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2 1 1指数与指数幂的运算 根式我们知道 如果 a 那么x叫做a的平方根 例如 2就是4的平方根 如果 a 那么x叫做a的立方根 例如 2就是8的立方根 类似地 由于 我们就把叫做16的4次方根 由于 2就叫做32的5次方根 思考 推广到一般情形 a的n次方根是一个什么概念 试给出其定义 一般地 如果 a 那么x叫a的n次方根 其中n 1且n N 思考 一般地 当n为奇数时 实数a的n次方根存在吗 有几个 当n为奇数时 跟立方根一样 有下列性质 正数的n次方根是正数 负数的n次方根是负数 任何一个数的方根都是唯一的 此时 a的n次方根可表示为例如 当n为偶数呢 仿照n为奇数 当n为偶数时 跟平方根一样 有下列性质 正数的n次方根有两个且互为相反数 负数没有n次方根 此时正数a的n次方根可表示为 例如 注意 负数没有偶次方根 0的任何次方根都是0 记作 式子叫根式 n叫根指数 a叫被开方数 根据n次方根的意义 可得例如 思考 若对一个数先乘方 再开方 同次 即 结果又是什么 例5 求值 1 整数指数幂的概念 2 运算性质 分数指数幂其中 a 0 当根式的被开方数的指数能被根指数数整除时 根式可以写成分数作为指数的形式 分数指数幂形式 当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时 根式是否可以写成分数指数幂的形式呢 例如能否把 规定正数的分数指数幂的意义为 分数指数幂意义 正数的负分数指数幂的意义与负整数幂的意义相仿 规定 0的正分数指数幂等于0 0的负分数指数幂无意义 说明 规定好分数指数幂后 根式与分数指数幂是可以互换的 分数指数幂只是根式的一种新的写法 由于整数指数幂 分数指数幂都有意义 因此 有理数指数幂是有意义的 整数指数幂的运算性质 可以推广到有理数指数幂 即 整数指数幂运算性质 例题 例1求值 解 例题 例2用分数指数幂的形式表示下列各式 其中a 0 分析 先把根式化为分数指数幂 再由运算性质来运算 解 例题 例3计算下列各式 式中字母都是正数 例4计算下列各式 无理数指数幂 观察上面两个图表 是一个确定的数吗 有理指数幂的运算性质适应于无理数指数幂吗 一般地 无理数指数幂是一个确定的实数 有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂 小结 1 指数幂的运算性质适应于实
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