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线性代数 教案

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线性代数线性代数 授 课 教 案 代数几何教研室 第一章第一章 行列式行列式 本章说明与要求本章说明与要求 行列式的理论是人们从解线性方程组的需要中建立和发展起来的 它在线性 代数以及其他数学分支上都有着广泛的应用 在本章里我们主要讨论下面几个问 题 1 行列式的定义 2 行列式的基本性质及计算方法 3 利用行列式求解线性方程组 克莱姆法则 本章的重点是行列式的计算 要求在理解 n 阶行列式的概念 掌握行列式性 质的基础上 熟练正确地计算三阶 四阶及简单的 n 阶行列式 计算行列式的基本思路是 按行 列 展开公式 通过降阶来计算 但在展开 之前往往先利用行列式性质通过对行列式的恒等变形 使行列式中出现较多的零 和公因式 从而简化计算 常用的行列式计算方法和技巧有 直接利用定义法 化三角形法 降阶法 递推法 数学归纳法 利用已知行列式法 行列式在本章的应用是求解线性方程组 克莱姆法则 要掌握克莱姆法则并 注意克莱姆法则应用的条件 本章的重点 本章的重点 行列式性质 行列式的计算 本章的难点 本章的难点 行列式性质 高阶行列式的计算 克莱姆法则 1 1 二阶与三阶行列式二阶与三阶行列式 行列式的概念起源于解线性方程组 它是从二元与三元线性方程组的解的公 式引出来的 因此我们首先讨论解方程组的问题 设有二元线性方程组 1 2222121 1112111 bxaxa bxaxa 用加减消元法容易求出未知量 x1 x2的值 当 a11a22 a12a21 0 时 有 2 21122211 211211 2 21122211 212221 1 aaaa abba x aaaa baab x 这就是一般二元线性方程组的公式解 但这个公式很不好记忆 应用时不方 便 因此 我们引进新的符号来表示 2 这个结果 这就是行列式的起源 我们称 4 个数组成的符号 21122211 2221 1211 aaaa aa aa 为二阶行列式 它含有两行 两列 横的叫行 纵的叫列 行列式中的数叫做行 列式的元素 从上式知 二阶行列式是这样两项的代数和 一个是从左上角到右 下角的对角线 又叫行列式的主对角线 上两个元素的乘积 取正号 另一个是从 右上角到左下角的对角线 又叫次对角线 上两个元素的乘积 取负号 根据定义 容易得知 2 中的两个分子可分别写成 222 121 212221 ab ab baab 221 111 211211 ba ba abba 如果记 2221 1211 aa aa D 222 121 1 ab ab D 221 111 2 ba ba D 则当 D 0 时 方程组 1 的解 2 可以表示成 3 2221 1211 222 121 1 1 aa aa ab ab D D x 2221 1211 221 111 2 2 aa aa ba ba D D x 象这样用行列式来表示解 形式简便整齐 便于记忆 首先 3 中分母的行列式是从 1 式中的系数按其原有的相对位置而排成 的 分子中的行列式 x1的分子是把系数行列式中的第 1 列换成 1 的常数项得到 的 而 x2的分子则是把系数行列式的第 2 列换成常数项而得到的 例例 1 用二阶行列式解线性方程组 23 142 21 21 xx xx 解解 这时 021432 31 42 D 52431 32 41 1 D31122 21 12 2 D 因此 方程组的解是 2 5 1 1 D D x 2 3 2 2 D D x 对于三元一次线性方程组 4 3333232131 2323222121 1313212111 bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa 作类似的讨论 我们引入三阶行列式的概念 我们称符号 5 312213332112322311 322113312312332211 333231 232221 131211 aaaaaaaaa aaaaaaaaa aaa aaa aaa 为三阶行列式 它有三行三列 是六项的代数和 这六项的和也可用对角线法则 来记忆 从左上角到右下角三个元素的乘积取正号 从右上角到左下角三个元素 的乘积取负号 例例 2 532 134 212 106201224230 1325 4 123223 4 211532 令 333231 232221 131211 aaa aaa aaa D 33323 23222 13121 1 aab aab aab D 33331 23221 13111 2 aba aba aba D 33231 22221 11211 3 baa baa baa D 当 D 0 时 4 的解可简单地表示成 6 D D x 1 1 D D x 2 2 D D x 3 3 它的结构与前面二元一次方程组的解类似 例例 3 解线性方程组 423 1523 02 321 321 321 xxx xxx xxx 解解 28 231 523 112 D13 234 521 110 1 D 47 241 513 102 2 D21 431 123 012 3 D 所以 28 13 1 1 D D x 28 47 2 2 D D x 4 3 28 21 3 3 D D x 例例 4 已知 问 a b 应满足什么条件 其中 a b 均为实数 0 101 0 0 ab ba 解解 若要 a2 b2 0 则 a 与 b 须同时等于零 因此 22 101 0 0 baab ba 当 a 0 且 b 0 时给定行列式等于零 为了得到更为一般的线性方程组的求解公式 我们需要引入 n 阶行列式的概 念 为此 先介绍排列的有关知识 思考题 思考题 当 a b 为何值时 行列式 0 22 ba ba D 1 2 排列排列 在 n 阶行列式的定义中 要用到排列的某些知识 为此先介绍排列的一些基 本知识 定义定义 1 由数码 1 2 n 组成一个有序数组称为一个 n 级排列 例如 1234 是一个 4 级排列 3412 也是一个 4 级排列 而 52341 是一个 5 级 排列 由数码 1 2 3 组成的所有 3 级排列为 123 132 213 231 312 321 共有 3 6 个 数字由小到大的 n 级排列 1234 n 称为自然序排列 定义定义 2 在一个 n 级排列 i1i2 in中 如果有较大的数 it 排在较小的数 is 的前 面 is it 则称 it与 is构成一个逆序 一个 n 级排列中逆序的总数 称为这个排 列的逆序数 记作 N i1i2 in 例如 在 4 级排列 3412 中 31 32 41 42 各构成一个逆序数 所以 排列 3412 的逆序数为 N 3412 4 同样可计算排列 52341 的逆序数为 N 52341 7 容易看出 自然序排列的逆序数为 0 定义定义 3 如果排列 i1i2 in 的逆序数 N i1i2 in 是奇数 则称此排列为奇排列 逆序数是偶数的排列则称为偶排列 例如 排列 3412 是偶排列 排列 52341 是奇排列 自然排列 123 n 是偶排 列 定义定义 4 在一个 n 级排列 i1 is it in中 如果其中某两个数 is与 it对调位置 其余各数位置不变 就得到另一个新的 n 级排列 i1 it is in 这样的变换称为一 个对换 记作 is it 如在排列 3412 中 将 4 与 2 对换 得到新的排列 3214 并且我们看到 偶排列 3412 经过 4 与 2 的对换后 变成了奇排列 3214 反之 也可以说奇排列 3214 经过 2 与 4 的对换后 变成了偶排列 3412 一般地 有以下定理 定理定理 1 任一排列经过一次对换后 其奇偶性改变 证明证明 首先讨论对换相邻两个数的情况 该排列为 a1a2 al i j b1b2 bmc1c2 cn 将相邻两个数 i 与 j 作一次对换 则排列变为 a1a2 al j i b1 b2 bmc1c2 cn 显然对数 a1 a2 al b1 b2 bm和 c1c2 cn来说 并不改变它们的逆序 数 但当 ij 时 经过 i 与 j 的对换后 排列的逆序数减少 1 个 所以对换相邻两数后 排列改变了奇偶 性 再讨论一般情况 设排列为 a1a2 al i b1b2 bmjc1c2 cn 将 i 与 j 作一次对换 则排列变为 a1a2 al j b1b2 bmi c1 c2 cn 这就是对换不相邻的两个数的情况 但它可以看成是先将 i 与 b1对换 再与 b2对 换 最后与 bm的对换 即 i 与它后面的数作 m 次相邻两数的对换变成排列 a1a2 alb1b2 bmi j c1 cn 然后将数 j 与它前面的数 i bm b1作 m 1 次相邻两数的对换而成 而对换不相 邻的数 i 与 j 中间有 m 个数 相当于作 2m 1 次相邻两数的对换 由前面的证明 知 排列的奇偶性改变了 2m 1 次 而 2m 1 为奇数 因此 不相邻的两数 i j 经 过对换后的排列与原排列的奇偶性不同 定理定理 2 在所有的 n 级排列中 n 2 奇排列与偶排列的个数相等 各为 个 2 n 证明证明 设在 n 个 n 级排列中 奇排列共有 p 个 偶排列共有 q 个 对这 p 个 奇排列施以同一个对换 如都对换 1 2 则由定理 1 知 p 个奇排列全部变为偶 排列 由于偶排列一共只有 q 个 所以 p q 同理将全部的偶排列施以同一对换 1 2 则 q 个偶排列全部变为奇排列 于是又有 q p 所以 q p 即奇排列与 偶排列的个数相等 又由于 n 级排列共有 n 个 所以 q p n 2 n pq 定理定理 3 任一 n 级排列 i1i2 in都可通过一系列对换与 n 级自然序排列 12 n 互变 且所作对换的次数与这个 n 级排列有相同的奇偶性 证明证明 对排列的级数用数学归纳法证之 对于 2 级排列 结论显然成立 假设对 n 1 级排列 结论成立 现在证明对于 n 级排列 结论也成立 若 in n 则根据归纳假设 i1i2 in 1是 n 1 级排列 可经过一系列对换变成 12 n 1 于是这一系列对换就把 i1i2 in变成 12 n 若 in n 则先施行 in与 n 的对换 使之变成 i1 i2 i n 1n 这就归结成上面的情形 相仿地 12 n 也可经 过一系列对换变成 i1i2 in 因此结论成立 因为 12 n 是偶排列 由定理 1 可知 当 i1i2 in是奇 偶 排列时 必须施行 奇 偶 数次对换方能变成偶排列 所以 所施行对换的次数与排列 i1i2 in具有相 同的奇偶性 思考题 思考题 1 决定 i j 的值 使 1 1245i6j97 为奇排列 2 3972i15j4 为偶排列 2 排列 n n 1 n 2 321 经过多少次相邻两数对换变成自然顺序排列 1 3 n阶行列式阶行列式 本节我们从观察二阶 三阶行列式的特征入手 引出 n 阶行列式的定义 已知二阶与三阶行列式分别为 21122211 2221 1211 aaaa aa aa 312213332112322311 322113312312332211 333231 232221 131211 aaaaaaaaa aaaaaaaaa aaa aaa aaa 其中元素 aij的第一个下标 i 表示这个元素位于第 i 行 称为行标 第二个下标 j 表 示此元素位于第 j 列 称为列标 我们可以从中发现以下规律 1 二阶行列式是 2 项的代数和 三阶行列式是 3 项的代数和 2 二阶行列式中每一项是两个元素的乘积 它们分别取自不同的行和不同 的列 三阶行列式中的每一项是三个元素的乘积 它们也是取自不同的行和不同 的列 3 每一项的符号是 当这一项中元素的行标是按自然序排列时 如果元素 的列标为偶排列 则取正号 为奇排列 则取负号 作为二 三阶行列式的推广我们给出 n 阶行列式的定义 定义定义 1 由排成 n 行 n 列的 n2个元素 aij i j 1 2 n 组成的符号 nnnn n n aaa aaa aaa 21 22221 11211 称为 n 阶行列式 它是 n 项的代数和 每一项是取自不同行和不同列的 n 个 元素的乘积 各项的符号是 每一项中各元素的行标排成自然序排列 如果列标 的排列为偶排列时 则取正号 为奇排列 则取负号 于是得 1 nnnn n n aaa aaa aaa 21 22221 11211 n jjj 21 n n njjj jjjN aaa 21 21 21 1 其中表示对所有的 n 级排列 j1j2 jn求和 n jjj 21 1 式称为 n 阶行列式按行标自然顺序排列的展开式 21 1 n jjjN 称为行列式的一般项 n njjj aaa 21 21 当 n 2 3 时 这样定义的二阶 三阶行列式与上面 1 1 中用对角线法则定义 的是一致的 当 n 1 时 一阶行列为 a11 a11 如 当 n 4 时 4 阶行列式 44 34 24 14 434241 333231 232221 131211 a a a a aaa aaa aaa aaa 表示 4 24 项的代数和 因为取自不同行 不同列 4 个元素的乘积恰为 4 项 根据 n 阶行列式的定义 4 阶行列式为 44 34 24 14 434241 333231 232221 131211 a a a a aaa aaa aaa aaa jjj jjjj jjjjN aaaa 21 321 4321 321 1 例如 a14a23a31a42行标排列为 1234 元素取自不同的行 列标排列为 4312 元 素取自不同的列 因为 N 4312 5 所以该项取负号 即 a14a23a31a42是上述行列 式中的一项 为了熟悉 n 阶行列式的定义 我们来看下面几个问题 例例 1 在 5 阶行列式中 a12a23a35a41a54这一项应取什么符号 解解 这一项各元素的行标是按自然顺序排列的 而列标的排列为 23514 因 N 23514 4 故这一项应取正号 例例 2 写出 4 阶行列式中 带负号且包含因子 a11a23的项 解解 包含因子 a11a23项的一般形式为 jj jjN aaaa 3 43 32311 13 1 按定义 j3可取 2 或 4 j4可取 4 或 2 因此包含因子 a11a23的项只能是 a11a23a32a44或 a11a23a34a42 但因 N 1324 1 为奇数 N 1342 2 为偶数 所以此项只能是 a11a23a32a44 例例 3 计算行列式 hgvu feyx dc ba 00 00 解解 这是一个四阶行列式 按行列式的定义 它应有 4 24 项 但只有以下 四项 adeh adfg bceh bcfg 不为零 与这四项相对应得列标的 4 级排列分别为 1234 1243 2134 和 2143 而 N 1234 0 N 1243 1 N 2134 1 和 N 2143 2 所以第一项和第四项应取正 号 第二项和第三项应取负号 即 adeh adfg bceh bcfg hgvu feyx dc ba 00 00 例例 4 计算上三角形行列式 nn n n a a a a aa D 2 1 22 1211 00 0 其中 aii i 1 2 n 解解 由 n 阶行列式的定义 应有 n 项 其一般项为 n njjj aaa 21 21 但由于 D 中有许多元素为零 只需求出上述一切项中不为零的项即可 在 D 中 第 n 行元素除 ann外 其余均为 所以 jn n 在第 n 1 行中 除 an 1n 1和 an 1n 外 其余元素都是零 因而 jn 1只取 n 1 n 这两个可能 又由于 ann an 1n位于同 一列 而 jn n 所以只有 jn 1 n 1 这样逐步往上推 不难看出 在展开式中只 有 a11a22 ann一项不等于零 而这项的列标所组成的排列的逆序数是 N 12 n 0 故取正号 因此 由行列式的定义有 a11a22 ann nn n n a a a a aa D 2 1 22 1211 00 0 即上三角形行列式的值等于主对角线上各元素的乘积 同理可求得下三角形行列式 a11a22 ann nnnn aaa aa a 0 0 0 21 2221 11 特别地 对角形行列式 a11a22 ann nn a a a 0 0 00 0 0 22 11 上 下 三角形行列式及对角形行列式的值 均等于主对角线上元素的乘积 例例 5 计算行列式 000 000 000 1 12 1 n n n a a a 解解 这个行列式除了 a1na2n 1 an1这一项外 其余项均为零 现在来看这一 项的符号 列标的 n 级排列为 n n 1 21 N n n 1 21 n 1 n 2 2 1 所以 2 1 nn 000 000 000 1 12 1 n n n a a a 1121 2 1 1 nnn nn aaa 同理可计算出 000 0 1 122221 11211 n n n a aaa aaa nnnnn nn n aaa aa a 11 212 1 0 00 1121 2 1 1 nnn nn aaa 由行列式的定义 行列式中的每一项都是取自不同的行不同的列的 n 个元素 的乘积 所以可得出 如果行列式有一行 列 的元素全为 0 则该行列式等于 0 在 n 阶行列式中 为了决定每一项的正负号 我们把 n 个元素的行标排成自 然序排列 即 事实上 数的乘法是满足交换律的 因而这 n 个元 n njjj aaa 21 21 素的次序是可以任意写的 一般地 n 阶行列式的项可以写成 2 nnj ijiji aaa 2211 其中 i1i2 in j1 j2 jn是两个 n 阶排列 它的符号由下面的定理来决定 定理定理 1 n 阶行列式的一般项可以写成 3 nn nn jijiji jjjNii iN aaa 2211 2121 1 其中 i1i2 in j1j2 jn都是 n 级排列 证明证明 若根据 n 阶行列式的定义来决定 2 的符号 就要把这 n 个元素重新排 一下 使得它们的行标成自然顺序 也就是排成 4 2 1 21n njjj aaa 于是它的符号是 21 1 n jjjN 现在来证明 1 与 3 是一致的 我们知道从 2 变到 4 可经过一系列元素的对 换来实现 每作一次对换 元素的行标与列标所组成的排列 i1i2 in j1j2 jn就同 时作一次对换 也就是 N i1i2 in 与 N j1j2 jn 同时改变奇偶性 因而它的和 N i1i2 in N j1j2 jn 的奇偶性不改变 这就是说 对 2 作一次元素的对换不改变 3 的值 因此在一系 列对换之后有 12 21212121 1 1 1 nnnn jjjNjjjNnNjjjNiiiN 这就证明了 1 与 3 是一致的 例如 a21a32a14a43是 4 阶行列式中一项 它和符号应为 1 N 2314 N 1243 1 2 1 1 如按行标排成自然顺序 就是 a14a21a32a43 因而它的符号是 1 N 4123 1 3 1 同样 由数的乘法的交换律 我们也可以把行列式的一般项中元素 n njjj aaa 21 21 的列标排成自然顺序 123 n 而此时相应的行标的 n 级排列为 i1i2 in 则行列式 定义又可叙述为 n n n iii niii iiiN nnnn n n aaa aaa aaa aaa 21 21 21 21 21 22221 11211 1 思考题 思考题 1 如果 n 阶行列式所有元素变号 问行列式的值如何变化 2 由行列式的定义计算 f x x x x xx 111 123 111 212 中 x4与 x3的系数 并说明理由 1 4 行列式的性质行列式的性质 当行列式的阶数较高时 直接根据定义计算 n 阶行列式的值是困难的 本节 将介绍行列式的性质 以便用这些性质把复杂的行列式转化为较简单的行列式 如 上三角形行列式等 来计算 将行列式 D 的行列互换后得到的行列式称为行列式 D 的转置行列式 记作 DT 即若 则 nnnn n n aaa aaa aaa D 21 22221 11211 nnnn n n T aaa aaa aaa D 21 22212 12111 反之 行列式 D 也是行列式 DT的转置行列式 即行列式 D 与行列式 DT互为转置 行列式 性质 性质 行列式 D 与它的转置行列式 DT的值相等 证 证 行列式 D 中的元素 aij i j 1 2 n 在 DT中位于第 j 行第 i 列上 也就是说它的行标是 j 列标是 i 因此 将行列式 DT按列自然序排列展开 得 n n n jjj njjj jjjNT aaaD 21 21 21 21 1 这正是行列式 D 按行自然序排列的展开式 所以 D DT 这一性质表明 行列式中的行 列的地位是对称的 即对于 行 成立的性 质 对 列 也同样成立 反之亦然 性质 性质 交换行列式的两行 列 行列式变号 证 证 设行列式 21 21 21 11211 行 行 s i aaa aaa aaa aaa D nnnn snss inii n 将第 i 行与第 s 行 1 i s n 互换后 得到行列式 21 21 21 11211 1 行 行 s i aaa aaa aaa aaa D nnnn inii snss n 显然 乘积在行列式 D 和 D1中 都是取自不同行 不同 nsi njsjijj aaaa 1 1 列的 n 个元素的乘积 根据 3 定理 对于行列式 D 这一项的符号由 1 1 1 nsi jjjjNnsiN 决定 而对行列式 D1 这一项的符号由 1 1 1 nsi jjjjNnisN 决定 而排列 1 i s n 与排列 1 s i n 的奇偶性相反 所以 1 1 1 nsi jjjjNnsiN 1 1 1 nsi jjjjNnisN 即 D1中的每一项都是 D 中的对应项的相反数 所以 D D1 例 例 计算行列式 05307 04008 00005 17536 03924 D 解解 将第一 二行互换 第三 五行互换 得 00005 04008 05307 03924 17536 1 2 D 将第一 五列互换 得 120 554321 50000 84000 75300 43920 67531 1 3 D 推论推论 若行列式有两行 列 的对应元素相同 则此行列式的值等于零 证证 将行列式 D 中对应元素相同的两行互换 结果仍是 D 但由性质 有 D D 所以 D 0 性质 性质 行列式某一行 列 所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面 即 nnnn inii n nnnn inii n aaa aaa aaa k aaa kakaka aaa 21 11 11211 21 11 11211 证证 由行列式的定义有 左端 n ni n jjj njijj jjjN akaa 21 1 21 1 1 n ni n jjj njijj jjjN aaak 21 1 21 1 1 右端 此性质也可表述为 用数 k 乘行列式的某一行 列 的所有元素 等于用数 k 乘 此行列式 推论 推论 如果行列式中有两行 列 的对应元素成比例 则此行列式的值等于 零 证证 由性质 和性质 的推论即可得到 性质 性质 如果行列式的某一行 列 的各元素都是两个数的和 则此行列式等 于两个相应的行列式的和 即 nnnn inii n nnnn inii n nnnn ininiiii n aaa ccc aaa aaa bbb aaa aaa cbcbcb aaa 21 21 11211 21 21 11211 21 2211 11211 证证 左端 n nii n jjj njijijjj jjjN acbaa 21 21 21 1 21 n ni n jjj njijjj jjjN abaa 21 21 21 21 1 n ni n jjj njijjj jjjN acaa 21 21 21 21 1 nnnn inii n nnnn inii n aaa ccc aaa aaa bbb aaa 21 21 11211 21 21 11211 右端 性质性质 5 把行列式的某一行 列 的所有元素乘以数 k 加到另一行 列 的相应元 素上 行列式的值不变 即 nnnn snss inii n aaa aaa aaa aaa D 21 21 21 11211 nnnn sninsisi inii n aaa akaakaaka aaa aaa 21 2211 21 11211 证证 由性质 i 行 k 加 到第 s 行 右端 k nnnn inii inii n aaa kakaka aaa aaa 21 21 21 11211 nnnn snss inii n aaa aaa aaa aaa 21 21 21 11211 左端 nnnn snss inii n aaa aaa aaa aaa 21 21 21 11211 作为行列式性质的应用 我们来看下面几个例子 例例 2 计算行列式 3111 1311 1131 1113 D 解解 这个行列式的特点是各行 个数的和都是 我们把第 各列 同时加到第 列 把公因子提出 然后把第 行 1 加到第 行上就 成为三角形行列式 具体计算如下 4826 2000 0200 0020 1111 6 3111 1311 1131 1111 6 3116 1316 1136 1116 3 D 例例 3 计算行列式 0112 0121 2011 2110 D 解解 31 4130 2110 2110 2011 2 1 0112 0121 2110 2011 0112 0121 2011 2110 D 4 2 2 1 1 2000 4200 2110 2011 1 2200 4200 2110 2011 例例 4 试证明 0 1 1 cbad badc dacb dcba D 证证 把 列同时加到第 列上去 则得 0 1 11 11 1 1 1 ad dc cb ba dcba dcbaad bcbadc dcbacb dcbaba D 例例 5 计算 n 1 阶行列式 xaaa axaa aaxa aaax D n n n 321 21 21 21 解解 将 D 的第 列 第 列 第 n 1 列全加到第 列上 然后从第 列 提取公因子得 n i i ax 1 xaa axa aax aaa axD n n n n i i 32 2 2 21 1 1 1 1 1 n n i i axaaaa axaa ax ax 2312 212 1 1 1 01 001 0001 21 1 n n i i axaxaxax 例例 6 解方程 0 1 1111 1 2 111 11211 11111 11111 xn xn x x 解法一 a1 a2 an 1 1 1111 1 2 111 11211 11111 11111 xn xn x x 2 3 1 2 0000 0 3 000 00100 00000 11111 xnxnxx xn xn x x 所以方程的解为 x1 0 x2 1 xn 2 n 3 xn 1 n 2 解法二 解法二 根据性质 的推论 若行列式有两行的元素相同 行列式等于 零 而所给行列式的第 行的元素全是 第 行 第 行 第 n 行的元素只 有对角线上的元素不是 其余均为 因此令对角线上的某个元素为 则行 列式必等于零 于是得到 1 x 1 2 x 1 n 2 x 1 n 1 x 1 有一成立时原行列式的值为零 所以方程的解为 x1 0 x2 1 xn 2 n 3 xn 1 n 2 例例 7 计算 n 阶行列式 2 1 321 21 31 32 niax xaaa axaa aaxa aaax D in n n 解解 将第 1 行乘以 1 分别加到第 n 行上得 n n axxa axxa axxa aaax D 00 00 00 1 31 21 32 从第一列提出 x a1 从第二提出 x a2 从第 n 列提出 x an 便得到 1001 0101 0011 3 3 2 2 1 21 n n n ax a ax a ax a ax x axaxaxD 由并把第 第 第 n 列都加于第 1 列 有 1 1 1 1 ax a ax x 1000 0100 0010 1 3 3 2 2 1 21 n n n i i i n ax a ax a ax a ax a axaxaxD 1 1 21 n i i i n ax a axaxax 例例 8 试证明奇数阶反对称行列式 0 0 0 0 21 212 112 nn n n aa aa aa D 证证 D 的转置行列式为 0 0 0 21 212 112 nn n n T aa aa aa D 从 DT中每一行提出一个公因子 1 于是有 但由性质 1 知道 DT DD aa aa aa D n nn n n nT 1 0 0 0 1 21 212 112 D 1 nD 又由 n 为奇数 所以有 D D 即 2D 0 因此 D 0 思考题 思考题 1 证明下列各题 2 2 2 3 3 3 1 1 1 1 1 1 cc bb aa cba cc bb aa 2 计算下列 n 阶行列式 11111 000 000 000 22 11 nn aa aa aa 1 5 行列式按一行行列式按一行 列列 展开展开 本节我们要研究如何把较高阶的行列式转化为较低阶行列式的问题 从而得 到计算行列式的另一种基本方法 降阶法 为此 先介绍代数余子式的概念 定义定义 在 n 阶行列式中 划去元素 aij所在的第 i 行和第 j 列后 余下的元素按 原来的位置构成一个 n 1 阶行列式 称为元素 aij的余子式 记作 ij 元素 aij的 余子式 ij前面添上符号 1 i j称为元素 aij的代数余子式 记作 Aij 即 Aij 1 i jMij 例如 在四阶行列式 中 a23的余子式是 M23 44434241 34333231 24232221 14131211 aaaa aaaa aaaa aaaa D 444241 343231 141211 aaa aaa aaa 而 A23 1 2 3M23 是 a23的代数余子式 444241 343231 141211 aaa aaa aaa 定理 定理 n 阶行列式 D 等于它的任意一行 列 的元素与其对应的代数余子式的 乘积之和 即 D ai1Ai1 ai2Ai2 ainAin i 1 2 n 或 D a1jA1j a2jA2j anjAnj j 1 2 n 证明证明 只需证明按行展开的情形 按列展开的情形同理可证 1 先证按第一行展开的情形 根据性质 有 nnnn n n nnnn n n aaa aaa aaa aaa aaa aaa D 21 22221 11211 21 22221 11211 0000000 nnnn n n nnnn n nnnn n aaa aaa a aaa aaa a aaa aaa a 21 22221 1 21 22221 12 21 22221 11 000000 按行列式的定义 n n n jjj njjj jjjN nnnn n aaa aaa aaa a 21 21 21 21 21 22221 11 1 00 111111112 11 21 2 21 1 AaMaaaa n n n jjj njj jjjN 同理 12121212 12 22122 12 21 22221 12 1 00 1 00 AaMa aaa aaa a aaa aaa a nnnn n nnnn n nnnn n nnnnn nn n n nnnn n n AaMa aaa aaa a aaa aaa a 1111 1 11 12212 1 1 21 22221 1 1 00 1 00 所以 D a11A11 a12A12 a1nA1n 2 再证按第 i 行展开的情形 将第 i 行分别与第 i 1 行 第 i 2 行 第 行进行交换 把第 i 行换到第 行 然后再按 的情形 即有 2 21 2 1 1 11 1 1 21 11211 21 1 1 1 1 1 1 ii i ii i nnnn n inii i MaMa aaa aaa aaa D ininiiii in n in i AaAaAa Ma 2211 11 1 1 定理 定理 n 阶行列式 D 中某一行 列 的各元素与另一行 列 对应元素的代数余 子式的乘积之和等于零 即 ai1As1 ai2As2 ainAsn 0 i s 或 a1jA1t a2jA2t anjAnt 0 j t 证证 只证行的情形 列的情形同理可证 考虑辅助行列式 21 21 21 11211 1 行 行 s i aaa aaa aaa aaa D nnnn inii inii n 这个行列式的第 i 行与第 s 列的对应元素相同 它的值应等于零 由定理 1 将 D1 按第 s 行展开 有 D1 ai1As1 ai2As2 ainAsn 0 i s 定理 和定理 可以合并写成 ai1As1 ai2As2 ainAsn 0 si siD 或 a1jA1t a2jA2t ajnAnt 0 tj tjD 定理 1 表明 n 阶行列式可以用 n 1 阶行列式来表示 因此该定理又称行列 式的降阶展开定理 利用它并结合行列式的性质 可以大大简化行列式的计 算 计算行列式时 一般利用性质将某一行 列 化简为仅有一个非零元素 再按 定理 1 展开 变为低一阶行列式 如此继续下去 直到将行列式化为三阶或二 阶 这在行列式的计算中是一种常用的方法 例 例 计算行列式 5101 2421 7013 1312 D 解解 D 的第四行已有一个元素是零 利用性质 有 5 1 2 1 332 831 1111 1 0001 3321 8313 11112 5101 2421 7013 1312 14 D 85 255 34 1 2550 340 1111 11 例 例 计算 n 阶行列式 ab ba a ba ba D 000 000 0000 000 000 解解 按第一列展开得 nnnnnn n babbaa ba b ba b b a ba a ba aD 1111 111 1 1 00 000 00 000 1 000 00 000 00 1 例 例 计算 其中 xy y y x x D 1111 1111 1111 1111 解解 根据定理 1 把行列式适当地加一行一列 然后利用性质 有 y y x x y y x x D 0001 0001 0001 0001 11111 1 11110 11110 11110 11110 11111 第 2 列提出因子 x 第 3 列提出 x 第 4 列提出 y 第 5 列提出 y 得 1 1 1 1 10000 01000 00100 00010 1111 1 10001 01001 00101 00011 1111 1 2222 yx yyxx yx yyxx yyxxD 例 例 试证 加 到 各 行 1 nij ji n n nnn n n aa aaaa aaaa aaaa 1 11 3 1 2 1 1 22 3 2 2 2 1 321 1111 式中左端叫范德蒙行列式 结论说明 n 阶范德蒙行列式之值等于 a1 a2 an 这 n 个数的所有可能的差 ai aj 1 j i n 的乘积 证明证明 用数学归纳法 1 当 n 2 时 计算 阶范德蒙行列式的值 12 21 11 aa aa 可见 n 2 时 结论成立 2 假设对于 n 1 阶范德蒙行列式结论成立 来看 n 阶范德蒙行列式 把第 n 1 行的 a1 倍加到第 n 行 再把第 n 2 行的 a1 倍加到第 n 1 行 如此继续作 最后把第 1 行的 a1 倍加到第 2 行 得到 2 1 12 31 1 3 2 21 1 2 1 2 31 2 321 2 2 11312 11 3 1 2 1 1 22 3 2 2 2 1 22 3 2 2 2 1 321 0 0 0 1111 1111 n n n n nnnn nn n n n nnn n n nnn n n aaaaaaaaa aaaaaaaaa aaaaaa aaaa aaaa aaaa aaaa 1 2 13 2 312 2 2 1133122 11312 aaaaaaaaa aaaaaaaaa aaaaaa n n n nn nn n 22 3 2 2 32 11312 111 n n nn n n aaa aaa aaaaaa 后面这个行列式是 n 1 阶范德蒙行列式 由归纳假设得 nij ji n n nn n aa aaa aaa 2 22 3 2 2 32 111 于是上述 n 阶范德蒙行列式等于 nij jin aaaaaaaa 2 11312 nij ji aa 根据数学归纳法原理 对一切 n 2 1 式成立 例 例 计算 n 阶行列式 xa xa xa xa a D n n n 0000 1000 0010 0001 00001 1 3 2 1 解解 把第一行乘以 x 加到第二行 然后把所得到的第二行乘以 x 加到第三行 这样继续进行下去 直到第 n 行 便得到 00000 10000 00100 00010 00001 1 1 1 32 2 1 21 1 n i in i n i in i n xa xa axaxa axa a D 100 010 001 1 1 1 n i in i n xa n i in i nn n i n i n xaxa 1 21 1 11 1 1 1 nn nn axaxaxa 1 2 2 1 1 例例 6 证明 2221 1211 2221 1211 22212221 12111211 2221 1211 00 00 bb bb aa aa bbcc bbcc aa aa 证证 将上面等式左端的行列式按第一行展开 得 222121 121111 21 12 222122 121112 22 11 22212221 12111211 2221 1211 0000 00 00 bbc bbc a a bbc bbc a a bbcc bbcc aa aa 2221 1211 21122211 2221 1211 2112 2221 1211 2211 bb bb aaaa bb bb aa bb bb aa 2221 1211 2221 1211 bb bb aa aa 本例题的结论对一般情况也是成立的 即 mmmmmkmm mk kkkk k bbbccc bbbccc aaa aaa 2121 1121111211 21 11211 000 000 mmmm m kkkk k bbb bbb aaa aaa 21 11211 21 11211 思考题 思考题 1 计算下列行列式 04321 31012 22101 13210 nnnn n n n 2 证明下列等式 ai 0 1 0001 0001 0001 1111 1 0212 1 0 n i i n n a aaaa a a a a 1 6 克莱姆法则克莱姆法则 前面我们已经介绍了 n 阶行列式的定义和计算方法 作为行列式的应用 本 节介绍用行列式解 n 元线性方程组的方法 克莱姆法则 它是 中二 三元 线性方程组求解公式的推广 设含有 n 个未知量 n 个方程的线性方程组为 1 nnnnnn nn nn bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa 2211 22222121 11212111 它的系数 aij构成的行列式 nnnn n n aaa aaa aaa D 21 22221 11211 称为方程组 1 的系数行列式 定理 定理 克莱姆法则 如果线性方程组 1 的系数行列式 D 则方程组 1 有唯一解 2 2 2 1 1 D D x D D x D D x n n 其中 Dj j 1 2 n 是 D 中第 j 列换成常数项 b1 b2 bn 其余各列不 变而得到的行列式 这个法则包含着两个结论 方程组 1 有解 解唯一 下面分两步来证明 第一步 在 D 的条件下 方程组 1 有解 我们将验证由 2 式给出的数组 确实是方程组 1 的解 21 D D D D D D n 第二步 若方程组有解 必由 2 式给出 从而解是唯一的 证证 首先将代入 1 的第 i 个方程有 2 2 1 1 D D x D D x D D x n n 3 1 1211 2 2 1 1 ninii n inii DaDaDa D D D a D D a D D a 左端 把 D1按第 列展开 D2 按第 2 列展开 Dn按第 n 列展开 然后代入 3 式有 左端 1 112121111nniii AbAbAbAba D 2211 222221212 nnnininnin nniii AbAbAbAba AbAbAbAba 1 11221111ninii AaAaAab D 2211 2211 22222112 nninninin ininiiiii ninii AaAaAab AaAaAab AaAaAab 000 1 21 ni bDbbb D 右端 ii bDb D 1 这样证明了是 1 的解 21 D D D D D D n 其次 证明方程组若有解 其解必由 2 式给出 即解是唯一的 即 假设 x1 k1 x2 k2 xn kn是方程组 1 的一个解 证明必有下式 D D k D D k D D k n n 2 2 1 1 因 x1 k1 x2 k2 xn kn是 1 的解 把它代入 1 有 1 nnnnnn nn nn bkakaka bkakaka bkakaka 2211 22222121 11212111 将系数行列式 D 的 j 列的代数余子式 A1j A2j Anj乘等式两边 得 a11A1jk1 a1jA1jkj a1nA1jkn b1A1j a21A2jk1 a2jA2jkj a2nA2jkn b2A2j an1Anjk1 anjAnjkj annAnjkn bnAnj 把这 n 个等式相加 并利用行列式按一列展开定理 得 jnj DckDk 00 1 即 jj DkD 因为 D 所以 由于在上述证明过程中 j 可取遍 1 2 n 于 D D k j j 是有 D D k D D k D D k n n 2 2 1 1 所以方程组的解是唯一的 例 例 解线性方程组 2466 42843 3352 123 4321 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx xxxx 解解 因为 017 21300 11500 0110 1231 26190 12130 0110 1231 4616 2843 2352 1231 D 所以方程组有唯一解 又 0 4626 2843 2332 1211 34 4612 2844 2353 1231 21 DD 85 2616 4843 3352 1231 17 4216 2443 2352 1131 43 DD 即得唯一解 5 17 85 1 17 17 0 17 0 2 17 34 4321 xxxx 注意 用克莱姆法则解线性方程组时 必须满足两个条件 一是方程的个数 与未知量的个数相等 二是系数行列式 D 当方程组 1 中的常数项都等于 时 称为齐次线性方程组 即 0 0 0 2211 2222121 1212111 nnnnn nn nn xaxaxa xaxaxa xaxaxa 称为齐次线性方程组 显然 齐次线性方程组 3 总是有解的 因为 x1 0 x2 0 xn 0 必定满足 3 这组解称为零解 也就是说 齐次线性方程组必有 零解 在解 x1 k1 x2 k2 xn kn不全为零时 称这组解为方程组 3 的非零 解 定理定理 2 如果齐次线性方程组 3 的系数行列式 D 则它只有零解 证证 由于 D 故方程组 3 有唯一解 又因为 3 已有零解 所以 3 只有零 解 定理的逆否命题如下 推论推论 如果齐次线性方程组 3 有非零解 那么它的系数行列式 D 例例 2 若方程组 02 0 0 321 321 3211 xbxx xbxx xxxa 只有零解 则 a b 应取何值 解解 由定理 知 当系数行列式 D 时 方程组只有零解 1 121 11 11 ab b b a D 所以 当 a 1 且 b 时 方程组只有零解 例例 3 设 f x c0 c1x cnxn 用克莱姆法则证明 若 f x 有 n 1 个不同的根 则 f x 是一个零多项式 证明证明 设 a1 a2 an an 1是 f x 的 n 1 个不同的根 即 0 0 0 1 2 12110 2 2 22210 2 12110 n nnnn n n n nn acacacc acacacc acacacc 这是以 c0 c1 c2 cn为未知数的齐次线性方程组 其系数行列式为 n n nn n n n nnn n n n aaa aaa aaa aaa aaa aaa aaa D 121 2 1 2 2 2 1 121 1 2 11 3 2 33 2 2 22 1 2 11 111 1 1 1 1 此行列式是范德蒙行列式 由于 ai aj i j 所以 11 0 nij ji aaD 根据定理 知 方程组只有唯一零解 即 c0 c1 c2 cn 0 故 f x 是一个零多项式 思考题 思考题 当 为何值时 齐次线性方程组 0 0 043 32 21 321 xx xx xxx 1 仅有零解 2 有非零解 1 7 数域数域 线性代数的许多问题在不同的数的范围内讨论会得到不同的结论 例如 一 元一次方程 2x 1 在有理数范围内是有解的 x 但在整数范围内 方程 2x 1 2 1 是无解的 为了深入讨论线性代数中的某些问题 需要介绍数域的概念 定义定义 如果数集 P 满足 1 P P 2 数集 P 对于数的四则运算是封闭的 即 P 中的任意两个数的和 差 积 商 除数不为零 仍然在 P 中 则称数集 P 是一个数域 用上述定义容易验证 有理数集 Q 实数集 R 复数集 C 都是数域 今后称 它们为有理数域 Q 实数域 R 复数域 C 另外还有一些其它的数域 例 形如 a b 为任意有理数 的数构成的数集是一个数域 2ba 整数集不是数域 数集 a b 为任意整数 也不是数域 2ba 可以证明 最小的数域是有理数域 我们约定在以后的各章里 所讨论的问题都是在任何一个数域里进行的 第二章第二章 线性方程组线性方程组 说明与要求说明与要求 本章的内容分向量和线性方程组两部分 向量部分是由线性组合 线性相关 无关 出发 进而讨论向量中线性无关向量的个数 从而引出对向量组的秩和矩 阵的秩的研究 要理解向量的线性相关 线性无关 向量的秩和矩阵的秩等概念 对于向量 的线性相关性的讨论 无论是证明 判断还是计算 关键在于深刻理解基本概念 搞清楚它们之间的联系 要学会用定义来作推导论证 向量组的秩与矩阵的秩之间有密切的联系 一个向量组可有另一个向量组线 性表出时 向量组的秩之间有相互制约的关系 因此 对于秩的问题要灵活运用 条件 注意知识点的转化 求秩 求极大无关组的重要方法是初等变换 应熟练 掌握此方法 方程组部分的主要内容是利用向量的理论 对方程组解的情况以及解的结构 进行讨论 要掌握方程组解得判定定理 了解线性方程组的特解 导出组的基础 解系和一般解的概念 上一章已经介绍了求解线性方程组的克莱姆法则 虽然克莱姆法则在理论上 具有重要的意义 但是利用它求解线

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