2020年3月高三第一次大联考新课标Ⅱ卷理科数学试卷含答案.pdf

理科数学第 1页 共 6页 2020 年 3 月高三第一次大联考 新课标 卷 理科数学试卷 满分 150 分 考试时间 120 分钟 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一个选项是符 合题目要求的 1 若 2 1i i z 则z的虚部是 A 3B 3 C 3iD 3i 2 已知集合 2 1 Ax x 2 log1 Bxx 则 A 02 ABxx B 2 ABx x C 2 ABx x D 12 ABxx 3 已知等差数列 n a的前 n 项和为 n S 26 2 21aS 则 5 a A 3B 4C 5D 6 4 刘徽是我国魏晋时期伟大的数学家 他在 九章算术 中对勾股定理的证明如图所示 勾自乘为朱方 股自乘为青方 令出入相补 各从其类 因就其余不移动也 合成弦方之幂 开方除之 即弦也 已知 图中网格纸上小正方形的边长为 1 其中 正方形ABCD为朱方 正方形BEFG为青方 则在五边形 AGFID内随机取一个点 此点取自朱方的概率为 A 16 37 B 9 49 C 9 37 D 3 11 5 根据国家统计局发布的数据 2019 年 11 月全国 CPI 居民消费价格指数 同比上涨 4 5 CPI 上涨的 主要因素是猪肉价格的上涨 猪肉加上其他畜肉影响 CPI 上涨 3 27 个百分点 下图是 2019 年 11 月 CPI 一篮子商品所占权重 根据该图 下列结论错误的是 理科数学第 2页 共 6页 A CPI 一篮子商品中所占权重最大的是居住 B CPI 一篮子商品中吃穿住所占权重超过 50 C 猪肉在 CPI 一篮子商品中所占权重为 2 5 D 猪肉与其他畜肉在 CPI 一篮子商品中所占权重约为 0 18 6 函数 cos cos xx f x xx 在 2 2 的图象大致为 AB CD 7 2019 年 10 月 1 日 中华人民共和国成立 70 周年 举国同庆 将 2 0 1 9 10 这 5 个数字按照任意次序排成 一行 拼成一个 6 位数 则产生的不同的 6 位数的个数为 A 96B 84C 120D 360 8 已知直线30 xym 过双曲线 C 22 22 1 0 0 xy ab ab 的左焦点 F 且与双曲线 C 在第二象限交 理科数学第 3页 共 6页 于点 A 若 FAFO O 为坐标原点 则双曲线 C 的离心率为 A 2D 51 9 如图 已知正方体 1111 B 3 1 C 5 ABCD A B C D 的棱长为 2 点 P 段 1 CB上 且 1 2B PPC 平面 经过点 1 A P C 则正方体 1111 ABCDABC D 被平面 截得的截面面积为 A 3 6B 2 6 C 5D 5 3 4 10 已知 1 F 2 F是椭圆 22 22 1 0 xy Cab ab 的左 右焦点 过 2 F的直线交椭圆于 P Q两点 若 2211 QFPFPFQF依次构成等差数列 且 1 PQPF 则椭圆C的离心率为 A 2 3 B 3 4 C 15 5 D 105 15 11 为了研究国民收入在国民之间的分配 避免贫富过分悬殊 美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨 曲线 如图所示 劳伦茨曲线为直线OL时 表示收入完全平等 劳伦茨曲线为折线OKL时 表示收入完 全不平等 记区域A为不平等区域 a表示其面积 S为OKL 的面积 将Gini a S 称为基尼系数 对于下列说法 Gini越小 则国民分配越公平 设劳伦茨曲线对应的函数为 yf x 则对 0 1 x 均有 1 f x x 理科数学第 4页 共 6页 若某国家某年的劳伦茨曲线近似为 2 0 1 yxx 则 1 Gini 4 若某国家某年的劳伦茨曲线近似为 3 0 1 yxx 则 1 Gini 2 其中正确的是 A B C D 12 定 义 N f xg x 表 示 不 等 式 f xg x 的 解 集 中 的 整 数 解 之 和 若 2 log f xx 2 1 2g xa x 6N f xg x 则实数a的取值范围是 A 1 B 2 log 32 0 C 2 2log 6 0 D 2 log 32 0 4 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 13 已知单位向量 a b的夹角为 2 3 则 2 ab 14 若 1 sin 0 63 则 cos 12 15 已知数列 n a中 n S为其前n项和 1 1a 1 2n nn a a 则 6 a 200 S 16 一个长 宽 高分别为 1 2 2 的长方体可以在一个圆柱形容器内任意转动 则容器体积的最小值为 三 解答题 本大题共 6 小题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 12 分 已知ABC 的内角 A B C的对边分别为 a b c 且满足 2 2cos ab B c 1 求角C的大小 2 若ABC 的面积为 3 3 2 求ABC 的周长的最小值 18 本小题满分 12 分 如图 在四棱锥PABCD 中 PAB 是等边三角形 BC AB 2 3BCCD 2ABAD 1 若3PBBE 求证 AE 平面PCD 2 若4PC 求二面角APCB 的正弦值 19 本小题满分 12 分 理科数学第 5页 共 6页 已知抛物线 2 2 0 C ypx p 的焦点为F 直线l交C于 A B两点 异于坐标原点 O 1 若直线l过点F 12OA OB 求C的方程 2 当 0OA OB 时 判断直线l是否过定点 若过定点 求出定点坐标 若不过定点 说明理由 20 本小题满分 12 分 手工艺是一种生活态度和对传统的坚持 在我国有很多手工艺品制作村落 村民的手工技艺世代相传 有些村落制造出的手工艺品不仅全国闻名 还大量远销海外 近年来某手工艺品村制作的手工艺品在国 外备受欢迎 该村村民成立了手工艺品外销合作社 为严把质量关 合作社对村民制作的每件手工艺 品都请 3 位行家进行质量把关 质量把关程序如下 i 若一件手工艺品 3 位行家都认为质量过关 则 该手工艺品质量为 A 级 ii 若仅有 1 位行家认为质量不过关 再由另外 2 位行家进行第二次质量把 关 若第二次质量把关这 2 位行家都认为质量过关 则该手工艺品质量为 B 级 若第二次质量把关这 2 位行家中有 1 位或 2 位认为质量不过关 则该手工艺品质量为 C 级 iii 若有 2 位或 3 位行家认为 质量不过关 则该手工艺品质量为 D 级 已知每一次质量把关中一件手工艺品被 1 位行家认为质量不过 关的概率为 1 3 且各手工艺品质量是否过关相互独立 1 求一件手工艺品质量为 B 级的概率 2 若一件手工艺品质量为 A B C 级均可外销 且利润分别为 900 元 600 元 300 元 质量为 D 级 不能外销 利润记为 100 元 求 10 件手工艺品中不能外销的手工艺品最有可能是多少件 记 1 件手工艺品的利润为 X 元 求 X 的分布列与期望 21 本小题满分 12 分 已知函数 ln ex x f x a 1 若 f x在 1 2 上是减函数 求实数a的最大值 2 若01a 求证 2ln a f x a 请考生在第 22 23 两题中任选一题作答 注意 只能做所选定的题目 如果多做 则按所做的第一个 题目计分 22 本小题满分 10 分 选修 4 4 坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中 曲线 C 的参数方程为 1cos sin x y 为参数 在以坐标原点为极点 x 轴的 理科数学第 6页 共 6页 正半轴为极轴的极坐标系中 直线 l 的极坐标方程为 sin 3 6 1 求曲线 C 的普通方程及直线 l 的直角坐标方程 2 求曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最大值与最小值 23 本小题满分 10 分 选修 4 5 不等式选讲 已知 2 f xxx 1 求 f x的最小值 2 求不等式 4 x f x x 的解集 理科数学 全解全析第 1页 共 9页 2020 年 3 月高三第一次大联考 新课标 卷 理科数学 全解全析 123456789101112 BDCCDABBBDAD 1 B 解析 因为1i2i13iz 所以z的虚部是3 故选 B 2 D 解 析 因 为 2 1 11 Ax xxx 2 log1 02 Bxxxx 所 以 01 ABxx 12 ABxx 故选 D 3 C 解析 方法一 设等差数列 n a的公差为d 则 1 1 2 65 621 2 ad ad 解得 1 1 1 a d 所以 5 1 51 15a 故选 C 方法二 因为 16 625 6 3 2 aa Saa 所以 5 3 2 21a 则 5 5a 故选 C 4 C 解析 由题图得 3 4ABBGCI 根据题意得 22 345DI 五边形AGFID的面积为 11 25343437 22 AGFID S 五边形 正方形ABCD的面积为 9 因此 所求概率为 9 37 P 故选 C 5 D 解析 CPI 一篮子商品中 居住所占权重为 23 0 最大 选项 A 正确 吃穿住所占权重为 19 9 8 0 23 0 50 9 50 选项 B 正确 猪肉在 CPI 一篮子商品中所占权重为 2 5 选项 C 正 确 猪肉与其他畜肉在 CPI 一篮子商品中所占权重为 4 6 选项 D 错误 故选 D 6 A 解析 因为 0 1f 所以排除C D 当x从负方向趋近于0时 0coscosxxxx 可得0 1f x 故选 A 7 B 解析 2 0 1 9 10 按照任意次序排成一行 得所有不以 0 开头的排列数共 4 4 4A96 个 其中含有 2 个 10 的排列数共 2 4 A12 个 所以产生的不同的 6 位数的个数为961284 故选 B 8 B 解析 直线30 xym 的倾斜角为 3 易得 FAFOc 设双曲线 C 的右焦点为 E 可得AFE 中 90FAE 则 3AEc 所以双曲线 C 的离心率为 2 31 3 c e cc 故选 B 9 B 解析 延长 1 C P与 BC 交于点 E 则点 E 为 BC 中点 连接 AE 取 11 AD中点 F 连接 AF 1 C F 则四边形 1 AEC F就是正方体 1111 ABCDABC D 被平面 截得的截面 四边形 1 AEC F是边长为5的菱形 连接 1 AC EF 所以 1 ACEF 且 1 2 3 2 2ACEF 所以四边形 1 AEC F的面积为2 6 故选 B 理科数学 全解全析第 2页 共 9页 10 D 解析 如图所示 设 2211 QFPFPFQF依次构成等差数列 n a 其公差为d 根据椭圆定义得 1234 4aaaaa 又 123 aaa 则 1111 111 2 3 4 2 aadadada aadad 解得 2 5 da 1234 2468 5555 aa aa aa aa 所以 1 8 5 QFa 1 6 5 PFa 2 4 5 PFa 6 5 PQa 在 12 PFF 和 1 PFQ 中 由余弦定理得 222222 12 46668 2 55555 cos 4666 22 5555 aacaaa FPF aaaa 整 理解得 105 15 c e a 故选 D 11 A 解析 对于 根据基尼系数公式Gini a S 可得基尼系数越小 不平等区域的面积a越小 国民 分配越公平 所以 正确 对于 根据劳伦茨曲线为一条凹向横轴的曲线 由图得 0 1 x 均有 f xx 可得 1 f x x 所以 错误 对于 因为 1 2231 0 0 111 d 236 axxxxx 所以 1 1 6 Gini 1 3 2 a S 所以 错误 对于 因为 1 3241 0 0 111 d 244 axxxxx 所以 1 1 4 Gini 1 2 2 a S 所以 正确 故选 A 12 D 解析 由题意得 6N f xg x 表示不等式 2 2 log 1 2xa x 的解集中整数解之和为 6 当0a 时 数 形 结 合 如 图 得 2 2 log 1 2xa x 的 解 集 中 的 整 数 解 有 无 数 多 个 理科数学 全解全析第 3页 共 9页 2 2 log 1 2xa x 解集中的整数解之和一定大于 6 当0a 时 2g x 数形结合 如图 由 2f x 解得 1 4 4 x 在 1 4 4 内有 3 个整数解 为 1 2 3 满足 6N f xg x 所以0a 符合题意 当0a 时 作出函数 2 log f xx 和 2 1 2g xa x 的图象 如图所示 若 6N f xg x 即 2 2 log 1 2xa x 的整数解只有 1 2 3 只需满足 3 3 4 4 fg fg 即 2 log 342 292 a a 解得 2 log 32 0 4 a 所以 2 log 32 0 4 a 综上 当 6N f xg x 时 实数a的取值范围是 2 log 32 0 4 故选 D 13 7 解 析 因 为 单 位 向 量 a b的 夹 角 为 2 3 所 以 2 1 cos 32 a bab 所 以 2 ab 22 1 4414 4 2 aa bb 7 14 42 6 解析 因为 6124 所以 1246 因为 0 所以 理科数学 全解全析第 4页 共 9页 7 666 又 1 sin 0 63 所以 7 66 所以 2 12 2 cos 1 633 cos cos coscos sinsin 12464646 22 22142 23236 15 8 100 323 写为 100101 223 也得分 解析 由 1 1a 1 2n nn a a 得 2 2a 当2n 时 1 1 2n nn aa 所以 1 1 2 n n a a 所以 n a的奇数项是以 1 为首项 以 2 为公比的等比数列 其偶数项是以 2 为首项 以 2 为公比的等比数列 则 2 6 228a 100100 100101100 200 1 12 2 12 2233 23 1212 S 16 27 4 解析 一个长 宽 高分别为 1 2 2 的长方体可以在一个圆柱形容器内任意转动 则圆柱形容 器的底面直径及高的最小值均等于长方体的体对角线的长 长方体的体对角线的长为 222 1 2 2 3 所 以容器体积的最小值为 2 327 3 24 17 本小题满分 12 分 解析 1 因为 2 2cos ab B c 所以2 cos2bcBa 1 分 由余弦定理得 222 22 2 acb bca ac 化简得 222 abcab 可得 222 1 22 abc ab 解得 1 cos 2 C 4 分 又因为 0 C 所以 3 C 6 分 2 因为 133 3 sin 242 ABC SabCab 所以6ab 8 分 则 22 6abab 当且仅当 6ab 时 取等号 9 分 由 1 得 222 26cababababab 当且仅当6ab 时 取等号 解得6c 11 分 所以 3 6abc 当且仅当 6abc 时 取等号 所以ABC 的周长的最小值为3 6 12 分 18 本小题满分 12 分 解析 1 如图 作EFPC 交BC于F 连接AF 因为3PBBE 所以E是PB的三等分点 可得 2 3 3 BF 因为2ABAD 2 3BCCD ACAC 所以ABCADC 因为BC AB 所以90ABC 1 分 理科数学 全解全析第 5页 共 9页 因为 23 tan 32 3 AB ACB BC 所以30ACBACD 所以60BCD 2 分 因为 2 tan3 2 3 3 AB AFB BF 所以60AFB 所以AFCD 3 分 因为AF 平面PCD CD 平面PCD 所以AF 平面PCD 4 分 又EFPC EF 平面PCD PC 平面PCD 所以EF 平面PCD 5 分 因为AFEFF AF EF 平面AEF 所以平面AEF 平面PCD 所以AE 平面PCD 6 分 2 因为PAB 是等边三角形 2AB 所以2PB 又因为4PC 2 3BC 所以 222 PCPBBC 所以BC PB 又BC AB AB PB 平面PAB ABPBB 所以BC 平面PAB 因为BC 平面ABCD 所以平面PAB 平面ABCD 在平面PAB内作Bz 平面ABCD 7 分 以 B 点为坐标原点 分别以 BC BA Bz所在直线为 x y z轴 建立如图所示的空间直角坐标系B xyz 则 2 3 0 0 C 0 2 0 A 0 1 3 P 所以 2 3 0 0 BC 0 1 3 BP 2 3 2 0 AC 0 1 3 AP 8 分 设 111 x y z m为平面BPC的法向量 则 0 0 BC BP m m 即 1 11 2 30 30 x yz 令 1 1z 可得 0 3 1 m 9 分 设 222 xyz n为平面APC的法向量 则 0 0 AC AP n n 即 22 22 2 320 30 xy yz 令 2 1z 可得 1 3 1 n 10 分 理科数学 全解全析第 6页 共 9页 所以 3 15 5 25 cos m n 则 2 52 5 1 n 5 s 5 i m n 所以二面角APCB 的正弦值为 2 5 5 12 分 19 本小题满分 12 分 解析 设 1122 A x yB xy 1 由题意知 0 2 p F 22 12 12 22 yy AyBy pp 设直线l的方程为 2 p xtyt R 1 分 由 2 2 2 ypx p xty 得 22 20yptyp 则 2 22 440p tp 由根与系数的关系可得 2 1212 2 yypt y yp 3 分 所以 22 212 12 2 3 44 y y OA OBy yp p 4 分 由 12OA OB 得 2 3 12 4 p 解得4p 5 分 所以抛物线C的方程为 2 8yx 6 分 2 设直线l的方程为 0 xnym nm R 7 分 由 2 2ypx xnym 得 2 220ypnypm 由根与系数的关系可得 12 2y ypm 9 分 所以 222 12 121212 22 2 20 44 y ypm OA OBx xy yy ypm pp 解得 2mp 11 分 所以直线l的方程为 2 xnyp n R 所以 0OA OB 时 直线l过定点 2 0 p 12 分 20 本小题满分 12 分 解析 1 一件手工艺品质量为 B 级的概率为 122 3 11116 C 1 1 33381 3 分 2 由题意可得一件手工艺品质量为 D 级的概率为 2233 33 1117 C 1 C 33327 设 10 件手工艺品中不能外销的手工艺品可能是 件 则 7 10 27 B 5 分 则 10 10 720 C 2727 kkk Pk 119 10 10 10 720 C 1 707 2727 720 2020 C 2727 kkk kkk Pkk Pkk 理科数学 全解全析第 7页 共 9页 由 707 1 2020 k k 得 50 27 k 所以当1k 时 2 1 1 P P 即 2 1 PP 由 707 1 2020 k k 得 50 27 k 所以当2k 时 1 PkPk 所以当2k 时 Pk 最大 即 10 件手工艺品中不能外销的手工艺品最有可能是 2 件 8 分 由上可得一件手工艺品质量为 A 级的概率为 3 18 1 327 一件手工艺品质量为 B 级的概率为 16 81 一件手工艺品质量为 C 级的概率为 1212 32 1111120 C 1 C 1 3333381 一件手工艺品质量为 D 级的概率为 7 27 所以 X 的分布列为 X900600300100 P 8 27 16 81 20 81 7 27 则期望为 81620713100 900600300100 2781812727 E X 12 分 21 本小题满分 12 分 解析 1 1 e 0 x fxx ax 1 分 在 1 2 上 因为 f x是减函数 所以 1 e0 x fx ax 恒成立 即 1 exx a 恒成立 只需 max 1 e x x a 3 分 令 ext xx 1 2 x 则 ee xx t xx 因为 1 2 x 所以 0t x 所以 ext xx 在 1 2 上是增函数 所以 2 max e 2e x x 所以 2 1 2e a 解得 2 1 0 2e a 4 分 所以实数a的最大值为 2 1 2e 5 分 2 ln e 0 x x f xx a 1 exfx ax 令 1 e 0 x g xx ax 则 2 1 exg x ax 根据题意知 0g x 所以 g x在 0 上是增函数 7 分 又因为 1 1 e10 a g a 当