MPA联考数学-定积分.ppt

1 第五章定积分 定积分和不定积分是积分学的两个 一种认识问题 分析问题 解决问题的 definiteintegral 不定积分侧重于基本积分法的训练 而定积分则完整地体现了积分思想 主要组成部分 思想方法 2 第五章定积分 基本要求 理解定积分的定义和性质 微积分基本定理 了解反常积分的概念 掌握用定积分表达一些几何量与物理量 如面积 体积 弧长 功 引力等 的方法 3 第一节定积分的概念与性质 定积分问题举例 定积分的定义 关于函数的可积性 定积分的几何意义和物理意义 小结思考题作业 定积分 定积分的性质 definiteintegral 4 1 曲边梯形的面积 定积分概念也是由大量的实际问题抽象出 求由连续曲线 一 定积分问题举例 来的 现举两例 5 用矩形面积 梯形面积 五个小矩形 十个小矩形 思想 显然 小矩形越多 矩形总面积越接近曲边 近似取代曲边梯形面积 6 采取下列四个步骤来求面积A 1 分割 2 取近似 长度为 为高的小矩形 面积近似代替 7 3 求和 这些小矩形面积之和可作为曲边梯形 面积A的近似值 4 求极限 为了得到A的精确值 取极限 形的面积 分割无限加细 极限值就是曲边梯 8 2 求变速直线运动的路程 思想 以不变代变 设某物体作直线运动 已知速度 是时间间隔 的一个连续函数 求物体在这段时间内所经过的路程 思路 把整段时间分割成若干小段 每小段上 速度看作不变 求出各小段的路程再相加 便 得到路程的近似值 最后通过对时间的无限 细分过程求得路程的精确值 9 1 分割 3 求和 4 取极限 路程的精确值 2 取近似 表示在时间区间 内走过的路程 某时刻的速度 10 二 定积分的定义 设函数f x 在 a b 上有界 在 a b 中任意插入 定义 若干个分点 把区间 a b 分成n个小区间 各小区间长度依次为 在各小区间上任取 一点 作乘积 并作和 记 如果不论对 1 2 3 4 11 被积函数 被积表达式 记为 积分和 怎样的分法 也不论在小区间 上点 怎样的取法 只要当 和S总趋于确定的 极限I 称这个极限I为函数f x 在区间 a b 上的 定积分 积分下限 积分上限 积分变量 a b 积分区间 12 2 的结构和上 下限 今后将经常利用定积分与变量记号无关性进行推理 定积分是一个数 定积分数值只依赖于被积函数 有关 无关 而与积分变量的记号无关 13 曲边梯形的面积 曲边梯形的面积的负值 1 几何意义 三 定积分的几何意义和物理意义 14 几何意义 各部分面积的代数和 取负号 它是介于x轴 函数f x 的图形及两条 直线x a x b之间的 在x轴上方的面积取正号 在x轴下方的面积 15 例 解 2 物理意义 t b所经过的路程s 作直线运动的物体从时刻t a到时刻 定积分 表示以变速 16 定理1 定理2 或 记为 黎曼德国数学家 1826 1866 四 关于函数的可积性 可积 且只有有限个间 可积 当函数 的定积分存在时 可积 黎曼可积 断点 充分条件 17 解 例用定义计算由抛物线 和x轴所围成的曲边梯形面积 直线 小区间 的长度 取 18 对于任一确定的自然数 积分和 当n取不同值时 近似值精度不同 n取得越大 近似程度越好 19 讨论定积分的近似计算问题 存在 n等分 用分点 分成n个长度相等的小区间 长度 取 有 每个小区间 对任一确定的自然数 20 取 如取 矩形法 公式 矩形法的几何意义 21 对定积分的补充规定 说明 五 定积分的性质 在下面的性质中 假定定积分都存在 且不考虑积分上下限的大小 22 证 此性质可以推广到有限多个函数作和的情况 性质1 23 证 性质2 性质1和性质2称为 线性性质 24 补充 例 定积分对于积分区间具有可加性 则 性质3 假设 的相对位置如何 上式总成立 不论 25 证 性质4 性质5 如果在区间 则 26 解 令 于是 比较积分值 和 的大小 例 27 性质5的推论1 证 如果在区间 则 于是 性质5 如果在区间 则 28 证 说明 性质5的推论2 性质5 如果在区间 则 可积性是显然的 由推论1 29 证 此性质可用于估计积分值的大致范围 性质6 分别是函数 最大值及最小值 则 30 解 估计积分 例 31 解 估计积分 例 32 证 由闭区间上连续函数的介值定理 性质7 定积分中值定理 如果函数 在闭区间 连续 则在积分区间 至少存在一点 使下式成立 积分中值公式 至少存在一点 使 即 33 定理用途 无论从几何上 还是从物理上 都容易理解 平均值公式 求连续变量的平均值要用到 如何去掉积分号来表示积分值 34 解 例 定积分几何意义 求电动势 在一个周期上的 平均值 35 积分中值公式的几何解释 至少存在一点 在区间 使得以区间 为底边 以曲线 为曲边的曲边梯形的 面积 等于同一底边而高为 的一个矩形的面积 36 例 证 由积分中值定理有 a为常数 37 3 定积分的性质 注意估值性质 积分中值定理的应用 4 典型问题 1 估计积分值 2 不计算定积分比较积分大小 六 小结 1 定积分的实质 特殊和式的极限 2 定积分的思想和方法 以直代曲 以匀代变 四步曲 分割 取近似 求和 取极限 思想 方法 38 思考题1 证 夹逼定理 即得 39 思考题2 解 由定积分几何意义可知 用定积分的几何意义计算 并求 所围成图形的 面积 如图 图形 40 41 第三节定积分的换元法和分部积分法 定积分的换元法 小结思考题作业 定积分的分部积分法 definiteintegralbyparts definiteintegralbysubstitution 第五章定积分 42 上一节的牛 莱公式将定积分的计算 的形式 而不定积分可用换元法 和分部积分法求积 这样定积分的计算问题 已经比较完满地解决了 归结为求不定积分 如果将换元法和分部积分法写成定积分 常可使得计算更简单 43 定理1 则有 定积分换元公式 假设函数 一 定积分的换元法 函数 满足条件 1 2 具有连续导数 且其值域 definiteintegralbysubstitution 44 证 故有 则 由于 N L公式 N L公式 则 所以存在原函数 原函数 45 由于积分限做了相应的 故积出来的原函数不必回代 求定积分的方法有两种方法 可用N L公式 从换元的观点 1 换元公式仍成立 2 在定积分换元公式中 改变 3 46 例 解 在用 凑 微分的方法时 不明显地写出 下限就不要变 定积分的上 新的变量t 47 或 例 解 原式 这是半径为a的四分之一的圆的面积 48 例 解 原式 49 解 令 原式 练习 50 几个关于奇 偶函数及周期函数的定积分的例子 换元积分 例 证 由于 由被积函数的变化和积分区间变化来确定变换 通常 作变换 还可以证明一些定积分等式 51 利用这一结果计算 则 52 可得 由定积分的几何意义 面积的代数和 也可得 奇 偶函数在对称区间上的定积分性质 且有 则 则 53 例 54 证 1 三角函数的定积分公式 例 由此计算 设 证毕 55 设 证 由此计算 56 说明 尽管 但由于它没有 初等原函数 故此积分无法直接用N L公式求得 57 周期函数的定积分公式 这个公式就是说 周期函数在任何长为一周期的 区间上的定积分都相等 留给同学证 58 例 解 法一 59 法二 即 60 练习 解 被积函数中除积分变量t外还含有变量x 故不能直接应用对积分上限函数的导数的公式 应先作换元变换 则 分析 61 练习 选择题 设函数 连续 则下列函数中 必为偶函数的是 分析 2002年考研数学选择3分 62 定积分的分部积分公式 二 定积分的分部积分法 设 有连续的导数 则 definiteintegralbyparts 定理2 由不定积分的分部积分法 及N L公式 63 例 解 原式 64 例 解 1990年考研数学计算5分 原式 65 例 解 无法直接求出 所以 因为 没有初等原函数 分析 被积函数中含有 积分上限的函数 用分部积分法做 选择积分上限的函数为 66 今后也可将原积分化为二重积分计算 67 例证明定积分公式 证 设 n为正偶数 n为大于1的正奇数 J Wallis公式 68 积分关于下标的递推公式 直到下标减到0或1为止 因为 69 所以 当n为正偶数时 当n为大于1的正奇数时 70 例 上公式在计算其它积分时可以直接引用 71 例 解 用公式 n为正偶数 72 练习 解 用