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二次函数专题四： 平移对称旋转问题引子：平移问题以前讲过了，现在重点将对称旋转问题我们知道（a，b）关于x轴对称的点的坐标为（a，b），关于y轴对称的点的坐标为（a，b），关于原点对称的点的坐标为（a，b），关于直线x=m的对称点为（2ma，b），关于直线y=n的对称点为（a，2nb），关于点（m，n）的对称点为（2ma，2nb）逆时针旋转90的坐标为（b，a），顺时针旋转90的坐标为（b，a）任意两点（x1，y1）和（x2，y2）的中点为对于抛物线关于x轴、y轴、x=a、y=b的对称抛物线，应该都会了吧，现在重点讲解抛物线关于某点（m，n）的对称抛物线解析式（其他旋转、平移、关于直线对称都可以用这个方法解决），为了方便，选取抛物线的顶点式来证明例：对于一个抛物线y=a（xh）2+k（a0）来说，坐标为（x，y）的所有点都在他的图像上，关于（m，n）的对称点为（2mx，2ny），那么坐标为（2mx，2ny）都在抛物线关于（m，n）对称的抛物线上，我们把（2mx，2ny）代入y=a（xh）2+k（a0）就可以得到它关于（m，n）对称的抛物线的解析式为2ny=a（2mxh）2+k，变形为y=a（x2m+h）2+2nk现在利用待定系数法来验证这个方法是否正确首先y=a（xh）2+k（a0）和它关于点（m，n）的对称的抛物线的开口大小是一样的，所以二次项系数的绝对值是相同的，由于关于点对称，开口方向是相反的，故二次项系数互为相反数；其次原抛物线与对称抛物线的顶点是关于（m，n）对称的，原抛物线的顶点为（h，k），它关于（m，n）的对称点的坐标为（2mh，2nk），那么对称抛物线的解析式可以写成y=a（x2m+h）2+2nk，和利用上述方法所得结果一致1、已知抛物线C1：y=ax22amx+am2+2m+1(a0，m1)的顶点为A，抛物线C2的对称轴是y轴，顶点为B，且抛物线C1和C2关于P(1，3)成中心对称（1） 用含m的代数式表示抛物线C1的顶点坐标（2） 求m的值和抛物线C2的解析式（3） 设抛物线C2与x正半轴的交点是C，当ABC为等腰三角形时，求a的值思路点拨：（1）很多人一看到求抛物线的顶点，习惯使用顶点的坐标公式来求，如果你熟悉因式分解和抛物线的顶点公式是如何得到的，那么这个题明显利用配方更容易得到顶点坐标，y=a（xm）2+2m+1，故顶点坐标为（m，2m+1）（1） C1和C2关于点对称，利用上述方法容易求出C2的解析式和顶点坐标，易知m=2解：（1）由于抛物线C1：y=ax2-2amx+am2+2m+1=a（x-m）2+2m+1，故抛物线C1的顶点A（m，2m+1）（2）分别过A、P作y轴的垂线，设垂足为F、E；A、B关于P点呈中心对称，AB=2BP；PE是ABF的中位线，即AF=2PE=2，故m=2，A（2，5）；设直线AP的解析式为y=kx+b，则有：，解得k=2,b=1，直线AP：y=2x+1，故B（0，1）；由于抛物线C1和C2关于P（1，3）成中心对称，且顶点B（0，1），则：抛物线C2：y=-ax2+1（3）设C（x，0），已知A（2，5），B（0，1）；AB2=（2-0）2+（5-1）2=20，AC2=（2-x）2+52=x2-4x+29，BC2=（0-x）2+1=x2+1；若ABC为等腰三角形，则有：AB=AC，由于AB=2，而A（2，5），因此AC5，故ABAC，此种情况不成立；AB=BC，则AB2=BC2，有：x2+1=20，解得x=（负值舍去）；将x=代入抛物线C2的解析式中，得：-19a+1=0，即a=；AC=BC，则AC2=BC2，有：x2-4x+29=x2+1，解得x=7；将x=7代入抛物线C2的解析式中，得：-49a+1=0，即a=；故ABC为等腰三角形时，a的值为或2、如图，已知抛物线与x轴交于点A（-2，0），B（4，0），与y轴交于点C（0，8），（1）试求抛物线的解析式；（2）设点D是该抛物线的顶点，试求直线CD的解析式；（3）若直线CD交x轴于点E，过点B作x轴的垂线，交直线CD于点F，将抛物线沿其对称轴上、下平移，使抛物线与线段EF总有公共点试探究：抛物线向上最多可平移多少个单位长度？向下最多可平移多少个单位长度？解：（1）抛物线的解析式为y=a（x+2）（x-4），抛物线与y轴交于点C（0，8），-8a=8，解得a=-1，y=-x2+2x+8；（2）y=-x2+2x+8，顶点坐标为（1，9），设过CD的解析式为y=kx+b，b=8，k+8=9，解得k=1，过CD的解析式为y=x+8；若直线CD交x轴于点E，过点B作x轴的垂线，交直线CD于点F，将抛物线沿其对称轴上、下平移，使抛物线与线段EF总有公共点试探究：抛物线向上最多可平移多少个单位长度？向下最多可平移多少个单位长度？（3）由上求得E（-8，0），F（4，12）若抛物线向上平移，可设解析式为y=-x2+2x+8+m（m0）当x=-8时，y=-72+m当x=4时，y=m-72+m0或m120m72若抛物线向下移，可设解析式为y=-x2+2x+8-m（m0）由，有x2-x+m=0=1-4m0，0m向上最多可平移72个单位长，向下最多可平移个单位长3、设抛物线C1：y=a1x2+b1x+c1的顶点为（m1，n1），抛物线C2：y=a2x2+b2x+c2的顶点为（m2，n2），如果a1+a2=0，那么我们称抛物线C1与C2关于点（ ，）中心对称给出抛物线y=x2+4x+3，抛物线y=-x2+4x+1（1）判断抛物线与抛物线是否中心对称？若是，求出对称中心的坐标；若不是，说明理由；（2）直线y=m交抛物线于A、B两点，交抛物线于C、D两点，如果AB=2CD，求m的值；（3）设抛物线与抛物线的顶点分别为M、N，点P在x轴上移动，若MNP为直角三角形，求点P坐标解：（1）抛物线y=x2+4x+3的a1=1，抛物线y=-x2+4x+1的a2=-1a1+a2=0，抛物线与抛物线是中心对称，抛物线y=x2+4x+3的顶点坐标（-2，-1），抛物线y=-x2+4x+1的顶点坐标（2，5），对称中心的坐标（ ，），即：（0，2）；（2）点A、B的横坐标是方程x2+4x+3=m的两根，xA+xB=-4，xAxB=3-m，AB=|xA-xB|=，同理CD=，AB=2CD，解得：m=；（3）设点P（n，0）由（1）得M（-2，-1），N（2，5），作MEx轴于E，作NFx轴于F，PN2=NF2+PF2=25+（n-2）2，同理PM2=ME2+PE2=1+（n+2）2，MN2=42+62=52若MNP=90，PM2=MN2+PN2，解得n=；若NMP=90，PN2=MN2+PM2，解得n=-；若NPM=90，PN2+PM2=MN2，解得n=3（或由则NPFPME亦可求）综上，点P坐标为：P1（，0），P2（-，0），P3（3，0），P4（-3，0）4、如图所示，在平面直角坐标系中，现将一张等腰直角三角形纸片ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点B的坐标为（-3，1），且抛物线y=ax2+ax-4a经过点B（）求抛物线的解析式；（）求点A和点C的坐标；（）以AC所在直线为对称轴，将ABC折叠，问点B的对称点B1是否落在抛物线上？再以AC的中点为对称中心，将ABC作中心对称变换，这时点B的对称点B2是否落在抛物线上？若在，求出它们的坐标；若不在，请说明理由解：（）抛物线y=ax2+ax-4a经过点B，1=9a-3a-4a，解得：a=；抛物线的解析式为：y=x2+x-2；（）过点B作BDx轴，垂足为D，BCD+ACO=90，ACO+CAO=90，BCD=CAO，BDC=COA=90，CB=AC，BCDCAO，点B坐标是（-3，1），BD=OC=1，CD=OA=2，点A的坐标S是（0，2），点C的坐标是（-1，0）；（）B1和B2都在抛物线上，延长BC至点B1，使得B1C=BC，得到点B的对称点B1，过点B1作B1Mx轴，CB1=CB，MCB1=BCD，B1MC=BDC=90，MB1CDBC，CM=CD=2，B1M=BD=1，可求得点B1（1，-1），过点A作AB2CB，且AB2=CB，得到点B的对称点B2，过点B2作B2Ny轴，同理可证AB2NCAO，NB2=OA=2，AN=OC=1，可求得点B2（2，1），经检验，点B1（1，-1）与点B2（2，1）都在抛物线y=x2+x-2上5、已知抛物线y=ax2+bx+c过点C（0，3），顶点P（2，-1），直线x=m（m3）交x轴于点D，抛物线交x轴于A、B两点（如图10）（1）求得抛物线的函数解析式为 y=x2-4x+3；A、B两点的坐标是A（ （1，0），B（ （3，0）；该抛物线关于原点成中心对称的抛物线的函数解析式是 y=-x2-4x-3；将已知抛物线平移，使顶点落在原点，则平移后得到的新抛物线的函数解析式是 y=x2（2）若直线x=m（m3）上有一点E（E在第一象限），使得以B、E、D为顶点的三角形和以A、C、O为顶点的三角形相似，求E点的坐标（用m的代数式表示）（3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得四边形ABEF为平行四边形，若存在，求出m的值及平行四边形ABEF的面积；若不存在，请说明理由解：（1）将点（0，3）代入可得c=3，又顶点P（2，-1），可得出-，解得：a=1，b=-4，即可得抛物线的函数解析式为y=x2-4x+3；由得：y=-x2-4x+3=（x-1）（x+3），故可得出A（1，0），B（3，0）；设点（x，y）在对称后的函数图象上，则（-x，-y）在原函数图象上，故可得：-y=x2+4x+3，y=-x2-4x-3即关于原点成中心对称的抛物线解析式为：y=-x2-4x-3；平移后顶点落在原点的抛物线为y=x2（2）当EDBAOC时，则ED= ，得E1m，；当EDBCOA时，即，则ED=3（m-3），得E2（m，3m-9）因为EDB=AOC=90，所以只有这两种情况（3）在（2）的条件下，假设抛物线上存在点F，使四边形ABEF为平行四边形，则EF=AB=2，点F横坐标m-2，纵坐标等于点E的纵坐标，当点E坐标为：E1（m，）时，F1（m-2，）在抛物线上，有=(m-2)2-4(m-2)+33m2-25m+48=0，m=或3（舍去），这时F1（，），S平行四边形ABEF=2=当点E坐标为：E2（m，3m-9）时，F2（m-2，3m-9）在抛物线上，则3m-9=（m-2）2-4（m-2）+3m2-11m+24=0，解得：m=8或3（舍去），这时F2（6，15），S平行四边形ABEF=215=30综上，存在m1=，S平行四边形=；存在m2=8，S平行四边形ABEF=306、如图，已知点A（-2，4）和点B（1，0）都在抛物线y=mx2+2mx+n上（1）求m、n；（2）向右平移上述抛物线，记平移后点A的对应点为A，点B的对应点为B，若四边形AABB为菱形，求平移后抛物线的表达式；（3）试求出菱形AABB的对称中心点M的坐标解：（1）根据题意，把A （-2，4）和点B （1，0）代入抛物线y=mx2+2mx+n中，解得；（2）四边形AABB为菱形，则AA=BB=AB=5；y=-x2-x+4，=-(x+1)2+；向右平移5个单位的抛物线解析式为，y=-(x-4)2+；（3）根据平移与菱形的性质，得到A（3，4），B（6，0）；过点A作AHx轴，在RtABH中，点H（3，0），点B（1，0），故BH=2，AH=4；设菱形AABB的中心点M，作MGx轴，根据中位线性质得MG=AH=2，BG=BH=1；因此菱形AABB的中心点M坐标为（2，2）7、矩形OABC的顶点A（-8，0）、C（0，6），点D是BC边上的中点，抛物线y=ax2+bx经过A、D两点，如图所示（1）求点D关于y轴的对称点D的坐标及a、b的值；（2）在y轴上取一点P，使PA+PD长度最短，求点P的坐标；（3）将抛物线y=ax2+bx向下平移，记平移后点A的对应点为A1，点D的对应点为D1，当抛物线平移到某个位置时，恰好使得点O是y轴上到A1、D1两点距离之和OA1+OD1最短的一点，求此抛物线的解析式解：（1）由矩形的性质可知：B（-8，6），D（-4，6）；点D关于y轴对称点D（4，6），将A（-8，0）、D（-4，6）代入y=ax2+bx得：，b3；（2）设直线AD的解析式为y=kx+n，则：，解得：k=,n=4，直线y=x+4，与y轴交于点（0，4），点P（0，4）；（3）由于OP=4，故将抛物线向下平移4个单位时，有OA1+OD1最短；y+4=-x2-3x，此时的解析式为y=-x2-3x-48、如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，2），点B的坐标为（3，1），二次函数y=x2的图象记为抛物线b1（1）平移抛物线b1，使平移后的抛物线经过点A，但不经过点B写出平移后的一个抛物线的函数关系式： y=x2+1（任写一个即可）；（2）平移抛物线b1，使平移后的抛物线经过A，B两点，记为抛物线b2，如图2求抛物线b2的函数关系式；（3）设抛物线b2的顶点为C，k为y轴上一点若SABK=SABC，如图3，求点K的坐标解：（1）向上平移抛物线b1，使平移后的抛物线经过点A，设平移后的抛物线的函数关系式：y=x2+b，点A的坐标为（1，2），2=1+b，解得：b=1，平移后的抛物线的函数关系式：y=x2+1；点B的坐标为（3，1），32+11，平移后的抛物线的函数关系式：y=x2+1；故答案为：y=x2+1（2）设抛物线b2经过A，B两点，解得：b=-,c=，抛物线b2的函数关系式为