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三 向量的混合积 第三节 一 两向量的数量积 二 两向量的向量积 机动目录上页下页返回结束 数量积向量积 混合积 第八章 一 两向量的数量积 沿与力夹角为 的直线移动 1 定义 设向量 的夹角为 称 数量积 点积 机动目录上页下页返回结束 启示 两向量作这样的运算 结果是一个数量 故 2 性质 为两个非零向量 则有 结论两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积 3 运算律 1 交换律 2 结合律 3 分配律 事实上 当 时 显然成立 机动目录上页下页返回结束 4 数量积的坐标表示 设 则 当 为非零向量时 由于 两向量的夹角公式 得 例1 已知三点 AMB 解 则 求 故 由此可知两向量垂直的充要条件为 解 证 二 两向量的向量积 引例 设O为杠杆L的支点 有一个与杠杆夹角为 符合右手规则 机动目录上页下页返回结束 1 定义 定义 向量 方向 叉积 记作 且符合右手规则 模 向量积 引例中的力矩 思考 右图三角形面积 S 机动目录上页下页返回结束 向量积的几何意义 向量积的几何意义 2 性质 为非零向量 则 3 运算律 2 分配律 3 结合律 证明略 证明 机动目录上页下页返回结束 4 向量积的坐标表示式 设 则 机动目录上页下页返回结束 向量积的行列式计算法 进一步 例4 已知三点 角形ABC的面积 解 如图所示 求三 机动目录上页下页返回结束 若求AB边上的高 解 解 内容小结 设 1 向量运算 加减 数乘 点积 叉积 机动目录上页下页返回结束 2 向量关系 机动目录上页下页返回结束 作业 习题8 3 1 2 7 10 三 向量的混合积 1 定义 已知三向量 称数量 混合积 几何意义 为棱作平行六面体 底面积 高 故平行六面体体积为 则其 机动目录上页下页返回结束 2 混合积的坐标表示 设 机动目录上页下页返回结束 3 性质 1 三个非零向量 共面的充要条件是 2 轮换对称性 机动目录上页下页返回结束 例6 证明四点 共面 解 因 故A B C D四点共面 机动目录上页下页返回结束 思考与练习 1 设 计算 并求 夹角 的正弦与余弦 答案 机动目录上页下页返回结束 2 已知向量 的夹角 且 解 机动目录上页下页返回结束 在顶点为 三角形中 求AC边上的高BD 解 三角形ABC的面积为 3 而 故有 机动目录上页下页返回结束 例1 证明三角形余弦定理 证 则 如图 设 机动目录上页下页返回结束 为 求单位时间内流过该平面域的流体的质量P 流体密度 例3 设均匀流速为 的流体流过一
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