3．1．1圆的对称性（第一课时）.docx

311 圆的对称性（第一课时）教学目标 了解圆的有关概念，理解垂径定理并灵活运用垂径定理及圆的概念解决一些实际问题 通过对圆的图形的认识，使学生认识新的几何图形的对称美，体会所体现出的完美性，培养学生美的感受，激发学习兴趣重难点、关键 1重点：垂径定理及其运用 2难点与关键：探索并证明垂径定理及利用垂径定理解决一些实际问题教学过程创设现实情境，引入新课师前面我们已经学习过两种常见的几何图形，三角形、四边形大家回忆一下我们是通过一些什么方法研究了它们的性质？ 师好！大家总结得很详细，今天我们继续运用这些方法来学习和研究小学已接触过的另一种常见的几何图形圆和三角形、四边形一样，圆的性质与应用同样需要通过轴反射、平移、旋转、推理证明等方法去学习和探究讲授新课师日常生活中同学们经常见到的汽车、摩托车、自行车等一些交通运输工具的车轮是什么形状的？ 师请同学们思考一个问题，为什么车轮要做成圆形呢？能否做成长方形或正方形？老师这里有两个车轮模具，一个是圆形，一个是正方形我们一起观察一下这两个车轮在行进中有些什么特点？大家讨论讨论如下图： 师通过我们平常乘坐汽车，或骑自行车感受到，圆形的车轮只要路面平整，车子就不会上下颠簸，人坐在车上就感到平稳、舒服假如车轮是方形的，那么车子在行进中，就会对人产生一种上下颠簸，坐着不舒服的感觉下面我们一起来探讨一下，是什么原因导致车轮要做成圆形，不能做成方形看P83图，A、B表示车轮边缘上的两点，点O表示车轮的轴心，A、O之间的距离与B、O之间的距离有什么关系？用什么方法可以判断，大家动手做一做 师同学们做得很好大家通过不同的方法，得到的结果是什么？生OAOB师刚才是两个特殊点，现在我们在车轮边缘上任意取一点C，要使车轮能够平稳地滚动，C、O之间的距离与A、O之间的距离应有什么关系？生COAO这样才能保证车轮平稳地滚动师同学们以前画过圆，画一个圆很简单将圆规的一个脚固定，另一个带有铅笔头的脚转一圈，一个圆就画出来了固定的那一点称为圆心所画得的圆圈叫圆周从画圆的过程中可以看到，圆规两个脚之间的长度始终保持不变，也就是说圆心到圆周上任意一点的距离都相等这是圆的一个重要而又最基本的性质人们就是用圆的这种性质来制造车轮的，车轴总是安装在车轮的圆心位置上，这样，车轴到车轮边缘的距离处处相等也就是说，车子在行进中，车轴离路面的距离总是一样的车子在平路上行走较平稳，假如是方形的，车轴到路面的距离时大时小，车子就会产生颠簸2、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆(circle)其中，定点称为圆心(Centre of a circle)，定长称为半径(radius)以点O为圆心的圆记作O，读作“圆O”注意：确定一个圆需要两个要素，一是位置，二是大小圆心确定其位置，半径确定其大小只有圆心没有半径，虽圆的位置固定，但大小不定，因而圆不确定；只有半径而没有圆心，虽圆的大小固定，但圆心的位置不定，因而圆也不确定只有圆心和半径都固定，圆才被唯一确定问： 1体育教师想利用一根3m长的绳子在操场上画一个半径为3m的圆，你能帮他想想办法吗？答：将绳子的一端A固定，然后拉紧绳子的另一端B，并绕A在地上转一圈，B所经过的路径就是所希望的圆小结：圆也可以看成平面内一动点绕一个定点旋转一周所形成的图形。 同时，我们又把 连结圆上任意两点的线段叫做弦，如图线段AC，AB； 经过圆心的弦叫做直径，如图24-1线段AB； 直径是弦，是圆内最长的弦，但弦不一定是直径 3、圆的三种对称性 （1）什么是相等的圆（等圆）？（2）圆有几种对称性？圆是旋转对称图形，即圆绕圆心旋转任意角度，都能与自身重合。特别地，圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？ 2你是用什么方法解决上述问题的？与同伴进行交流 （老师点评）1圆是轴对称图形，它的对称轴是直径，我能找到无数多条直径 3我是利用沿着圆的任意一条直径折叠的方法解决圆的对称轴问题的 因此，我们可以得到：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线，或任意一条直径所在的直线 （学生活动）请同学按下面要求完成下题：如图，AB是O的一条弦，作直径CD，使CDAB，垂足为M （1）如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些线段的等量关系？说一说你理由 （老师点评）（1）是轴对称图形，其对称轴是CD （2）AM=BM，即直径CD平分弦AB 这样，我们就得到下面的定理：垂直于弦的直径平分这条弦（用因为、所以的几何语言来表达） 下面我们用逻辑思维给它证明一下： 已知：直径CD、弦AB且CDAB垂足为M 求证：AM=BM. 分析：要证AM=BM，只要证AM、BM构成的两个三角形全等因此，只要连结OA、OB或AC、BC即可证明：如图，连结OA、OB，则OA=OB在RtOAM和RtOBM中 RtOAMRtOBM AM=BM 进一步，我们还可以得到结论：平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦师为什么上述条件要强调“弦不是直径”？生因为圆的任意两条直径互相平分，但是它们不一定是互相垂直的师我们把上述结论称为垂径定理的一个逆定理师同学们，你能写出它的证明过程吗？生如上图，连结OA、OB，则OAOB在等腰OAB中，AMMB，CDAB(等腰三角形的三线合一) 例1如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（点O是圆心，其中CD=600m，E为上一点，且OECD，垂足为F，EF=90m，求这段弯路的半径分析：例1是垂径定理的应用，解题过程中使用了列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握 解：如图，连接OC 设弯路的半径为R，则OF=（R-90）m OECD CF=CD=600=300（m） 根据勾股定理，得：OC2=CF2+OF2 即R2