高中数学第三单元导数及其应用3.3.1利用导数判断函数的单调性课件新人教B版选修1_1.ppt

第三章 3 3导数的应用 3 3 1利用导数判断函数的单调性 1 理解导数与函数单调性的关系 2 掌握利用导数判断函数单调性的方法 3 能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间 学习目标 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 知识点一函数的单调性与导函数正负的关系 思考1 观察下列各图 完成表格内容 正 递增 正 负 正 递增 递减 负 负 递减 负 负 递减 思考2 依据上述分析 可得出什么结论 答案 一般地 设函数y f x 在区间 a b 上 1 如果f x 0 则f x 在该区间上单调递增 2 如果f x 0 则f x 在该区间上单调递减 梳理 锐 钝 上升 递增 下降 递减 知识点二函数的变化快慢与导数的关系 思考 我们知道导数的符号反映函数y f x 的增减情况 怎样反映函数y f x 增减的快慢呢 能否从导数的角度解释变化的快慢呢 答案 如图所示 函数y f x 在区间 0 b 或 a 0 内导数的绝对值较大 图象 陡峭 在区间 b 或 a 内导数的绝对值较小 图象 平缓 梳理一般地 如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大 那么函数在这个范围内变化得快 这时 函数的图象就比较 陡峭 向上或向下 反之 函数的图象就比较 平缓 题型探究 类型一利用导数判断函数的单调性 证明 则cosx0 xcosx sinx 0 关于利用导数证明函数单调性的问题 1 首先考虑函数的定义域 所有函数性质的研究必须保证在定义域内这个前提下进行 2 f x 或 0 则f x 单调递增 或递减 但要特别注意 f x 单调递增 或递减 则f x 或 0 反思与感悟 证明 故f x 在区间 0 e 上是增函数 类型二利用导数求函数的单调区间 命题角度1不含参数的函数求单调区间例2求f x 3x2 2lnx的单调区间 解答 f x 3x2 2lnx的定义域为 0 反思与感悟 求函数y f x 的单调区间的步骤 1 确定函数y f x 的定义域 2 求导数y f x 3 解不等式f x 0 函数在定义域内的解集上为增函数 4 解不等式f x 0 函数在定义域内的解集上为减函数 解答 函数f x 的定义域为 2 2 因为x 2 2 所以ex 0 x 2 2 0 由f x 0 得x 3 所以函数f x 的单调递增区间为 3 由f x 0 得x 3 又函数f x 的定义域为 2 2 所以函数f x 的单调递减区间为 2 2 3 命题角度2含参数的函数求单调区间例3讨论函数f x x2 alnx a 0 的单调性 解答 函数f x 的定义域是 0 设g x 2x2 a 由g x 0 得2x2 a 当a 0时 f x 2x 0 函数f x 在区间 0 上单调递增 反思与感悟 1 在判断含有参数的函数的单调性时 不仅要考虑到参数的取值范围 而且要结合函数的定义域来确定f x 的符号 否则会产生错误 2 分类讨论是把数学问题划分为若干个局部问题 在每一个局部问题中 原先的不确定因素 就变成了确定性问题 当这些局部问题都解决了 整个问题就解决了 解答 2 求函数f x 的单调递增区间 解答 当a 1时 由f x 0 得x a或00 得x 1或00 得x 1 此时f x 的单调递增区间为 1 综上 当a 1时 f x 的单调递增区间为 a 0 1 当a 1时 f x 的单调递增区间为 0 当0 a 1时 f x 的单调递增区间为 1 0 a 当a 0时 f x 的单调递增区间为 1 类型三含参数函数的单调性 例4若函数f x kx lnx在区间 1 上单调递增 则k的取值范围是 1 答案 解析 引申探究试求函数f x kx lnx的单调区间 f x kx lnx的定义域为 0 当k 0时 函数的单调递减区间为 0 解答 反思与感悟 1 讨论含有参数的函数的单调性 通常归结为求含参数不等式的解集的问题 而对含有参数的不等式要针对具体情况进行讨论 但始终注意定义域对单调性的影响以及分类讨论的标准 2 利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路 将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题 即f x 0 或f x 0 恒成立 利用分离参数或函数性质求解参数范围 然后检验参数取 时是否满足题意 先令f x 0 或f x 0 求出参数的取值范围后 再验证参数取 时f x 是否满足题意 3 恒成立问题的重要思路 m f x 恒成立 m f x max m f x 恒成立 m f x min 解答 要使f x 在 2 上单调递增 则f x 0在x 2 时恒成立 x2 0 2x3 a 0 a 2x3在x 2 上恒成立 a 2x3 min 设y 2x3 y 2x3在 2 上单调递增 2x3 min 16 a 16 当堂训练 1 2 3 4 5 答案 解析 1 2 3 4 5 2 设函数f x 在定义域内可导 y f x 的图象如图所示 则导函数f x 的图象可能是 答案 解析 1 2 3 4 5 原函数的单调性是当x0时 f x 的单调性变化依次为增 减 增 故当x0 当x 0时 f x 的符号变化依次为 故选C 1 2 3 4 5 答案 解析 1 2 3 4 5 答案 解析 函数f x x3 2x2 mx 1在 内单调递增 f x 3x2 4x m 0在R上恒成立 1 2 3 4 5 f x ex x k ex x k 1 ex 当xk 1时 f x 0 f x 的单调递减区间为 k 1 单调递增区间为 k 1 5 求函数f x x k ex的单调区间 解答 规律与方法 1 导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性 导数绝对值的大小反映了函数在