圆锥曲线专题第四节圆锥曲线中角度与斜率问题1配套题答案.pdf

1 一 选择题 共 一 选择题 共 7 小题 小题 1 已知椭圆 C 1 a b 0 的离心率为 四个顶点构成的四 边形的面积为 12 直线 l 与椭圆 C 交于 A B 两点 且线段 AB 的中点为 M 2 1 则直线 l 的斜率为 A B C D 1 分析 由椭圆 C 1 a b 0 的离心率为 四个顶点构成 的四边形的面积为 12 列出方程组求出 a 2 b 从而得到椭圆方程 为 再由直线 l 与椭圆 C 交于 A B 两点 且线段 AB 的中点为 M 2 1 利用点差法能求出直线 l 的斜率 解答 解 椭圆 C 1 a b 0 的离心率为 四个顶点 构成的四边形的面积为 12 解得 a 2 b 椭圆方程为 直线 l 与椭圆 C 交于 A B 两点 且线段 AB 的中点为 M 2 1 设 A x1 y1 B x2 y2 则 x1 x2 4 y1 y2 2 又 两式相减 得 x1 x2 x1 x2 y1 y2 y1 y2 0 x1 x2 y1 y2 0 直线 l 的斜率 k 故选 C 2 点评 本题考查直线的斜率的求法 是中档题 解题时要认真审题 注 意椭圆性质 点差法的合理运用 2 过椭圆 y2 1 的左焦点 F 作斜率为 k k 0 的直线交椭圆于 A B 两 点 使得 AB 的中点 M 在直线 x 2y 0 上 则 k 的值为 A 1 B 2 C 1 D 2 分析 由椭圆方程 a b c 直线 AB 方程为 y k x 1 代入椭圆方程 消去 y 得到关于 x 的一元二次方程 再结合根系数的关系利用中点坐标公式 即可求得 k 值 从而解决问题 解答 解 由椭圆方程 a b 1 c 1 则点 F 为 1 0 直线 AB 方程为 y k x 1 代入椭圆方程 得 2k2 1 x2 4k2x 2k22 0 设 A x1 y1 B x2 y2 M x0 y0 则 x0 y0 k x0 1 由点 M 在直线 x 2y 0 上 知 2k2 2k 0 k 0 k 1 故选 A 点评 本小题主要考查椭圆的简单性质 直线与椭圆方程的综合应用 考查运算求解能力 考查方程思想 属于中档题 3 若点 x y 在椭圆 4x2 y2 4 上 则的最小值为 A 1B 1C D 以上都不对 分析 先利用数形结合结合的方法把理解为是椭圆上的点与定点 2 0 连线的斜率 显然直线与椭圆相切时取得最值 设直线方程与抛 物线方程联立 根据判别式等于 0 求得 k 解答 解 的几何意义是椭圆上的点与定点 2 0 连线的斜率 显然直线与椭圆相切时取得最值 3 设直线 y k x 2 代入椭圆方程 4 k2 x2 4k2x 4k2 4 0 令 0 k kmin 故选 C 点评 本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题 解题的关键是利用 的几何意义 利用数形结合的方法来解决 4 若椭圆 mx2 ny2 1 与直线 x y 1 0 交于 A B 两点 过原点与线段 AB 中 点的直线的斜率为 则 A B C D 分析 由直线 x y 1 0 可得 y x 1 代入 mx2 ny2 1 得 m n x2 2nx n 1 0 利用韦达定理 确定 M 的坐标 再利用过原点与线 段 AB 中点的直线的斜率为 即可得到结论 解答 解 由直线 x y 1 0 可得 y x 1 代入 mx2 ny2 1 得 m n x2 2nx n 1 0 设 A B 的坐标为 x1 y1 x2 y2 则有 x1 x2 y1 y2 1 x1 1 x2 2 x1 x2 M 的坐标为 0M 的斜率 k 故选 B 点评 本题考查直线与椭圆的位置关系 考查韦达定理的运用 解题的 关键是直线与椭圆方程的联立 5 过点 A 2 3 作直线与抛物线 y2 8x 在第一象限相切于点 B 记抛物 线的焦点为 F 则直线 BF 的斜率为 A B C D 分析 求出第一象限的抛物线方程 设出切点 并求导 得到切线 AB 的 斜率 再由两点的斜率公式得到方程 解出方程求出切点 再由两点的斜 4 率公式求出 BF 的斜率 解答 解 抛物线 C y2 8x 在第一象限的方程为 y 2 设切点 B m n 则 n 2 m 又导数 y 2 则在切点处的斜率为 即m 2 2m 3 解得 2 舍去 切点 B 8 8 又 F 2 0 直线 BF 的斜率为 故选 D 点评 本题主要考查抛物线的方程和性质 同时考查直线与抛物线相切 运用导数求切线的斜率等 是一道中档题 6 如图 内外两个椭圆的离心率相同 从外层椭圆顶点向内层椭圆引切线 AC BD 设内层椭圆方程为 1 a b 0 若直线 AC 与 BD 的斜率 之积为 则椭圆的离心率为 A B C D 分析 法一 设出切线 AC 和 BD 的方程 与椭圆方程联立消去 y 根据判 别式等于 0 求得 k1和 k2的表达式 根据 AC 与 BD 的斜率之积求得 a 和 b 的 关系 进而求得 a 和 c 的关系 椭圆的离心率可得 法二 AC 的方程为 1 直线 BD 的方程为 kAC kAB 从而 设 由此能求出 e 解答 解法一 设切线 AC 的方程为 y k1 x ma 5 则 消去 y 得 b2 a2k12 x2 2ma3k12x m2a4k12 a2b2 0 由 0 得 k12 同理 k22 m2 1 k12 k22 直线 AC 与 BD 的斜率之积为 a 2b c e 故选 C 解法二 椭圆在其上一点 P x0 y0 处的切点方程为 设 C x1 y1 D x2 y2 由于内外两个椭圆的离心率相同 则可设外层椭圆的方程为 m 1 则 A ma 0 B 0 mb 内层椭圆在点 C 处的切线方程为 1 而 AC 的方程为 1 其斜率为 直线 BD 的方程为 其斜率为 本卷由系统自动生成 请仔细校对后使用 答案仅供参考 6 直线 AC 过点 A ma 0 则有 m 直线 BD 过点 B 0 mb 则有 m 设 不妨设点 C 为第一象限内的点 则点 D 为第二象限内的点 则 为锐角 为钝角 则 cos sin cos 则 为锐角 cos cos sin 由 式得 a2 4b2 c e 故选 C 点评 本题主要考查了椭圆的简单性质和直线与椭圆的位置关系 考查 了学生综合分析问题和解决问题的能力 解题过程要注意运算的正确性 7 已知圆 P x2 y2 4y 及抛物线 S x2 8y 过圆心 P 作直线 l 此直线与上 述两曲线的四个交点 自左向右顺次记为 A B C D 如果线段 AB BC CD 的长按此顺序构成一个等差数列 则直线 l 的斜率为 A B C D 分析 先确定圆 P 的标准方程 求出圆心与直径长 设出 l 的方程 代入 7 抛物线方程 求出 AD 利用线段 AB BC CD 的长按此顺序构成一个等 差数列 可得 AD 3 BC 求出 k 的值 可得直线 l 的斜率的值 解答 解 圆 P 的方程为 x2 y2 2 4 则其直径长 BC 4 圆心为 P 0 2 AB BC CD 的长按此顺序构成一个等差数列 AB CD 2 BC 8 即 AD AB BC CD 3 BC 12 设直线 l 的方程为 y kx 2 代入抛物线方程 x2 8y 得 x28kx16 0 设 A x1 y1 D x2 y2 有 AD 8 k2 1 8 k2 1 12 即 k2 解得 k 直线 l 的斜率为 故选 A 点评 本题考查直线与圆 抛物线的位置关系 考查等差数列 考查学 生的计算能力 确定 AD 是关键 综合性较强 运算量较大 二 解答题 共二 解答题 共 3 小题 小题 8 8 设椭圆 1 a b 0 的左焦点为 F 上顶点为 B 已知椭圆的离 心率为 点 A 的坐标为 b 0 且 FB AB 6 求椭圆的方程 设直线 l y kx k 0 与椭圆在第一象限的交点为 P 且 l 与直线 AB 交于点 Q 若 sin AOQ O 为原点 求 k 的值 分析 设椭圆的焦距为 2c 根据椭圆的几何性质与已知条件 求出 a b 的值 再写出椭圆的方程 设出点 P Q 的坐标 由题意利用方程思想 求得直线 AB 的方程以及 k 的值 解答 解 设椭圆 1 a b 0 的焦距为 2c 由椭圆的离心率为 e 又 a2 b2 c2 2a 3b 由 FB a AB b 且 FB AB 6 可得 ab 6 从而解得 a 3 b 2 椭圆的方程为 1 设点 P 的坐标为 x1 y1 点 Q 的坐标为 x2 y2 由已知 y1 y2 0 PQ sin AOQ y1 y2 又 AQ 且 OAB AQ y2 由 sin AOQ 可得 5y1 9y2 9 由方程组 消去 x 可得 y1 直线 AB 的方程为 x y 2 0 由方程组 消去 x 可得 y2 由 5y1 9y2 可得 5 k 1 3 两边平方 整理得 56k2 50k 11 0 解得 k 或 k k 的值为或 点评 本题主要考查了椭圆的标准方程与几何性质 直线方程等知识的 应用问题 也考查了利用代数方法求研究圆锥曲线的性质应用问题 考查 了运算求解能力与运用方程思想解决问题的能力 9 如图 焦点在 x 轴上的椭圆 C1与焦点在 y 轴上的椭圆 C2都过点 M 0 1 中心都在坐标原点 且椭圆 C1与 C2的离心率均为 求椭圆 C1与椭圆 C2的标准方程 过点 M 的互相垂直的两直线分别与 C1 C2交于点 A B 点 A B 不 同于点 M 当 MAB 的面积取最大值时 求两直线 MA MB 斜率的比值 分析 利用椭圆的离心率以及椭圆经过的点 转化求解 a b 得到 椭圆 C1与椭圆 C2的标准方程 设直线 MA MB 的斜率分别为 k1 k2 MA y k1x 1 与椭圆方程联 立 求出 A B 得到向量 求出三角形的面积 利用函数的导数 求解即可 10 解答 本题满分 15 分 解 依题意得对 C1 b 1 解得 a 2 得 C1 同理 C2 6 分 设直线 MA MB 的斜率分别为 k1 k2 则 MA y k1x 1 与椭圆方程联立得 得 得 所以 同理可得 所以 从而可以求得 因为 k1k2 1 所以 不妨设 f k 0 所以当 S 最大时 此时两直线 MA MB 斜率的比值 12 分 点评 本题考查椭圆的简单性质的应用 直线与椭圆的位置关系的应用 11 考查转化思想以及计算能力 10 已知椭圆 C1 a 1 的离心率 左 右焦点分别为 F1 F2 直线 l1过点 F1且垂直于椭圆的长轴 动直线 l2垂直 l1于点 P 线段 PF2的垂直平分线交 l2于点 M 1 求点 M 的轨迹 C2的方程 2 当直线 AB 与椭圆 C1相切 交 C2于点 A B 当 AOB 90 时 求 AB 的直线方程 分析 1 利用椭圆离心率转化判断 M 的轨迹是以 l2为准线 F2为焦点 的抛物线 求解即可 2 显然当 AB 斜率不存在时 不符合条件 当 AB 斜率存在时 设 AB y kx m 联立直线与椭圆方程 设 A x1 y1 B x2 y2 通过韦达 定理结合 OA OB 转化求解即可 解答 解 1 由 得 c 1 故 F1 1 0 F2 1 0 依条件可知 MP MF2 M 的轨迹是以 l2为准线 F2为焦点的抛物线 C2的方程为 y2 4x 2 显然当 AB 斜率不存在时 不符合条