数与式的基础知识和能力概要制作飞沙落日.ppt

中考复习 第一讲 数与式的基础知识和能力概要 制作 飞沙落日 1 实数的分类 基本概念 无限不循环小数 实数 有理数 整数 正整数 自然数 零 负整数 分数 正分数 负分数 无理数 正无理数 负无理数 有限小数和无限循环小数 初中阶段遇到的无理数有三类 开方开不尽的方根 如 特定结构的数 如 1 020020002 特定定义的数 如 cos30 sin45 tan60 注 下列数不是无理数 如sin30 3 14159 7 11 有理数分类 整数和分数统称为有理数 可化为有限小数或无限循环小数 1 下列语句 1 所有整数都是正数 2 所有正数都是整数 3 小学学过的数都是正数 4 分数是有理数 5 在有理数中除了负数就是正数 其中正确的语句的个数有 A 0个B 1个C 3个D 4个 B 2 下列语句 分数是小数 无理数是特殊的小数 无限小数是无理数 无理数是开不尽方的数 无理数一定是无限小数 其中正确的说法有 A 0个B 2个C 3个D 4个 B 3 下列实数中 tan60 0 2121121112 每相邻两个2之间依次多一个1 中有理数有 个A1个B2个C3个D4个 C 注 看数看实质 不能以 貌 取数 2 实数中的几个重要概念 相反数 只有符号不同的两个数 其中一个是另一个的相反数 1 数a的相反数是 a 2 0的相反数是0 3 a b互为相反数a b 0 a b 4 数轴上表示相反数的两个点关于原点对称 反之亦然 这两点到原点的距离相等 绝对值 几何意义 数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值 用 a 表示 1 数a的绝对值记作 a 若a 0 则 a 2 若a 0 则 a 若a 0 则 a a a 0 3 对任何有理数a 总有 a 0 2 实数中的几个重要概念 代数意义 一个正数的绝对值是它本身 一个负数的绝对值等于它的相反数 0的绝对值是0 去绝对值符号 即化简绝对值 的方法 首先确定绝对值符号里代数式值的正负 然后按绝对值的代数意义进行化简 数轴 三要素 规定了的直线 1 在数轴上表示的两个数 右边的数总比左边的数大 2 正数都大于0 负数都小于0 正数大于一切负数 3 数轴上的点与 一一对应 实数 原点 正方向和单位长度 2 实数中的几个重要概念 倒数 如果两个数的积是1 则这两个数互为倒数 注 常用倒数实例 tan tan 90 1 2 实数中的几个重要概念 n 0 为锐角 3 科学记数法 把一个数表示成a 10n的形式叫科学记数法 其中 1 a 10 n为整数 1 一个数a 如果 a 10时 用科学记数法来表示 n等于整数位数减1 2 一个数a 如果0 a 1时 n等于第一个非零的数字前面的零的个数的相反数 注 只需用实例12 1 2 101 0 012 1 2 10 2就可以记住这个规律 4 近似数与有效数字 1 近似数 一个与准确值相近 但又有差异的数叫近似数 一个近似数四舍五入到哪一位 就说这个数精确到哪一位 2 一个近似数 从左边第一个不是0的数字起 到这个数的末位数字止 所有的数字都是这个数的有效数字 如 0 010010从左边不是0的数字1开始 到末位数字0结束 共有五个有效数字 分别是1 0 0 1 0 特别强调 1 0在一个数中所处的位置不同 可能是有效数字 也可能不是有效数字 注意正确区分 2 是否取近似数要看题目中的要求 不要随便利用计算机运算去取近似数 4 据 保护长江万里行 考察队统计 仅2003年长江流域废水排放量已达163 9亿吨 治长江污染真是刻不容缓了 请将这个数据用四舍五入法 使其保留两个有效数字 再用科学记数法表示出来是 A 1 6 103亿吨B 1 6 102亿吨C 1 7 103亿吨D 1 7 102亿吨 B 点评首先将所考查的数用科学记数法表示出来 然后再按题设要求四舍五入保留到有效数字 练习 5 今年1 5月份 深圳市累计完成地方一般预算收入216 58亿元 数据216 58亿精确到 A 百亿位B 亿位C 百万位D 百分位 C 点评四舍五入精确到多少位不能被表面现象迷惑 而要看清数据后面的无单位 还原后再做判断 6 下列四个数据中 精确的是 A 小莉班上有45人B 某次地震中 伤亡大约10人C 小明测得数学书的长度为21 0厘米D 吐鲁番盆地低于海平面大约155米 点评对精确数与近似数的判断主要抓住其定义理解 在日常生活中很多如测量的质量 长度等等都是近似数 A 练习 5 数的运算 1 实数的加 减 乘 除 乘方和开方运算 特别注意两个转化 减法变加法 减去一个数等于加上这个数的相反数 即 a b a b 除法变乘法 除以一个不等于0的数等于乘以这个数的倒数 即a b a 2 混合运算中注意两点 一是运算顺序 二是灵活运用运算律简化计算 3 注意幂的运算性质和根式的化简 6 实数大小的比较 1 数轴法 数轴上右边的点表示的数总比左边的点表示的数大 如 a与b在数轴上的位置如图所示 则a b 2 作差法 设a b为任意实数 若a b 0 则a b 若a b 0 则a b 若a b 0 则a b 反之成立 3 求商法 设a b为正任意实数 若a b 1 则a b 若a b 1 则a b 若a b 1 则a b 若a b为负任意实数 则与上述结论相反 4 绝对值法 对于两个负数比较大小 绝对值大的反而小 即若a b 则a b 实数大小的比较 7 将这三个实数按从小到大的顺序排列 正确的结果是 点评本题主要考查幂的运算 难点是符号的变化 因此 解此类题的最好方法是正确运用相关法则细心计算 得出结果后再与各选项比较 C 练习 7 整式的几个重要概念 2 单项式 由数与字母的乘积组成的式子 叫单项式 单个的数或字母也是单项式 单项式中的数字因数叫做单项式的系数 所有字母的指数和叫做单项式的次数 3 多项式 几个单项式的和叫做多项式 其中每一个单项式叫做多项式的项 多项式中次数最高的项的次数是多项式的次数 4 整式 单项式和多项式统称为整式 5 同类项 所含字母相同 且相同字母的指数也分别相同的项叫同类项 所有常数项都是同类项 6 因式分解 把一个多项式分成几个整式的乘积的形式 叫因式分解 1 代数式 如a xy2 a b 3 a b 2 等式子 称为代数式 单独的一个数或一个字母也是代数式 8 整式的运算 1 整式的加减运算 去括号 合并同类项 2 整式的乘除 同底数幂的乘法 am an am n m n为正整数 幂的乘方 am n amn m n为正整数 积的乘方 ab n anbn n为正整数 单项式乘以单项式 单项式乘以多项式 多项式乘以多项式 乘法公式 a b a b a2 b2 a b 2 a2 2ab b2 同底数幂的除法 am an am n m n为正整数 且a 0 单项式除以单项式 多项式除以单项式 9 因式分解 基本方法 1 提公因式法 ma mb mc m a b c 2 公式法 a2 b2 a b a b a2 2ab b2 a b 2 3 分组分解法 ma mb na nb m a b n a b a b m n 4 二次三项式的因式分解 x2 p q x pq x p x q 策略 一提二套三检查 整式的概念 8 下列运算正确的是 A 2x5 3x3 x2 C x 5 x2 x10 D 3a6x3 9ax5 3ax3 3x2 a5 点评此题主要考查整式中的同类项 同类二次根式和幂的运算 几个备选答案实际上指出了我们在这些运算中常犯的一些错误 D 练习 整式的概念 9 若两个单项式2amb2m 3n a2n 3b8的和仍是一个单项式 则m与n的值分别是 A 1 2B 2 1C 1 1D 1 3 点评题目条件隐蔽性很强 须紧扣单项式的定义得出两式为同类项 依据同类项的意义解题 充分体现了 转化 的数学思想 A 练习 整式的运算及探究规律 10 计算x y 3 x y 的最后结果是 A 0B 2xC 2x 2yD 2x 4y D 11 如图 是三种化合物的结构及分子式 请按其规律 写出后一种化合物的分子式 C4H10 点评此题是一道化学中常见由分子结构图寻找规律题 通过仔细分析不难发现该分子只有两种元素 C 和 H 只是个数不同 只要抓住数字规律即可写出其分子式 练习 整式的运算及探究规律 12 观察下列各式 x 1 x 1 x2 1 x 1 x2 x 1 x3 1 x 1 x3 x2 x 1 x4 1 根据前面的规律 得 x 1 xn xn 1 x 1 其中n为正整数 xn 1 1 点评找规律题 特别是数与式的规律题 解题的关键是从特殊到一般 逐步分析抓住题目中的 不变 与 变 找规律 练习 因式分解 13 将a5 16a分解因式 结果为 a a2 4 a 2 a 2 点评分解因式时 如果有公因式 应先提公因式 然后考虑用乘法公式 最后看能否再分解因式 直到不能再分解为止 14 若点P a b 5 与点Q 1 3a b 关于原点对称 则关于x的二次三项式x2 2ax b 2可分解为 x 1 2 点评解此题关键是紧扣P Q关于原点对称 关于原点对称的点的横 纵坐标是互为相反数 所以 可以得出关于a b的二元一次方程组 求出a b的值从而求出结论 练习 分式 1 分式中的有关概念 1 分式 形如 A B是整式 且B中含有字母 的式子叫做分式 其中A叫做分式的分子 B叫做分式的分母 2 有理式 整式和分式统称为有理式 注意 分式有意义的条件 分母不能为0 分式 2 分式中的基本性质 1 分式的基本性质 分式的分子或分母都乘以 或除以 同一个不等于零的整式 分式的值不变 分式的基本性质主要用于分式的约分或通分 2 分式的符号法则 分式的分子 分母和分式本身的符号 改变其中任何两个 分式的值不变 三改二 分式 3 分式的运算 1 分式的乘 除法 两个分式相乘 把分子相乘的积作为分子 分母相乘的积作为分母 即 两个分式相除 把除式的分子 分母颠倒位置后 再与被除式相乘 类比分数除法理解为 除以一个数等于乘以这个数的倒数 即 2 分式的加 减法 同分母分式相加减 分母不变 只把分子相加减 即 异分母分式相加减 先通分变为同分母分式后再相加减 即 分式的乘方 把分式的分子 分母分别乘方 即 分式的混合运算 在分式的混合运算中 应先算乘方 再将分式的除法转化为乘法进行约分化简 最后进行加减运算 结果必须化为最简形式或整式 分式 3 分式的运算 分式的概念 点评分式的值为0 不能简单的理解为只是分子为0 而应该有两个条件 一是分母的值不能为0 二是分子的值为0 这两个条件缺一不可 分式的基本性质 A 扩大3倍B 不变C 缩小3倍D 缩小6倍 A X 1 练习 根式 1 根式的有关概念 1 平方根 如果一个数的平方等于正数a 那么这个数就叫做a的平方根 记作 一个正数有两个平方根 他们互为相反数 负数没有平方根 0的平方根是0 2 算术平方根 正数a的正平方根 叫做a的算术平方根 0的算术平方根是0 一个非负数a的算术平方根记作 3 立方根 如果一个数的立方等于a那么这个数是a的立方根 记作 正数有一个正的立方根 负数有一个负的立方根 0的立方根是0 一般地 求一个数的平方根有两种 1 根据乘方意义求平方根 2 用计算器求平方根 4 二次根式 式子叫做二次根式 5 最简二次根式 如果一个二次根式同时满足 被开方数的因数是整数 因式是整式 被开方数中不含开得尽方的因数或因式 这样的二次根式叫做最简二次根式 6 同类二次根式 几个二次根式化为最简二次根式后 如果它们的被开方数相同 则称这几个二次根式是同类二次根式 根式 1 根式的有关概念 根式 二次根式的性质 1 二次根式的非负性 2 二次根式的运算性质 二次根式的有关概念 点评求字母的取值范围是中考中常考内容之一 方法是综合考虑各种因素条件 取所有解集的公共部分 18 下列各式中属于最简二次根式的是 X 4 3 A 点评此题主要考查最简二次根式的概念 判断一个二次根式是不是最简二次根式必须按其定义中的两个条件 进行判定 本题A选项中虽然有二次项 但就整体而言 没有能开得尽方的因式 所以是最简二次根式 练习 二次根式的有关概念 5 点评解题紧扣同类二次根式的定义 不难得到关于a的一元一次方程 从而求得a的值 二次根式的性质 3 3或 3 3 9 C B 练习 二次根式的运算 1 二次根式的加减在二次根式的加减运算中 一般是先把二次根式化简为最简二次根式 再合并同类二次根式 如 2 二次根式的乘除二次根式的乘除法主要是反向运用二次根式的运算性质 在运算过程中能约分的应先约分 再相乘除 最后将结果化为最简二次根式或整式 如果分母中含有根号应化去根号 根式 二次根式的运算 21 下列计算正确的是 点评此题的关键点是能够将a转化为 进而可将式子类似分解因式进行变化 约分 达到简化计算的目的 D 练习 实数的运算 23 计算 实数性质的综合运用 24 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差 那么称这个正整数为 神秘数 如 4 22 02 12 42 22 20 62 42 因此 4 12 20都是 神秘数 1 28和2012这两个数是 神秘数 吗 为什么 2 设两个连续偶数为2k 2和2k 其中k取非负整数 由这两个连续偶数构造的 神秘数 是4的倍数吗 为什么 3 两个连续奇数的平方差 取正数 是 神秘数 吗 为什么 代数式的化简求值 25 化简 2x y 2x y x y 2 2 2x2 xy 点评整式的化简 实质上就是运用乘法公式计算或去括号 合并同类项 点评此题综合考查了整式的计算及代数式整体代入求值法 解答此题时 先由给定条件找到对应的一元二次方程 可以整体代入求代数式的值 分式的运算 27 已知实数A B满足 求A B的值 点评本题的解法中主要运用了裂项法 即将一个分式拆成几个分式的和 差的形式 这是一种常用的重要方法 分式的化简求值 29 先化简 再求值 点评此题属于双化简形式 即待求值式和所给字母的值都需化简 重点在待求值式的化简上 在解答时必须细致才能正确求出值 A a b cB a