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7.1二重积分的基本概念（教案）主讲人：孙杰华教学目的：理解二重积分的概念、性质教学重难点：二重积分的概念、二重积分的几何意义.教学方法：讲授为主教学内容：一、二重积分的概念1曲顶柱体的体积设有一空间立体,它的底是面上的有界区域,它的侧面是以的边界曲线为准线,而母线平行于轴的柱面,它的顶是曲面，称这种立体为曲顶柱体.与求曲边梯形的面积的方法类似，我们可以这样来求曲顶柱体的体积:(1)用任意一组曲线网将区域分成个小区域，以这些小区域的边界曲线为准线,作母线平行于轴的柱面,这些柱面将原来的曲顶柱体分划成个小曲顶柱体，.（假设所对应的小曲顶柱体为,这里既代表第个小区域,又表示它的面积值, 既代表第个小曲顶柱体,又代表它的体积值.)，从而图7.1 (2)由于连续,对于同一个小区域来说,函数值的变化不大因此,可以将小曲顶柱体近似地看作小平顶柱体,于是. (3)整个曲顶柱体的体积近似值为.(4)为得到的精确值,只需让这个小区域越来越小,即让每个小区域向某点收缩为此,我们引入区域直径的概念:一个闭区域的直径是指区域上任意两点距离的最大者.所谓让区域向一点收缩性地变小,意指让区域的直径趋向于零.设个小区域直径中的最大者为,则.2二重积分的定义设是闭区域上的有界函数, 将区域分成个小区域其中,既表示第个小区域,也表示它的面积, 表示它的直径.，作乘积，作和式 ，若极限存在,则称此极限值为函数在区域上的二重积分,记作.即其中:称之为被积函数,称之为被积表达式,称之为面积元素,称之为积分变量,称之为积分区域.3对二重积分定义的说明：(1)极限的存在与区域D的划分及点的选取无关。 (2)中的面积元素象征着积分和式中的.图7.2由于二重积分的定义中对区域的划分是任意的,若用一组平行于坐标轴的直线来划分区域,那么除了靠近边界曲线的一些小区域之外,绝大多数的小区域都是矩形,因此,可以将记作(并称为直角坐标系下的面积元素),二重积分也可表示成为 .(3)二重积分的存在定理若在闭区域上连续,则在上的二重积分存在.注 在以后的讨论中,我们总假定在闭区域上的二重积分存在.(4)若,二重积分表示以为曲顶,以为底的曲顶柱体的体积.练习：利用二重积分的几何意义求。二、二重积分的性质二重积分与定积分有相类似的性质性质1（线性性）,其中: 是常数性质2（对区域的可加性）若区域分为两个部分区域,则。性质3 若在上, 为区域的面积,则.几何意义:高为1的平顶柱体的体积在数值上等于柱体的底面积练习：求。性质 若在上,则有不等式.特别地,由于，有.练习：P119，1性质（估值不等式）设与分别是在闭区域上最大值和最小值,是的面积,则.练习：P119，3性质（二重积分的中值定理）设函数在闭区域上连续, 是的面积,则在上
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