学案3平面向量的数量积.ppt

学案3平面向量的数量积 考点一 考点二 考点三 考点四 返回目录 1 平面向量的数量积已知两个非零向量a和b 则叫做a与b的数量积 或内积 记作 规定 零向量与任一向量的数量积为 两个非零向量a与b垂直的充要条件是 两个非零向量a与b平行的充要条件是 a b cos a b a b cos 0 a b 0 a b a b 返回目录 2 平面向量数量积的几何意义数量积a b等于a的长度 a 与b在a的方向上的投影的乘积 3 平面向量数量积的重要性质 1 e a a e 2 非零向量a b a b 3 当a与b同向时 a b 当a与b反向时 a b a a a b cos a cos a b 0 a b a b a2 返回目录 4 cos 5 a b a b 4 平面向量数量积满足的运算律 1 a b 交换律 2 a b 为实数 3 a b c b a a b a b a c b c 5 平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a x1 y1 b x2 y2 则a b 由此得到 若a x y 则 a 2 或 a 2 设A x1 y1 B x2 y2 则A B两点间的距离 AB AB 3 设a x1 y1 b x2 y2 则a b 返回目录 x1x2 y1y2 0 x1x2 y1y2 x2 y2 返回目录 已知向量a cosx sinx b cos sin 且x 1 求a b及 a b 2 若f x a b a b 求f x 的最大值和最小值 考点一数量积的计算 返回目录 解析 1 a b cosxcos sinxsin cos2x a b cosx cos sinx sin x cosx 0 a b 2 cosx 分析 利用数量积的坐标运算及性质即可求解 在求 a b 时注意x的取值范围 2 由 1 可得f x cos2x 2cosx 2cos2x 2cosx 1 2 cosx 2 x cosx 1 当cosx 时 f x 取得最小值为 当cosx 1时 f x 取得最大值为 1 返回目录 返回目录 评析 1 与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其应用是高考热点题型 解答此类问题 除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公式 向量模 夹角的坐标运算公式外 还应掌握三角恒等变换的相关知识 2 求平面向量数量积的步骤 首先求a与b的夹角为 0 180 再分别求 a b 然后再求数量积即a b a b cos 若知道向量的坐标a x1 y1 b x2 y2 则a b x1x2 y1y2 对应演练 已知 a 3 b 4 且a与b的夹角为 150 求a b a b 2 a b a b a b cos 6 a b 2 a 2 b 2 2a b 25 12 a b 返回目录 返回目录 设向量a b c满足a b c 0 a b c a b 若 a 1 则 a 2 b 2 c 2的值是 分析 由垂直的充要条件 寻找 a b c 之间的关系 考点二利用向量解决垂直问题 解析 a b b a c a b a a c a 2 a c 0 a c a 2 1 又 a b c a b c 0 a c b c 1 a b c a 2 b 2 c 2 2b c b 2 c 2 a 2 2b c 3 a 2 b 2 c 2 4 返回目录 评析 垂直问题是一个重要的知识点 在高考题中常常出现 常与向量的模 向量的坐标表示等联系在一起 要特别注意垂直与平行的区别 若a a1 a2 b b1 b2 则a b a1a2 b1b2 0 a b a1b2 a2b1 0 返回目录 对应演练 已知a cos sin b cos sin 0 1 求证 a b与a b互相垂直 2 若ka b与a kb的模相等 求 其中k为非零实数 1 证明 a b a b a2 b2 a 2 b 2 cos2 sin2 cos2 sin2 0 a b与a b互相垂直 2 ka b kcos cos ksin sin a kb cos kcos sin ksin ka b a kb ka b a kb 2kcos 2kcos 又k 0 cos 0 而0 返回目录 返回目录 设两个向量e1 e2满足 e1 2 e2 1 e1与e2的夹角为 若向量2te1 7e2与e1 te2的夹角为钝角 求实数t的范围 分析 由公式cos 可得 若为钝角 则cos 0 即a b 0 从而可求出 的取值范围 同时要注意共线反向 即 这一情况 考点三利用向量解决夹角问题 返回目录 解析 由向量2te1 7e2与e1 te2的夹角为钝角 得即 2te1 7e2 e1 te2 0 化简即得2t2 15t 7 0 解得 7 t 当夹角为 时 也有 2te1 7e2 e1 te2 0 但此时夹角不是钝角 2te1 7e2与e1 te2反向 设2te1 7e2 e1 te2 0 2t 7 t 0 所求实数t的范围是 7 可求得 返回目录 评析 1 本题中 当 2te1 7e2 e1 te2 0时 也包括了向量2te1 7e2与e1 te2夹角为 即方向相反的情况 应排除这种情况 2 公式cos 可求a b的夹角及夹角取值的范围 应用时 要注意y cosx在x 0 上的单调性 返回目录 返回目录 对应演练 已知 a b 1 a与b的夹角为45 求使向量 2a b 与 a 3b 的夹角是锐角的 的取值范围 由 a b 1 a与b的夹角为45 得a b a b cos45 1 1 2a b a 3b 2 a2 6a b 2a b 3 b2 2 6 设向量 2a b 与 a 3b 的夹角为 则且cos 1 返回目录 由 2a b a 3b 0得 2 6 0 2或 0 2 k 3k 故使向量2a b和 a 3b夹角为0的 不存在 当 2或 3时 向量 2a b 与 a 3b 的夹角是锐角 解得k2 返回目录 已知向量m cos sin 和n sin cos 2 且 m n 求cos 的值 分析 从向量的模入手 求出 满足的条件 考点四以向量为载体的综合问题 解析 解法一 由题意知m n cos sin cos sin m n 由已知 m n 得cos 又 cos 2cos2 1 cos2 2 cos 0 cos 返回目录 返回目录 解法二 m n 2 m n 2 m2 2m n n2 m 2 n 2 2m n 2 cos sin sin cos 4 2 cos sin 4 1 cos 8cos2 由已知 m n 得cos 2 cos 0 cos 返回目录 评析 本题主要以向量作为载体 实质上是考查三角中的求值问题 注意倍角公式的运用 对应演练 设 ABC的三个内角A B C所对的边长分别为a b 1 已知向量u a cosB sinB v b cosA sinA 1 如果u v 指出 ABC的形状 并说明理由 2 求 u v 返回目录 1 由u v知u v 0 即 a cosB sinB b cosA sinA 0 cosBcosA sinBsinA 0 cos A B 0 又 0 A B 则A B 因此 ABC为直角三角形 返回目录 返回目录 2 由u a cosB sinB v b cosA sinA 知 u a v b cos cos A B cosC u v 2 u2 v2 2u v u2 v2 2 u v cos u2 v2 2 u v cosC a2 b2 2abcosC 1 u v 1 返回目录 1 数量积a b中间的符号 不能省略 也不能用 来替代 2 要熟练类似 a b sa tb sa2 t s a b tb2的运算律 s t R 3 求向量模的常用方法 利用公式 a 2 a2 将模的运算转化为向量的数量积的运算 4 一般地 a b c b c a即乘法的结合律不成立 因为a b是一个数量 所以 a b c表示一个与c共线的向量 同理右边 b c a表示一个与a共线的向量 而a与c不一定共线 故一般情况下 a b c b c a 5 零向量 1 0与实数0的区别 不可写错 0a