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2008-2009淮阴中学高一数学竞赛学案 NO.2 编制：胡飞虎等差数列、等比数列例1.设等差数列的首项与公差均为非负整数，项数不小于3，且各项之和为972，则这样的数列有多少个？解：设等差数列的首项为，公差为。由已知有，即。又因为，所以只可能取，又因为且均为整数，故；若，由于为正数，则，即，故，这时有或；若，则，这时有或例2.各项为实数的等差数列的公差为4，其首项的平方与其余各项之和不超过100，这样的数列至多有多少项。例3.在数列中，其中（1） 求数列的通项公式（2）求数列的前n项和（3）证明存在，使得对任意均成立（十年高考NO.153） 例4. 已知数列中，且，其中k=1,2,3,.(1)求 （2）求的通项公式。 （十年高考NO.155）例5. 数列的定义如下：，且当时，有已知，求正整数n解:由题设易知，又由，可得，当n为偶数时，；当 是奇数时， （4分）由，所以n为偶数，于是，所以，是奇数于是依次可得：， 是偶数，是奇数，是偶数，是奇数，是偶数，是偶数，是奇数， （9分），是偶数，是奇数，是偶数， ，所以，得n238例6.已知数列都是等差数列，对一切(1) 求的值。（2）求使为整数的所有正整数n.例7. 已知数列满足，其中是给定的实数，是正整数，试求的值，使得的值最小【解】令，由题设，有，且5分 于是，即（）10分又，则当的值最小时，应有，且即， 15分由（）式，得 由于，且，解得，当时，的值最小 20分例8. 数列满足：证明：（1）对任意为正整数；(2)对任意为完全平方数。证明：（1）由题设得且严格单调递增.将条件式变形得两边平方整理得-得由式及可知，对任意为正整数.10分
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