，前者应递减的，后者应递增的，这样，两者的极限才可能相等。当然是否单调，还需要论证。 有了这样的判断，你的思路也就形成了！所谓“思路”就是从何下手，朝哪个方向走？思路不可能是凭空产生的，要有依据，这些依据只能根据题目给出的信息，作出自己的判断。很多同学不会做题，本质上是不太会思考，上来只想“套题型”：这个题与以前做过的哪个题差不多？发现很陌生，变不知怎么办？说道底，大多数人学数学，是学习如何思考，如何判断。这个判断能力靠平时的锻炼和思考。对于我们中原来数学基础不太强的同学，不要指望能在短期里使自己有个突变，没有哪个神人能够帮助你完成这种转变。功夫是苦练出来的。证明：因为 ，所以有 。同理可得 ， 。 （到这一步，你可以考虑用归纳法得出一般性的结论！） 假设 ，那么我们有 ，即 这样我们用数学归纳法证明了数列 单调递减，且有下界 ； 数列 单调递增，且有上界 。 根据单调有界准则，它们都有极限。 记， 。在两个递推公式 的两边个求极限，得 ， 由于，解得 。 下面的一个题，与本题相仿，请大家试试。（你能发现什么？能告诉我吗？）练习题1 设，作数列，。求此两个数列的极限。例7 设，求 。分析：这个题求的是连乘积的极限，与以前我们遇到的不同。 先在草稿纸上写出前几个来，帮助找到“感觉”，只有对这些有些认识，才可能找到解题思路。，再往下，更加复杂，找不到什么“规律”。不过，从，突然联想到三角函数，而且的形式似乎与余弦的半角公式有点“像”。从需要求的上看，欲使极限有明确的结果，诸不能大于1，否则越来越大，就没有极限了，诸只能小于1，连乘后才可能存在极限。所以想到了正弦余弦函数，它都不大于1。这些当然只是在脑海里“闪”过，可行否，还要“试一下”这就是研究，没有人不试就成功。不少同学总是希望有一个万能的公式或方法，“照着”去做，以为这是学习数学的“法宝”。如记 ，那么，这是一个重大突破！ 所以马上记 ，则得 ，假设 ，那么，这就证明了的一般表达式：。 （至此，本题的求解进入了正确的轨道！化解了第一个难关。）于是 。 （#）本题的第2个难关又来了：怎么计算（#）呢？这又要依靠中学数学了：化简在上式两边乘上：（大家还记得我在关于中学教育一文中布置过这样一道题目，不知道有多少同学去做过？初等数学功底是学习高等数学的基础，大家有没有体会到？） ，所以， ，这样 。 再举一个与初等数学有关的题例8 求极限 .分析：初看题目，不知道从何下手。数列的通项是，是正弦函数，里面还有，这样的数列还有极限吗？思路：设法化出一个无穷小来。初等数学里常使用加一项再减一项的办法，用在这里恰到好处！解： （可用展开） （分母有理化） （利用等价无穷小） 。 （这个结果有些出人意料吧！） 一个人的数学基础不是空洞的，包括了中学，甚至小学的成长历程。你回顾一下，自己的情况如何？例9 （北京市1997年竞赛题）求 解：去根号是我们的第一反应，问题是有这么多根号，去哪个？第一层根号没有办法去，那么去第二层根号。 。 计算极限，一般不用定义的方法，但用定义的方法是根本，不能废了这个“武功”。而且，有时，用定义证明还是必须的。例10 （莫斯科技术物理学院1976年竞赛题）设，求证数列 收敛于，其中 。证：根据极限基本定理，由得知， ， 其中； 由得知， ， 其中。 所以 。于是，问题就转化为证明：（为有限常数） ， （1） ， （2） 。 （3）（1）（2）是经典题目，两者的证法是一样的，这里证（1），用极限的定义证明。 因为 ，故对于任给的，存在，当时恒有，且有 （后一括号中的每一项都小于） 。 （+） 因为是一个确定的数，只有有限项之和，故，从而对上述任给的，存在，使得当时，恒有。 回到（+）式，对任给，取，使得当时， ，故由定义可得 。 下面再证（3）式。因为为无穷小，故它必有界，即存在，使得对任一，有。所以 ；又因是无穷小，故，这样就有 。 完成了对（3）的证明，从而最终完成对本题的证明。 你对上述证明中的每一步都理解了吗？ 对于单调有界数列，我想大家都比较理解其中的道理，也会做。不过要注意计算过程中的问题。例11 （2006年考研数一，数二） 设数列满足。（1）证明该数列收敛，并求此极限； （2）计算 。解：（1）由条件，知，数列恒正。根据正弦函数的性质 ，故单调递减；又，假设 ，那么 。这样用归纳法证明了恒有上下解。 所以数列存在极限。记 ，则由 得 ，解出 ， 即 。（2） （这步用到时，） （这步用了Heine定理，问题转为型极限） （记号exp( )= ） （这里用了洛必塔法则）。本题的第（1）小题是单调有界准则的常规应用，不难；但它的结果是第（2）小题的前提。第（2）小题原本是求数列极限的问题，但通过Heine定理转化为函数的极限，然后两个重要极限，在计算中，又用到了洛必塔法则，这是因为需要求极限 。 （*）所以，第（2）小题是对极限的综合知识的考核，命题的质量很高。我想要告诉大家，（*）式的极限，用洛必塔法则固然很方便，但也不是非洛必塔法则不可。我们用下一个例题专门讨论另一种初等的方法加一项减一项方法。例12 已知极限 存在，且非零，求此极限。解：因为极限存在，且非零，不妨设其极限为 ，可见是三价无穷小。由极限基本定理， ， 其中为时的无穷小。于是 ，或者 ， 显然是比更高价的无穷小。以后大家学习了函数的Taylor展开会知道，所以大家会明白，为什么当出现时，不能直接用等价代换：，因为那样直接一减，变成零，就把后面的3次项也去掉了。所以我们在求本题时，最常用的方法是用洛必塔法则，很方便。这恐怕也是中学老师教大家的方法。但是用洛必塔法则不是唯一之法，用它的缺点常常使人不清楚函数的具体结构与特点。这里介绍另一方法，虽然初等，但能使人了解其中的细节。， （加上就等于加了！） ， 令这样， ；由于 ，故从上式得到方程： 。解得 。 则 。我们到这里已经知道 。我建议大家把这个过程彻底搞明白。真的懂了，那么对等价无穷小做减法时，“不要乱代”这句话也就不会不理解了。 我们再做单调有界的题目。例13 设，定义，。求。分析：我们在课堂上做过类似的题目，其中的迭代式是，我们已经知道这个迭代可以有的结果，所以，若要计算一个数的平方根的近似值，可使用这个“平方根”机器。事实上，现在的计算器就是采用按这个迭代式编写的程序。若不信，你自己可以试试。找个数，一步一步试着算。那么本题又是什么呢？先做数学题。在已知迭代式的情况下，逻辑上一定先要证明极限的存在性，然后通过在迭代式两边求极限的方法，建立相应的方程，解出了的解便是所求极限。我们先做第一步：因为 ，故存在下界。又 ，可见单调减少。综合上面两点知，必定收敛。记，在迭代式两边取的极限得 ，解得 。原来，这个迭代能产生把开4次方的近似值。到了这里，不知道大家有没有产生兴奋与好奇？（估计会有，但不会太多）这对很多同学来说，是一个新概念的第一步。我们知道，无理数可以通过开方产生，（但是不是所有无理数都可以通过开方产生！），现在我们知道，通过设计一个合适的迭代格式也可以产生无理数。那么是否所有的无理数都可以用迭代产生呢？这个问题留给大家。空想是不行的，请找有关的参考书，与同学一起讨论，等等。练习题2 请你设计一个能计算，的迭代格式。练习题3 设，求。练习题4 设，证明 存在。练习题5 设，又设定 ，证明：存在，并求此极限。我们对单调有界的数列有没有极限，估计没有大问题了，那么有没有不满足单调但仍然有界的数列，是否也会存在极限呢？例14 数列：，是存在极限的，我们在课堂上严格证明过了。那么换一种形式的数列：，是否存在极限呢？这两个数列相差不多，只是分子分母互换一下。不妨试一下： 一看，不对头了：这个数列不单调，出现了：升降-升降升降.的“波浪形”的变化趋势。此时，凭“单调有界准则”，就不能判断此数列是否有极限。但是，仔细观察，这个数列还是有特点，那就是每隔一项所去出来的2个子列，却是单调的：是单调递增的： ，而另一个偶数指标的数列是单调递减的：从前面如果项的趋势看，这2个数列的极限似乎是一致的。下面用归纳法来证明我们的猜想。当时，。假设，那么 。于是证明了子列单调递增；另一子列单调递减。再看有界性。假设，那么，于是 。 这样用归纳法证明了。可见有上下界，或具体说，子列单调递增，有上界2； 子列单调递减，有下界1。所以这2个子列均有极限。我们来证明这2个子的极限相等。； （1）。 （2）记。在 （1），（2）的两边分别取的极限：得到 和，解得 ，这样我们证明了 。这个证明和计算的过程都是严格成立的。但我们还可以用另一条思路。解2： 假设 存在， 并记 ，在迭代式两边取极限，得到方程 ，解出 。要去除负解。设。若能证明，那么证明就证明了。从条件可用归纳法证得 ，所以 （得到一个迭代式！太好了）反复运用这个迭代式，并注意，得到 。由于，故 ，即 。各位同学，本题是一个非常典型的问题，希望大家真的理解这2个解题过程，弄懂每一步的理由，体会其中的思路，特别地，自己要先做一遍。理解后请做下面的练习题练习题5 设。讨论数列的收敛性，若收敛，求极限。练习题6 设，求。练习题7 设为常数），求。练习题7的分析：虽然一上来在迭代式两边求极限，是不能算数的，但我们心里明白：只要数列收敛，总是可以从迭代式求得出极限的值。而且，知道了这个极限值，对于形成解题思路是很有利的。设 由 ，可得到 ，解出 。所以，如果这个迭代收敛，那么用这个迭代式可以求得的近似值。本题还有一个特点，它没有告诉你迭代初值的值为多少。这对收敛分析有关系吗？你有什么问题吗？如果你没有问题，我想来提一个问题。我们已经知道，迭代式可以产生的近似值，迭代的次数越多，那么与的误差将越小。现在，我们又有了一个求的迭代格式：， 我的问题是：（1）这两个迭代式，求哪个更好？ （2）其实要回答问题（1），首要的标准是：用什么指标来衡量迭代的好坏？ （3）因为每次迭代所得到的，很可能是不精确的，比如得到，所以在计算时需要截断，这样在计算过程中必定会带入误差。问在某一次带入的误差，将对以后的计算带来什么影响？又如何来判定对最终值的影响？这些问题能引你走进数学研究吗？你听了此类问题，有想把它搞清楚的冲动吗？你知道如何来研究这些问题？需要做什么准备工作？等等。如果你有了想搞清楚的心理活动，恭喜你，你已经走近数学和科学了！如果你对这样的问题毫无兴趣，那么，我想，你还是与科学很遥远啊！例15 （上海交通大学1991年竞赛题）设，求。解：本题提供的迭代方程包括了相邻的3项，即某一项是前2项的几何平均。采取取对数的方法，将几何平均化为算数平均。 ， （￥）又 ，所以 可以看到，这样展开下去，虽然有可能推到，但肯定很复杂，所以，还是找另一条思路。 记，则 ，这样， （得出了一个新的迭代关系！）反复运用这个迭代关系： ，所以， （这又是一个迭代式） ，因此 ，则 。 例15的求解是完成了，你有什么感觉？与例14的解2差不多吧？请再仔细看看！如果你认为两者没有区别，那么我要提醒你，你的观察能力还差一口气。在例14的解2里，我们考虑的是的变化趋势，也就是与极限值之差的极限，这个解题思路背后的指导思想是极限的原始定义。而我们在例15里我们推导的不是与极限值之差的变化趋势，而研究也就是数列的相邻两项之差的变化趋势，如果这个变化是趋于零，那么我们可以断言此数列的极限存在。这个断言成立吗？成立！我们想，对充分大的项数，相邻两项的差异越来越小，那么数列以后的项的变化就几乎没有了，不变了，这不就是数列趋向于一个确定的数值了吗？这个值就是我们要求的极限啊！这么说来，我们可以对数列极限给出另一个定义来：对充分大的项序号，若与之差的绝对值趋于零，那么数列的极限存在。哈哈，我们自己也可以来给出定义啦。对，我们上面讨论的正是数列极限的“Cauchy定义”，仔细体会一下，我们的讨论里包含着一个十分简单却在哲学上非常深刻的思想，那就是衡量一件事的发展变化，可以有两个参照系，一个是别人，一个是自己。例14解2背后的思想是：用一个客观的东西（这里是极限值），来衡量的变化趋势，在例15里，则用自己的变化来衡量自己的发展。事实上，后一个准则其实更好更科学，自己的变化当然用自己的发展来衡量更加自然更加科学，就像讲中国的好坏，很多人总是拿别人如何来说这个怎么样，当然比比也不错；但是，讲到底，还是拿自己的过去到现在的变化来看中国将来的发展，更有说服力。你说呢？有同学说，周老师，你讲数学讲远了。其实，数学史里充满这哲学，可惜今