联合平稳过程的互相关函数和互功率谱密度.ppt

第8讲回顾1 时域法 自相关定理协方差定理 回顾2 频域法 功率谱定理维纳辛钦定理 联合平稳过程的互相关函数和互功率谱密度 第09讲 主讲人 张有光办公室 F806 主要内容 一 平稳随机过程的互相关函数二 平稳随机过程的互功率谱密度三 互相关函数确定系统权函数四 输出为非平稳过程时的互相关函数 一 平稳随机过程的互相关函数 1 输出输入过程2 输出输入过程的互相关函数3 输入输出过程的互相关函数4 各态历经过程的互相关函数5 输出自相关函数 1 输出输入过程 线性系统的输入X t 是一个平稳随机过程 且与系统的输出过程Y t 平稳相关 按定义 2 输出输入过程的互相关函数 按互相关函数的定义 输出输入过程的互相关函数为代入Y t 有 输出输入过程的互相关函数 输入自相关函数与系统权函数的卷积 3 输入输出过程的互相关函数 类似地 代入Y t 有 可见 将输入过程X t 的自相关函数作用到具有冲激响应的系统 就可以得到输入输出过程互相关函数 思考题 考虑微分变换 注意符号问题 4 各态历经过程的互相关函数 若输入过程X t 是各态历经的 且与输出过程平稳相关 则根据各态历经过程的性质 可以写出线性系统输出输入过程互相关函数为 4 各态历经过程的互相关函数 2 代入Y t 得到 从各态历经性推导的输出输入互相关函数和前面推得的结果是完全一致的 5 输出自相关函数 二 平稳随机过程的互功率谱密度 将两式所表示的关系转换到频域表示 也即对其两边取傅立叶变换 或直接运用时域卷积定理 可得 二 平稳随机过程的互功率谱密度 2 上式中是无相位因子的实函数 但系统传输函数是复数 含有相位因子 故互功率谱密度不是实函数 也不是偶对称的 而输出过程Y t 的自功率谱密度是无相位因子的实函数 且偶对称 例3 4 1 假定一个线性时不变系统冲击响应函数 输入随机过程的自相关函数解 例3 4 1 综合以上结果 互相关原理在最佳线性滤波器中很重要 三 互相关函数确定系统权函数 1 互相关定理的应用2 输出输入互相关函数确定系统权函数3 输出输入互谱密度确定系统权函数 1 互相关定理的应用 2 互相关函数确定系统权函数 设输入的是白噪声过程 其功率谱密度为其相关函数为应用互相关定理可得 2 输出输入互相关函数确定系统权函数 2 由此可见 在白噪声激励时 线性系统的输出输入互相关函数正比于系统权函数 也就是说 系统的权函数可以通过测定输出输入过程的互相关函数来得到 在抗干扰性方面 互相关法比通常直接测量冲激响应较为优越 3 互谱密度确定系统权函数 应用时域卷积定理 输出输入过程的互功率谱密度为故当已知输入过程功率谱密度若测出互功率谱密度就可以求出系统传输函数 例3 4 2 已知线性反馈系统 X t 和N t 均为广义平稳随机过程 求 1 过程Y t 自相关函数与功率谱密度 2 过程E t 自相关函数与功率谱密度 解 1 系统是线性的 因此可以看成X t 和N t 分别输入 解 故Y t 的自相关函数为 功率谱密度为 解 E t 2 系统是线性的 因此可以看成X t 和N t 分别输入 解 四 输出为非平稳过程时的互相关函数 1 输出过程的自相关函数2 输入输出过程的互相关函数 可以理解为一般随机过程 没有要求平稳性 1 输出过程的自相关函数 按定义输出过程的自相关函数为因为 代入得到 1 输出过程的自相关函数 2 类似地 1 输出过程的自相关函数 3 因此 等于输入输出互相关函数与系统权函数卷积等于输出输入互相关函数与系统权函数卷积 2 输出输入过程的互相关函数 按互相关函数的定义 可以写出因为故 表示输出输入互相关函数 输入过程的自相关函数与系统权函数的卷积 3 非平稳过程自相关定理 合并以后 思考1 对于微分变换 思考题2 现在假设随机过程是平稳过程 能否从刚才得到的公式 导出平稳过程的结论 思考3 平稳随机过程自相关定理 假设输出 输入