材料力学电子课件第三章扭转.ppt

1 第三章扭转 材料力学 2 3 3 1概述 3 2传动轴的外力偶矩 扭矩及扭矩图 3 3切应力互等定理与剪切胡克定律 3 4圆轴扭转横截面上的应力 3 5极惯性矩与抗扭截面系数 3 6圆轴扭转破坏与强度条件 3 7圆轴扭转的变形 刚度条件 第三章扭转 4 5 受扭转载荷的构件1 6 受扭转载荷的构件2 汽车中的转向轴 7 受扭转载荷的构件3 机器中的传动轴 8 受扭转载荷的构件4 9 3 1概述 轴 工程中以扭转为主要变形的构件 如 机器中的传动轴 石油钻机中的钻杆等 扭转 外力的合力为一力偶 且力偶的作用面与直杆的轴线垂直 杆发生的变形为扭转变形 10 扭转角 任意两截面绕轴线转动而发生的角位移 剪应变 直角的改变量 11 工程实例 12 3 2传动轴的外力偶矩 扭矩及扭矩图 一 传动轴的外力偶矩传递轴的传递功率 转数与外力偶矩的关系 其中 P 功率 千瓦 kW n 转速 转 分 rpm 其中 P 功率 公制马力 PS n 转速 转 分 rpm 其中 P 功率 马力 HP n 转速 转 分 rpm 1PS 735 5N m s 1HP 745 7N m s 1kW 1 36PS 13 3扭矩的符号规定 T 的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规则为正 反之为负 二 扭矩及扭矩图1扭矩 构件受扭时 横截面上的内力偶矩 记作 T 2截面法求扭矩 14 4扭矩图 表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线 目的 15 例1 已知 一传动轴 n 300r min 主动轮输入P1 500kW 从动轮输出P2 150kW P3 150kW P4 200kW 试绘制扭矩图 解 计算外力偶矩 16 求扭矩 扭矩按正方向设 x 17 绘制扭矩图 BC段为危险截面 x T 4 78 9 56 6 37 18 3 3切应力互等定理与剪切胡克定律 一 实验 1 实验前 绘纵向线 圆周线 施加一对外力偶m 19 20 2 实验后 圆周线不变 纵向线变成斜直线 3 结论 圆筒表面的各圆周线的形状 大小和间距均未改变 只是绕轴线作了相对转动 各纵向线均倾斜了同一微小角度 所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形 21 各横截面的大小形状间距不变 并仍然保持为平面 可假设各横截面绕轴线发生刚性转动 所以横截面上无正应力 只有切应力并且切应力与圆周相切 由于壁比较薄 可认为切应力和切应变沿壁厚均匀分布 由于沿周向变形无变化 可认为切应力沿周向也不发生变化 切应力分布规律和变形规律已经得到 切应力和扭转变形分别为多大 T 22 无正应力 横截面上各点处 只产生垂直于半径的均匀分布的剪应力 沿周向大小不变 方向与该截面的扭矩方向一致 4 与 的关系 微小矩形单元体如图所示 23 二 薄壁圆筒剪应力 大小 A0 平均半径所作圆的面积 24 三 剪应力互等定理 上式称为剪应力互等定理 该定理表明 在单元体相互垂直的两个平面上 剪应力必然成对出现 且数值相等 两者都垂直于两平面的交线 其方向则共同指向或共同背离该交线 25 四 剪切虎克定律 单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用 这种应力状态称为纯剪切应力状态 26 T m 剪切虎克定律 当剪应力不超过材料的剪切比例极限时 p 剪应力与剪应变成正比关系 27 式中 G是材料的一个弹性常数 称为剪切弹性模量 因 无量纲 故G的量纲与 相同 不同材料的G值可通过实验确定 钢材的G值约为80GPa 剪切弹性模量 弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三个常数 对各向同性材料 这三个弹性常数之间存在下列关系 推导详见后面章节 可见 在三个弹性常数中 只要知道任意两个 第三个量就可以推算出来 28 由于G是材料常数 薄壁圆筒的扭转角和剪应变可以通过扭矩表示出来 薄壁圆筒求解小结 实验观察 几何特征 周向线大小形状间距均不发生变化 纵向线发生小角度倾斜 倾斜角度沿圆周相同 端部仍然为平面 无正应力 只有切应力且与圆周相切 切应力沿圆周均匀分布 各横截面发生刚性转动 薄壁圆筒 可认为应力 应变沿厚度无变化 静力平衡求得切应力 扭矩已知 剪应变和扭转角之间的关系 物性实验得到扭矩和扭转角之间的线性关系 对于线性材料引入剪切模量 材料常数 需事先给定 变形大小 29 3 4圆轴扭转截面上的应力 扭转圆轴横截面应力 变形几何方面 物理关系方面 静力学方面 1 横截面变形后仍为平面 2 轴向无伸缩 3 纵向线变形后仍为平行 一 等直圆杆扭转实验观察 30 二 等直圆杆扭转时横截面上的应力 1 变形几何关系 距圆心为 任一点处的 与该点到圆心的距离 成正比 扭转角沿长度方向变化率 31 T 2 物理关系 虎克定律 代入上式得 32 3 静力学关系 令 代入物理关系式得 33 横截面上距圆心为 处任一点剪应力计算公式 4 公式讨论 仅适用于各向同性 线弹性材料 在小变形时的等圆截面直杆 式中 T 横截面上的扭矩 由截面法通过外力偶矩求得 该点到圆心的距离 Ip 截面极惯性矩 纯几何量 无物理意义 34 确定最大剪应力 Wt 抗扭截面系数 抗扭截面模量 几何量 单位 mm3或m3 35 应力分布 T t max t max t max T 实心截面 空心截面 工程上采用空心截面构件 提高强度 节约材料 重量轻 结构轻便 应用广泛 36 静力方程 物理方程 几何方程 结论 横截面外圆周上点的剪应力和剪应变最大 圆轴扭转时 横截面上一点剪应力和剪应变与该点的极坐标呈比例 横截面最大剪应力与横截面的抗扭截面模量成反比 横截面扭转变形 单位长度扭转角 与横截面的扭转刚度成反比 37 画轴的扭矩图 极惯性矩和抗扭截面模量的计算 确定可能的危险截面 计算危险 最大 点应力 求出最大剪应力 计算两截面相对扭转角 计算最大单位长度扭转角 38 例2 2一空心圆轴如图2 13 a 所示 在A B C处受外力偶作用 已知 材料G 80Gpa 试求 1 轴内的最大剪应力 2 C截面相对A截面的扭转角 画轴的扭矩图 解 A B可能为危险截面 计算危险 最大 点应力 39 所以 计算扭转角 例2 2一空心圆轴如图2 13 a 所示 在A B C处受外力偶作用 已知 材料G 80Gpa 试求 1 轴内的最大剪应力 2 C截面相对A截面的扭转角 40 单位 mm4 m4 尽管由实心圆截面杆推出 但同样适用于空心圆截面杆 只是Ip值不同 a 对于实心圆截面 D d O 3 5极惯性矩与抗扭界面系数 41 b 对于空心圆截面 O d 42 d D 对于实心圆截面 对于圆环截面 43 低碳钢试件 沿横截面断开 铸铁试件 沿与轴线约成45 的螺旋线断开 3 6圆轴扭转破坏与强度条件 一 扭转失效与扭转极限应力 44 在扭转实验中 塑性材料试件受扭时 首先屈服 在试件表面出现横向与纵向的滑移线 继续增大扭转力偶 试件沿横截面剪断 脆性试件没有变形很小 最后会在与轴线成45o角的螺旋面发生断裂 扭转破坏 标志 屈服或是断裂 扭转屈服应力 扭转极限强度 扭转极限应力 统称为 45 二 等直圆杆扭转时斜截面上的应力 低碳钢试件 沿横截面断开 铸铁试件 沿与轴线约成45 的螺旋线断开 因此还需要研究斜截面上的应力 46 1 点M的应力单元体如图 b a b t t c 2 斜截面上的应力 取分离体如图 d d 47 d n t 转角 规定 x轴正向转至截面外法线 逆时针 为 顺时针 为 由平衡方程 解得 48 分析 当 0 时 当 45 时 当 45 时 当 90 时 t 由此可见 圆轴扭转时 在横截面和纵截面上的剪应力为最大值 在方向角 45 的斜截面上作用有最大压应力和最大拉应力 根据这一结论 就可解释前述的破坏现象 49 对于塑性材料 当横截面上的切应力达到时 试件发生显著的塑性变形 称为扭转屈服极限 50 三 圆轴扭转时的强度计算 强度条件 对于等截面圆轴 称为许用剪应力 强度计算三方面 校核强度 设计截面尺寸 计算许可载荷 51 四 圆轴的扭转的强度条件 材料的扭转许用剪应力 安全系数 对于塑性材料 对于脆性材料 对于塑性材料 极限切应力一般取扭转屈服极限 对于脆性材料 则一般取扭转强度极限 52 例2 功率为150kW 转速为15 4转 秒的电动机转子轴如图 许用剪应力 30MPa 试校核其强度 T m 解 求扭矩及扭矩图 计算并校核剪应力强度 此轴满足强度要求 x 53 例汽车传动轴由45 无缝钢管制成 已知 60MPa 若钢管的外径D 90mm 管壁厚t 2 5mm 轴所传动的最大扭矩M 1 5kN m 试 1 校核传动轴的强度 2 与同性能实心轴的重量比 解 1 校核强度 代入数据后得 max 50 33MPa 60MPa 强度足够 2 设计实心轴直径D1 两轴的最大工作切应力相等 3 两轴重量比 54 例3图示芯轴AB与轴套CD的轴线重合 二者在B C处连成一体 在D处无接触 已知芯轴直径d 66mm 轴套的外径D 80mm 壁厚 6mm 若二者材料相同 所能承受的最大切应力不得超过60MPa 试求结构所能承受的最大外扭转力偶矩T 解 芯轴与轴套只在下面部分B处相连接 在上部D处 二者互不接触 所以 芯轴与轴套都是在两端承受扭矩 1 芯轴横截面上的最大切应力为 根据对最大切应力切应力的限制 有 55 图示芯轴AB与轴套CD的轴线重合 二者在B C处连成一体 在D处无接触 已知芯轴直径d 66mm 轴套的外径D 80mm 壁厚 6mm 若二者材料相同 所能承受的最大切应力不得超过60MPa 试求结构所能承受的最大外扭转力偶矩T 根据对最大切应力切应力的限制 有 因此得到芯轴所能承受的最大扭矩 56 解 2 轴套横截面上的最大切应力为 根据对最大切应力的限制 有 因此得到轴套所能承受的最大扭矩 N m 图示芯轴AB与轴套CD的轴线重合 二者在B C处连成一体 在D处无接触 已知芯轴直径d 66mm 轴套的外径D 80mm 壁厚 6mm 若二者材料相同 所能承受的最大切应力不得超过60MPa 试求结构所能承受的最大外扭转力偶矩T 57 3 结构所能承受的最大扭转力偶 根据上述结果 整个结构所能承受的最大扭转力偶为 N m N m N m 图示芯轴AB与轴套CD的轴线重合 二者在B C处连成一体 在D处无接触 已知芯轴直径d 66mm 轴套的外径D 80mm 壁厚 6mm 若二者材料相同 所能承受的最大切应力不得超过60MPa 试求结构所能承受的最大外扭转力偶矩T 58 例4图示实心圆轴承受外扭转力偶 其力偶矩T 3kN m 试求 1 轴横截面上的最大切应力 2 轴横截面上半径r 15mm以内部分承受的扭矩所占全部横截面上扭矩的百分比 3 去掉r 15mm以内部分 横截面上的最大切应力增加的百分比 解 1 轴横截面上的最大切应力 59 图示实心圆轴承受外扭转力偶 其力偶矩T 3kN m 试求 1 轴横截面上的最大切应力 2 轴横截面上半径r 15mm以内部分承受的扭矩所占全部横截面上扭矩的百分比 3 去掉r 15mm以内部分 横截面上的最大切应力增加的百分比 解 2 轴横截面上半径r 15mm以内部分承受的扭矩所占全部横截面上扭矩的百分比 60 解 2 轴横截面上半径r 15mm以内部分承受的扭矩所占全部横截面上扭矩的百分比 图示实心圆轴承受外扭转力偶 其力偶矩T 3kN m 试求 1 轴横截面上的最大切应力 2 轴横截面上半径r 15mm以内部分承受的扭矩所占全部横截面上扭矩的百分比 3 去掉r 15mm以内部分 横截面上的最大切应力增加的百分比 61 解 3 去掉r 15mm以内部分 横截面上的最大切应力增加的百分比 采用圆环截面的扭转最大切应力公式 图示实心圆轴承受外扭转力偶 其力偶矩T 3kN m 试求 1 轴横截面上的最大切应力 2 轴横截面上半径r 15mm以内部分承受的扭矩所占全部横截面上扭矩的百分比 3 去掉r 15mm以内部分 横截面上的最大切应力增加的百分比 62 思考问题 1 去掉r 15mm以内部分 所用材料将会减少多少 2 如果中心r 15mm以内部分所用的是另一种材料 这时 横截面上的最大切应力将发生在哪里 计算这时的最大切应力 还需要什么条件 r 15mm 63 3 7圆轴扭转变形与刚度条件 一 扭转时的变形 由公式 知 长为l一段杆两截面间相对扭转角 为 64 二 单位长度扭转角 或 三 刚度条件 或 GIp反映了截面尺寸和材料性能抵抗扭转变形的能力 称为圆轴的抗扭刚度 称为许用单位长度扭转角 65 刚度计算的三方面 校核刚度 设计截面尺寸 计算许可载荷 有时 还可依据此条件进行选材 各类轴的许用单位长度扭转角可在有关的机械设计手册中查得 对精密机器的轴 q 0 25 0 50 0 m 一般传动轴 q 0 5 1 0 0 m 精度要求不高的轴 q 1 0 2 5 0 m 66 例5 长为L 2m的圆杆受均布力偶m 20Nm m的作用 如图 若杆的内外径之比为 0 8 G 80GPa 许用剪应力 30MPa 试设计杆的外径 若 2 m 试校核此杆的刚度 并求右端面转角 解 设计杆的外径 67 40Nm x T 代入数值得 D 0 0226m 由扭转刚度条件校核刚度 68 40Nm x T 右端面转角为 69 例6 某传动轴设计要求转速n 500r min 输入功率N1 500马力 输出功率分别N2 200马力及N3 300马力 已知 G 80GPa 70MPa 1 m 试确定 AB段直径d1和BC段直径d2 若全轴选同一直径 应为多少 主动轮与从动轮如何安排合理 解 图示状态下 扭矩如图 由强度条件得 T x 7 024 4 21 kNm 70 由刚度条件得 T x 7 024 4 21 kNm 71 综上 全轴选同一直径时 72 轴上的绝对值最大的扭矩越小越合理 所以 1轮和2轮应该换位 换位后 轴的扭矩如图所示 此时 轴的最大直径才为75mm T x 4 21 kNm 2 814 73 圆轴扭转的强度设计的简化公式 实心圆轴 空心圆轴 例如 富康轿车额定功率65kW 2500转为设计工况 承受同样最大扭矩的相同材料制成的等强度圆轴 谁重谁轻 74 圆轴扭转的刚度设计简化公式 实心圆轴 空心圆轴 例如 富康轿车额定功率65kW 2500转为设计工况 承受同样最大扭矩的相同材料制成的等刚度圆轴 谁重谁轻 75 补充 扭转超静定问题密圈弹簧变形非圆截面杆扭转薄壁杆件扭转 76 77 本章结束 78 3 9等直圆杆的扭转超静定问题 解决扭转超静定问题的方法步骤 平衡方程 几何方程 变形协调方程 补充方程 由几何方程和物理方程得 物理方程 解由平衡方程和补充方程组成的方程组 79 例7 长为L 2m的圆杆受均布力偶m 20Nm m的作用 如图 若杆的内外径之比为 0 8 外径D 0 0226m G 80GPa 试求固定端反力偶 解 杆的受力图如图示 这是一次超静定问题 平衡方程为 A B 80 几何方程 变形协调方程 综合物理方程与几何方程 得补充方程 由平衡方程和补充方程得 另 此题可由对称性直接求得结果 81 3 10圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形计算 82 1 弹簧丝横截面上的应力 由Q引起的剪应力 由T引起的最大剪应力 横截面上的内力 其中 由 83 对某些工程实际问题 如机车车辆中的重弹簧 的值并不太小 此时不仅要考虑剪力 还要考虑弹簧丝曲率的影响 进一步理论分析和修正系数k的选取可见有关参考书 密圈弹簧丝的强度条件是 84 设弹簧在轴向压力 或拉力 作用下 轴线方向的总缩短 或伸长 量为 这是弹簧的整体的压缩 或拉伸 变形 如图4 16a b 外力对弹簧做功 簧丝横截面上 距圆心为的任意点的扭转剪应力为 2 弹簧的变形 如认为簧丝是纯扭转 则其相应的单位体积变形能是 85 由 则得到 是弹簧圈的平均半径 若引入记号 则上式可写成 代表弹簧抵抗变形的能力 称为弹簧刚度 可见 与 成反比 越大则 越小 其中 86 例4 5 某柴油机的气阀弹簧 簧圈平均半径 簧丝直径 有效圈数 材料的 弹簧工作时受KN 求此弹簧的最大压缩量与最大剪应力 略去弹簧曲率的影响 解 由变形公式求最大压缩量 考虑剪切力时 不考虑剪力影响时 相差5 9 由于 还应考虑曲率影响 此处从略 87 3 11非圆截面杆扭转的概念 杆件受扭转力偶作用发生变形 变形后其横截面将不再保持平面 而发生 翘曲 88 89 扭转时 若各横截面翘曲是自由的 不受约束 此时相邻横截面的翘曲处处相同 杆件轴向纤维的长度无变化 因而横截面上 只有剪应力没有正应力 这种扭转称为自由扭转 此时横截面上剪应力规律如下 90 边缘各点的剪应力 与周边相切 沿周边方向形成剪流 1 2 发生在矩形长边中点处 大小为 3 杆件两端相对扭转角 其中系数 与 有关 可查表 其中 注意到 对非圆截面扭转 平面假设不再成立 上面计算公式是将弹性力学的分析结果仿照圆轴公式形式写出 91 其中 此时长边上应力趋于均匀如图所示 当时 截面成为狭长矩