概率统计和随机过程课件§2.3离散型随机变量及其概率分布.ppt

2 3离散型随机变量及其概率分布 定义若随机变量X的可能取值是有限多个或无穷可列多个 则称X为离散型随机变量 描述离散型随机变量的概率特性常用它的概率分布或分布律 即 概率分布的性质 1 F x 是分段阶梯函数 在X的可能取值xk处发生间断 间断点为第一类跳跃间断点 在间断点处有跃度pk 2 1 3 1 0 1分布 注其分布律可写成 4 2 二项分布 背景 n重Bernoulli试验中 每次试验感兴趣的事件A在n次试验中发生的次数 X是一离散型随机变量 若P A p 则 称X服从参数为n p的二项分布 记作 0 1分布是n 1的二项分布 5 二项分布的取值情况 设 由图表可见 当时 分布取得最大值 此时的称为最可能成功次数 6 7 设 由图表可见 当时 分布取得最大值 8 9 二项分布中最可能出现次数 则称为最可能出现的次数 10 当 n 1 p 整数时 在k n 1 p 处的概率取得最大值 11 例4独立射击5000次 每次的命中率为0 001 求 1 最可能命中次数及相应的概率 2 命中次数不少于2次的概率 2 令X表示命中次数 则X B 5000 0 001 解 1 k n 1 p 5000 1 0 001 5 12 问题如何计算 由此可见日常生活中 提高警惕 防火防盗 的 重要性 由于时间无限 自然界发生地震 海 啸 空难 泥石流等都是必然的 毫不奇怪 同样 人生中发生车祸 患绝症 考试不及 格 炒股大亏损等都是十分正常的 大可不必 怨天尤人 更不要想不开而跳楼自杀 13 Possion定理 Poisson定理说明 若X B n p 则当n较大 p较小 而适中 则可以用近似公式 14 超几何分布 从装有a个白球 b个红球的袋中不放回地任取n个球 其中恰有k个白球的概率为 对每个n有 结论 超几何分布的极限分布是二项分布 二项分布的极限分布是Poisson分布 15 解令X表示命中次数 则X B 5000 0 001 令 此结果也可直接查P 360附表2Poisson分布表得到 它与用二项分布算得的结果0 9574仅相差千分之二点四 利用Poisson定理再求例4 2 16 应用Poisson定理 由题意 17 得n 1 6 n 5 所以每箱至少应装105个产品 才能符合要求 18 在实际计算中 当n 20 p 0 05时 可用上述公式近似计算 而当n 100 np 10时 精度更好 00 3490 3580 3690 3660 368 10 3050 3770 3720 3700 368 20 1940 1890 1860 1850 184 30 0570 0600 0600 0610 061 40 0110 0130 0140 0150 015 19 解 1 设需要配备N个维修工人 设X为90台 设备中发生故障的台数 则X B 90 0 01 20 令 则 查附表2得N 4 21 三个人共同负责90台设备发生故障不能及时维修的概率为 22 设每个人独立负责30台设备 第i个人负责的30台设备发生故障不能及时维修为事件Ai 则 三个人各独立负责30台设备发生故障不能及时维修为事件 故三个人共同负责90台设备比各自负责好 23 在Poisson定理中 由此产生了一种离散型随机变量的概率分布 Poisson分布 24 在一定时间间隔内 一匹布上的疵点个数 大卖场的顾客数 应用场合 电话总机接到的电话次数 25 一个容器中的细菌数 放射性物质发出的粒子数 一本书中每页印刷错误的个数 某一地区发生的交通事故的次数 都可以看作是源源不断出现的随机质点流 若它们满足一定的条件 则称为Poisson流 在长为t的时间内出现的质点数Xt P t 市级医院急诊病人数 等等 26 例7设一只昆虫所生虫卵数为随机变量X P 每个虫卵发育成幼虫的概率为p 设各个虫卵是否能发育成幼虫是相