概率论与随机过程课件.pptx

在实际中 人们常常对随机变量的函数更感兴趣 求截面面积A 的分布 例如 已知圆轴截面直径d的分布 引言 又如已知t t0时刻噪声电压V的分布 求功率W V2 R R为电阻 的分布等 2 4随机变量的函数的分布 这类问题一般的提法是 若X是随机变量 求Y g X 的分布 其中y g x 是x的一个实值函数 为了求Y的分布 首先我们要理解Y是一个怎样的随机变量 设X是定义在样本空间 上的随机变量 那么Y Y g X 由此可见Y亦是定义在 上的随机变量 它是经过g 与X 复合而成的 设X是离散型随机变量 则Y g X 一般也是离散型随机变量 此时 只需由X分布律求得Y的分布律即可 求 1 Y X 1 2 Y 2X2的分布律 例 设离散型随机变量X的分布律为 一 离散型随机变量函数的分布 解 由X的分布律可得下表P2 101 101 103 103 10X 10123X 1 2 1012 2X2 20 2 8 18由此可见 1 Y X 1的所有可能取值为 2 1 0 1 2 且P Y 2 P X 1 2 10 P Y 1 P X 0 1 10 P Y 0 P X 1 1 10 P Y 1 P X 2 3 10 P Y 2 P X 3 3 10 故得Y X 1的分布律为 2 Y 2X2的所有可能取值为 18 8 2 0 且P Y 18 P X 3 3 10 P Y 8 P X 2 3 10 P Y 2 P X 1 P X 1 1 10 3 10 2 5 P Y 0 P X 0 1 10 故得Y 2X2的分布律为 一般地 我们先由X的取值xk k 1 2 求出Y的取值yk g xk k 1 2 如果诸yk都不相同 则由P Y yk P X xk 可得Y的分布律 如果诸yk中有某些取值相同 则把相应的X的取值的概率相加 二 连续型随机变量函数的分布 再由FY y 进一步求出Y的概率密度 设X为连续型随机变量 具有概率密度fx x 又Y g X 在大部分情况下Y也是连续型随机变量 若Y是连续型随机变量 考虑求出Y的概率分布 1 一般方法可先求出Y的分布函数FY y 因为FY y P Y y P g X y 设ly x g x y 则 例1 设随机变量X具有概率密度 求Y 2X 1的概率密度 解 先求Y的分布函数 计算的关键在于确定积分区间ly 即解不等式g x y得出x的解区间ly 这种方法我们称之为分布函数法 当1 y 9时 0 y 1 2 4 当y 9时FY y 1 由此可得Y的概率密度为 当y 1时 y 1 2 0FY y 0 例2 设随机变量X具有概率密度fX x 求Y X2的概率密度 解 先求Y的分布函数FY y 由于Y X2 0 故当y 0时FY y 0 当y 0时 有 于是得Y的概率密度为 例如 设X N 0 1 其概率密度为 则Y X2的概率密度为 此时称Y服从自由度为1的 2分布 当函数y g x 可导且为严格单调函数时 我们有下面一般结果 设随机变量X具有概率密度fX x 又设函数g x 处处可导且恒有g x 0 或恒有g x 0 则Y g X 的概率密度为 定理 其中x h y 为y g x 的反函数 2 特殊方法 证 我们只证g x 0的情况 此时g x 在 严格单调增加 它的反函数h y 存在 且在 严格单调增加 可导 现在先来求Y的分布函数FY y 因为Y g X 在 取值 故当y 时 FY y P Y y 0 当y 时 FY y P Y y 1 当 y 时 FY y P Y y P g X y P X h y 于是得Y的概率密度 合并两式 即得证 若 x 在有限区间 a b 以外等于零 则只需假设在 a b 上恒有g x 0 或恒有g x 0 此时 若g x 0 同理可证 例3 设随机变量X N 2 试证明X的线性函数Y aX b a 0 也服从正态分布 证明 X的概率密度为 现在y g x ax b 由这一式子解得x h y y b a 由定理得Y aX b的概度密度为 所以Y aX b N a b a 2 特别 在上例中取a 1 b 得 例4 设电压V Asin 其中A是一个已知的正常数 相角 是一个随机变量 在区间 2 2 服从均匀分布 试求电压V的概率密度 解 v g Asin 在 2 2 上恒有g Acos 0且有反函数 h v arcsin V A 又 的概率密度为 于是 由公式 若在上题中 在 0 上服从均匀分布 因为此时v g Asin 在 0 上不是单调函数 上述定理失效 此时方法如何 例4设X在 0 服从均匀分布 求 Y sinX的分布函数FY y 解 1 2 y sinx在 0 不单调 但可分为两单调区间 0 2 2 3 求 FY y P Y y 当0 y 1时 FY y P sinX y P 0 X arcsiny P arcsiny X x1 arcsiny x2 arcsiny 小结 求随机变量函数的分布的方法 设离散型随机变量X的分布律为P X xi pi i 1 2 n 又y f x 是x的连续函数 则Y f X 是随机变量 其分布律为P Y f xi pi i 1 2 n 若某些f xi 相等 将它们作适当并项即可 2 设连续型随机变量X的密度函数为 X x y f x 连续 求Y f X 的密度函数的方法有三种 1 分布函数法 2 若y f x 严格单调 其反函数有连续导函数 则可用公式法 3 若y f x 在不相重叠的区间I1 I2 上逐段严格单调 其反函数分别为g1 y g2 y 且g 1 y g 2 y 均为连续函数 则Y f X 是连续型随机变量 其密度函数为 例5已知随机变量X的分布函数F x 是严格单调的连续函数 证明Y F X 服从 0 1 上的均匀分布 又由于X的分布函数F是严格递增的连续函数 其反函数F 1存在且严格递增 证明 设Y的分布函数是G y 于是 对y 1 G y 1 对y 0 G y 0 由于 对0 y 1 G y P Y y P F X y P X y F y y 即Y的分布函数是 求导得Y的密度函数 可见 Y服从 0 1 上的均匀分布 本例的结论在计算机模拟中有重要的应用 例如 想得到具有密度函数为 的随机数 参数为的指数分布 根据前面的结论 Y F X 服从 0 1 上的均匀分布 由于当x 0时 是严格单调的连续函数 应如何做呢 于是得到产生指数分布的随机数的方法如下 给指数分布参数 令 指数随机数 例6 设分布函数F x 为严格递增的分布函数 F 1 x