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文档简介

第五节随机变量的函数的分布 问题的提出离散型随机变量的函数的分布连续型随机变量的函数的分布 一 问题的提出 在实际中 人们常常对随机变量的函数更感兴趣 求截面面积A 的分布 比如 已知圆轴截面直径d的分布 在比如 已知t t0时刻噪声电压V的分布 求功率W V2 R R为电阻 的分布等 设随机变量X的分布已知 Y g X 设g是连续函数 如何由X的分布求出Y的分布 下面进行讨论 这个问题无论在实践中还是在理论上都是重要的 二 离散型随机变量函数的分布 解 当X取值1 2 5时 Y取对应值5 7 13 则Y X2的分布律为 如果g xk 中有一些是相同的 把它们作适当并项即可 一般地 若X是离散型r v X的分布律为 则Y g X 的分布律为 三 连续型随机变量函数的分布 解设Y的分布函数为FY y FY y P Yy P 2X 8y P X FX 于是Y的密度函数 故 注意到0 x 4时 即8 y 16时 此时 Y 2X 8 当y 0时 注意到Y X20 故当y0时 解设Y和X的分布函数分别为和 若 则Y X2的概率密度为 求导可得 从上述两例中可以看到 在求P Y y 的过程中 关键的一步是设法从 g X y 中解出X 从而得到与 g X y 等价的X的不等式 用代替 X2 y 这样做是为了利用已知的X的分布 从而求出相应的概率 这是求r v的函数的分布的一种常用方法 分布函数法 例4设随机变量X的概率密度为 求Y sinX的概率密度 当y0时 当y1时 故 解 注意到 解当0 y 1时 例4设随机变量X的概率密度为 求Y sinX的概率密度 P 0 Xarcsiny P arcsinyX 而 求导得 下面给出一个定理 在满足定理条件时可直接用它求出随机变量函数的概率密度 其中 x h y 是y g x 的反函数 定理设X是一个取值于区间 a b 具有概率密度f x 的连续型r v 又设y g x 处处可导 且对于任意x 恒有或恒有 则Y g X 是一个连续型r v 它的概率密度为 解 注 本例用到变限的定积分的求导公式 四 小结 对于连续型随机变量 在求Y g X 的分布时 关键的一步是把事件 g X y 转化为X在一定范围
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