高数课件数列的极限.ppt

第二节数列的极限 一 数列极限的定义 二 收敛数列的性质 三 小结习题 割之弥细 所失弥少 割之又割 以至于不可割 则与圆周合体而无所失矣 1 割圆术 播放 刘徽 一 数列极限的定义 1概念的引入 正六边形的面积 正十二边形的面积 正形的面积 2 截丈问题 一尺之棰 日截其半 万世不竭 例如 2数列的定义 注意 1数列对应着数轴上一个点列 可看作一动点在数轴上依次取 2数列是整标函数 播放 3数列的极限 问题 当无限增大时 是否无限接近于某一确定的数值 如果是 如何确定 问题 无限接近 意味着什么 如何用数学语言刻划它 通过上面演示实验的观察 如果数列没有极限 就说数列是发散的 注意 几何解释 其中 数列极限的定义未给出求极限的方法 例1 证 所以 注意 例2 已知 证明 证 欲使 只要 即 取 则当 时 就有 故 故也可取 也可由 N与 有关 但不唯一 不一定取最小的N 说明 取 机动目录上页下页返回结束 例3 设 证明等比数列 证 欲使 只要 即 亦即 因此 取 则当n N时 就有 故 的极限为0 机动目录上页下页返回结束 例4 证 所以 说明常数列的极限等于同一常数 小结 用定义证数列极限存在时 关键是任意给定寻找N 但不必要求最小的N 1唯一性 定理1每个收敛的数列只有一个极限 证法一 由定义 故收敛数列极限唯一 二 收敛数列的性质 证法二 用反证法 及 且 取 因 故存在N1 从而 同理 因 故存在N2 使当n N2时 有 使当n N1时 假设 从而 矛盾 因此收敛数列的极限必唯一 则当n N时 故假设不真 满足的不等式 机动目录上页下页返回结束 2有界性 例如 有界 无界 定理2收敛的数列必定有界 证 设 取 则 当 时 从而有 取 则有 由此证明收敛数列必有界 说明 此性质反过来不一定成立 例如 虽有界但不收敛 有 数列 机动目录上页下页返回结束 注意有界性是数列收敛的必要条件 推论无界数列必定发散 3 收敛数列的保号性 若 且 时 有 证 对a 0 取 推论 若数列从某项起 用反证法证明 机动目录上页下页返回结束 4子数列 注意 例如 定义 三 小结习题 数列研究其变化规律 数列极限数列极限的 N 定义 收敛数列的性质有界性 唯一性 保号性 子数列的定义 解 习题解答P312题 习题解答 返回习题 习题解答P313题 3 证 习题解答 返回习题 作业 P30 311 2 4 6 8 第三节目录上页下页返回结束 1 割圆术 割之弥细 所失弥少 割之又割 以至于不可割 则与圆周合体而无所失矣 刘徽 一 数列极限的定义 1概念的引入 1 割圆术 割之弥细 所失弥少 割之又割 以至于不可割 则与圆周合体而无所失矣 刘徽 一 数列极限的定义 1概念的引入 割之弥细 所失弥少 割之又割 以至于不可割 则与圆周合体而无所失矣 1 割圆术 刘徽 一 数列极限的定义 1概念的引入 割之弥细 所失弥少 割之又割 以至于不可割 则与圆周合体而无所失矣 1 割圆术 刘徽 一 数列极限的定义 1概念的引入 割之弥细 所失弥少 割之又割 以至于不可割 则与圆周合体而无所失矣 1 割圆术 刘徽 一 数列极限的定义 1概念的引入 割之弥细 所失弥少 割之又割 以至于不可割 则与圆周合体而无所失矣 1 割圆术 刘徽 一 数列极限的定义 1概念的引入 割之弥细 所失弥少 割之又割 以至于不可割 则与圆周合体而无所失矣 1 割圆术 刘徽 一 数列极限的定义 1概念的引入 割之弥细 所失弥少 割之又割 以至于不可割 则与圆周合体而无所失矣 1 割圆术 刘徽 一 数列极限的定义 1概念的引入 割之弥细 所失弥少 割之又割 以至于不可割 则与圆周合体而无所失矣 1 割圆术 刘徽 一 数列极限的定义 1概念的引入 3数列的极限