2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）试题及点评.doc

【解读报告作者】 姓 名：袁作生 工作单位：深圳市南头中学2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合，则 A B C D2已知复数满足，则 A B C D3若变量满足约束条件的最大值和最小值分别为和，则 A B C D4实数满足，则曲线与曲线的 A离心率相等 B虚半轴长相等 C实半轴长相等 D焦距相等5已知向量，则下列向量中与成夹角的是 A B C D6已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图和所示，为了该地区中小学生的近视近视率/%小学初中高中年级O 形成原因，用分层抽样的方法抽取的学生进行调查则样本容量和抽取的高中生近 视人数分别是小学生名初中生名高中生名 A B C D7若空中四条两两不同的直线满足，则下面结论一定正确的 是A B C既不垂直也不平行 D的位置关系不确定8设集合，那么集合中满足条件 “”的元素的个数为 A B C D二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分（一）必做题（913题）9不等式等式的解集为 10曲线在点处的切线方程为 11从中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是的概率为 12在中，角所对应的边分别为，已知， 则 13若等比数列的各项均为正数,且,则 （二）选做题（1415题，考生只能从中选做一题）14（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线和的方程分别为 和，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴正半轴，建立平面直角坐 标系，则曲线和交点的直角坐标为_15（几何证明选讲选做题）如图3,在平行四边形中，点在上且，CEABFD 与交于点，则 三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16（本小题满分12分） 已知函数，且 （1）求的值； （2）若，求17（本小题满分13分） 随机观测生产某种零件的某工厂名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下： 根据上述数据得到样本的频率分布表如下： 分组 频数 频率 （1）确定样本频率分布表中和的值； （2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图； （3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取人，至少有人的日加工零件数落在区间的概率18（本小题满分13分） 如图，四边形为正方形，平面，PFEDCBA图于点，交于点 （1）证明：； （2）求二面角的余弦值19（本小题满分14分） 设数列的前项和为,且 （1）求的值； （2）求数列的通项公式解：（1）当时， 当时， 又 联立 解得 ，20（本小题满分14分） 已知椭圆的一个焦点为，离心率为 （1）求椭圆的标准方程； （2）若动点为椭圆外一点，且点到椭圆的两条切线相互垂直，求点的轨迹方程21（本小题满分14分） 设函数，其中 （1）求函数的定义域（用区间表示）； （2）讨论函数在上的单调性； （3）若，求上满足条件的的集合（用区间表示）2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）理科数学试题答案及解读一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1【解读与点评】 已知集合，则 A B C D解法：选B（求解对照），因为，所以点评：知识点: 集合表示及集合的并集运算2【解读与点评】 已知复数满足，则 A B C D解法1：选B（求解对照），由得解法2：因为，所以，故选B点评：知识点: 复数的基本运算 思想与方法: 转化xy 能力: 运算求解能力3【解读与点评】 若变量满足约束条件的最大值 和最小值分别为和，则 A B C D解法1：画出可行域，由图象知 当，时， 当，时， 所以点评：知识点: 及线性规划 思想与方法:数形结合、转化与化归 能力: 逻辑思维4【解读与点评】 实数满足，则曲线与曲线的 A离心率相等 B虚半轴长相等 C实半轴长相等 D焦距相等解法1：由题意两曲线均为双曲线，且，故选D点评：知识点: 圆锥曲线的标准方程与性质 思想与方法: 转化与化归 能力: 推理论证5【解读与点评】 已知向量，则下列向量中与成夹角的是 A B C D解法1：当时，点评：知识点: 空间向量的数量积郁夹角 思想与方法: 转化 能力:运算求解 6【解读与点评】 已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图和所示，为了该地区中小学生的近视近视率/%小学初中高中年级O 形成原因，用分层抽样的方法抽取的学生进行调查则样本容量和抽取的高中生近 视人数分别是小学生名初中生名高中生名 A B C D 解法1：样本容量为，高中生近视人数 ，故选D点评：知识点: 概率与统计（分层抽样） 思想与方法: 转化 能力: 数据处理7【解读与点评】 若空中四条两两不同的直线满足，则下面结论一定正确的 是A B C既不垂直也不平行 D的位置关系不确定解法1：选D点评：知识点: 空间直线位置关系 思想与方法: 分类讨论 能力: 空间想象8【解读与点评】 设集合，那么集合中满足条件 “”的元素的个数为 A B C D 解法1：中 恰有个（中恰有个或） 恰有个（中恰有个或个或个另个） 恰有个（中恰有个或个或个另个或个另个为） 综上共有点评：知识点: 排列与组合的应用 思想与方法: 分类讨论、转化与化归 能力: 分析问题解决问题二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分（一）必做题（913题）9【解读与点评】 不等式等式的解集为 解法1：去绝对值符号 当时，解得； 当时，解得；yx 当时，解得； 故原不等式的解集为解法2：数形结合 在数轴上使的点为,结合图象,可得 原不等式的解集为解法3：数形结合 设,其图象如图所示, 由得或, 由图象可得 原不等式的解集为点评：知识点: 绝对值不等式求解 思想与方法: 分类讨论、数形结合 能力: 运算求解10【解读与点评】 曲线在点处的切线方程为 解法1：，故切线方程为点评：知识点: 导数几何意义的应用 思想与方法: 转化 能力: 运算求解11【解读与点评】 从中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是的概率为 解法：从中任取七个不同的数共有种取法，其中为个数中的中位数，必有个大于，另外个小于，故所求概率为点评：知识点: 排列组合的应用、古典概型、中位数 思想与方法: 转化 能力: 运算求解12【解读与点评】 在中，角所对应的边分别为，已知， 则 解法1：由射影定理得 ，结合题意有解法2：由正弦定理得即， ，即解法3：由余弦定理得，化简得点评：知识点: 余弦或正弦定理的应用 思想与方法: 转化 能力: 运算求解13【解读与点评】 若等比数列的各项均为正数,且,则 解：，设， 则，点评：知识点: 等比数列的性质与对数的运算 思想与方法: 转化 能力: 运算求解（二）选做题（1415题，考生只能从中选做一题）14【解读与点评】 （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线和的方程分别为和，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线和交点的直角坐标为_解：方程可化为，其直角坐标方程为，直角坐标方程为 ，所以和交点的直角坐标为点评：知识点: 极坐标与直角坐标互化 思想与方法: 转化 能力: 运算求解15【解读与点评】 （几何证明选讲选做题）如图，在平行四边形中，点在上且，CEABFD 与交于点，则 解：易知， 故点评：知识点: 相似三角形 思想与方法: 转化 能力: 运算求解 三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16（本小题满分12分） 已知函数，且 （1）求的值； （2）若，求解：（1）由得， 又，解得； （2）有（1）得， 则 又，所以， 又， 点评：知识点: 特殊角的三角函数值、两角和与差的三角函数、同角三角三角函数与诱导公式 思想与方法: 转化 能力: 运算求解17（本小题满分13分） 随机观测生产某种零件的某工厂名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下： 根据上述数据得到样本的频率分布表如下： 分组 频数 频率 （1）确定样本频率分布表中和的值； （2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图； （3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取人，至少有人的日加工零件数落在区间的概率日加工零件数频率组距0.0160.0240.040.0560.0642530354045500解：（1） （2）先计算 频率/组距；然后作图即可（3）由（1）知，任取一人，日加工零件数落在区间（30,35的概率为 设该厂任取4人，没有人日加工零件数落在区间（30,35的事件为，则，所以答：在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30,35的概率为点评：知识点: 频数的统计、频率的计算、样本频率分布直方图的画法、组合数与古典概率的计算 思想与方法: 转化与化归 能力: 数据处理、运算求解18（本小题满分13分） 如图，四边形为正方形，平面，PFEDCBA图于点，交于点 （1）证明：； （2）求二面角的余弦值解：（1）平面，平面 ，又， ，平面， 平面， 而， ； （2）过作交于，过作交于， 由（1）可得 平面，再由三垂线定理得为二面角的平面角，设可得， ， 方法2（向量法）由（1）可得，建立空间直角坐标系，如图所示.设在中，则；由（1）知，所以，因为，所以，所以，所以，所以，则设平面的法向量为，则，得，取，则，所以由（1）可知，平面的法向量为，所以设二面角为，则 点评：知识点: 空间直线与平面的位置关系、二面角的计算 思想与方法: 数形结合、转化 能力: 运算求解、空间想象19（本小题满分14分） 设数列的前项和为,且 （1）求的值； （2）求数列的通项公式解：（1）当时， 当时， 由解得(2)当时，化简得(当时也成立)方法1：（凑配）令，求得即令，则，即因为，故必有，即方法2：（数学归纳法）由（1），猜想，下面用数学归纳法证明对：当时，成立假设当时成立，即有，当时， 所以，成立综上所述，对点评：知识点:数列基本知识、数列的前项和与的关系 思想与方法: 转化与化归 能力: 运算求解、推理论证20（本小题满分14分） 已知椭圆的一个焦点为，离心率为 （1）求椭圆的标准方程； （2）若动点为椭圆外一点，且点到椭圆的两条切线相互垂直，求点的轨迹方程解：（1）依题意有故所求椭圆C的标准方程为 （2）当两条切线的斜率存在时，设过点的切线为联立消去得判别式化简得，即依题意得，即 当两条切线的斜率有一条不存在时，结合图像得是直线 的四个交点，也满足，故点的轨迹方程为点评：知识点: 椭圆的标准方程与性质、直线与椭圆的位置关系 思想与方法: 转化与化归 能力: 运算求解、推理论证21（本小题满分14分） 设函数，其中 （1）求函数的定义域（用区间表示）； （2）讨论函数在上的单调性； （3）若，求上满足条件的的集合（用区间表示）解：（1）依题意有故均有两根记为 注意到，故不等式的解集为 ，即（2）令则令，注意到，故方程有两个不相等的实数根记为，且注意到结合图像可知在区间上，单调递增在区间上，单调递减故在区间上单调递减，在区间上单调递增.（3）在区间上，令，即，即方程的判别式，故此方程有4个不相等的实数根，记为注意到，故，故，故故结合和函数的图像可得的解集为 点评：知识点: 函数的概念与性质 思想与方法: 转化与化归 能力: 运算求解、推理论证总体评价: 一、数据1（平均分）理科文科题号平均分题号平均分选择题31.87选择题35.9填空必做题15.09填空必做题9.28填空选做题3.7填空选做题3.2616题（三角）8.9616题（三角）6.6117题（统计）8.3717题（统计）9.0318题（立几）7.3818题（立几）3.519题（数列）5.419题（数列）3.0120题（解几）4.7420题（解几）3.3321题（函数）0.821题（函数）1.17总分86.31总分75.09 数据2学科平均分标准差离差系数区分度数学理科86.3127.9532.380.37数学文科75.0931.4641.90.56注：离差系数越大，说明拉开分差的能力越强二、数学评卷组组长点评2014年广东省高考数学试卷延续了近几年的命题风格，试卷结构和题型与往年保持一致，立足于考查基础知识、基本技能和基本的数学思维。如文理科概率统计解答题分别考查茎叶图和频率分布直方图这些统计中的基本概念。文理科最后三题题型与往年一致，但增加了灵活性，要求有较强的运算能力、归纳推理能力和对于知识灵活的综合运用能力。解答题都有2-3个小问，其难度梯度设置合理，区分度更好。从近几天评卷情况来看，考生的主要问题还是表现在概念不清、运算能力薄弱、思维不够灵活。比如，近八成的理科考生不能准确画出频率分布直方图。在简单的数字运算、方程或方程组求解、代数式的恒等变形等计算过程中出错是普遍存在的现象。理科数列解答题考查学生的推理意识,文科则考查代数式的变形能力，但很多考生死记公式硬搬技巧而无法解决，反映出学生思维的灵活性不够。对于同样的知识点，只要难点稍有变化就没有办法了。另外，在证明和运算过程中必须交待的论据要么不足要么被省略了。有些考生甚至连点的坐标都不会正确的表示出来。估计文理科数学平均分比去年略有降低。近年来高考数学的命题趋势反复告诉我们，中学数学教学应该注重基础知识的掌握和基本技能训练，注重培养学生分析问题和解决问题的能力。要教会学生如何思考数学问题，讲清楚问题或者解题方法的来龙去脉及其规律，要教给他们一把钥匙，那就是数学的思想。磨刀不误砍柴功，应该避免一味的高强度机械应试训练。2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷文）一、选择题：1已知集合，则A B C D 2已知复数满足，则A B C D3已知向量，则 A B C D 4若变量满足约束条件，则的最大值等于A B C D5下列函数为奇函数的是（ A ） A B C D6为了了解名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为的样本，则分段的间隔为A B C D7在中，角所对应的边分别为，则是的A充分必要条件 B充分非必要条件 C必要非充分条件 D非充分非必要条件8若实数满足，则曲线与曲线的A.实半轴长相等 B虚半轴长相等 C离心率相等 D焦距相等9若空间中四条两两不相同的直线满足，则下列结论一定正确的是A B C既不平行也不垂直 D位置关系不确定10对任意复数，定义，其中是的共轭复数.对任意复数 ，有如下四个命题： 则真命题的个数是 A B C D二、填空题：11.曲线在点处的切线方程为 12.从字母中任取两个不同的字母，则取到字母的概率为 13等比数列的各项均为正数，且，则 （二）选做题：14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线与的方程分别为与，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线与的交点的直角坐标为 15.（几何证明选讲选做题）如图1，在平行四边形中，点E在上且,与交于点，则 三解答题：16（本小题满分12 分）已知函数 （1）求的值；（2）若，求.17（本小题满分12 分）某车间20名工人年龄数据如下表：年龄（岁）工人数（人）192829303132401335431 合计20（1）求这20名工人年龄的众数与极差；（2）以这十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图；（1）求这20名工人年龄的方差；18.如图2，四边形为矩形，平面，,作如图3折叠，折痕，其中点分别在线段上，沿折叠后点叠在线段上的点记为，并且.（1）证明：平面;（2）求三棱锥的体积CEFPBADPADCBFEM19.(本小题满分14分)设各项为正数的数列的前和为,且满足(1)求的值;(2)求数列的通项公式;(3)证明:对一切正整数,有20.(本小题满分14分)已知椭圆的一个焦点为，离心率为(1)求椭圆的标准方程;(2)若动点为椭圆外一点,且点到椭圆的两条切线相互垂直,求点的轨迹方程21.(本小题满分14分)已知函数.(1)求函数的单调区间;(2)当时,试讨论是否存在,使得2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）一、选择题：1已知集合，则A B C D 解析：，2已知复数满足，则A B C D解析：3已知向量，则A B C D 解析：4若变量满足约束条件，则的最大值等于A B C D解析：作出可行域(为一个五边形及其内部区域),易知在点处目标函数取到最大值，选C.5下列函数为奇函数的是A B C D解析：设，6为了了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为的样本，则分段的间隔为A B C D解析：分段的间隔为7在中，角所对应的边分别为，则是的A充分必要条件 B充分非必要条件 C必要非充分条件 D非充分非必要条件解析：由正弦定理得，8若实数满足，则曲线与曲线的A.实半轴长相等 B虚半轴长相等 C离心率相等 D焦距相等解析：，两曲线均为双曲线， 又，故焦距相等9若空间中四条两两不相同的直线满足，则下列结论一定正 确的是A B C既不平行也不垂直 D位置关系不确定解析：选D10对任意复数，定义，其中是的共轭复数.对任意复数 ，有如下四个命题： 则真命题的个数是 A B C D解析： 左边，右边，左右不等 左边 右边，左右不等 故真，假，选B二、填空题：11曲线在点处的切线方程为 解析：，切线方程为即12从字母中任取两个不同的字母，则取到字母的概率为 解析：13等比数列的各项均为正数，且，则 解析：设， 则， ，（二）选做题：14（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线与的方程分别为与，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线与的交点的直角坐标为 解析：由得故的直角坐标方程为，直角坐标方程为，的交点的直角坐标为15（几何证明选讲选做题）如图1，在平行四边形中，点E在上且,与交于点，则 解析：三解答题：16（本小题满分12 分）已知函数 （1）求的值；（2）若，求.解；（1）； （2）由（1）得， 故 17（本小题满分12 分）某车间名工人年龄数据如下表：年龄（岁）工人数（人）192829303132401335431