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等比数列的前n项和 北师大版高中数学必修5第一章 数列 法门高中姚连省制作 一 教学目标 1 知识与技能 了解现实生活中存在着大量的等比数列求和的计算问题 探索并掌握等比数列前n项和公式 用方程的思想认识等比数列前n项和公式 利用公式知三求一 体会公式推导过程中的分类讨论和转化化归的思想 2 过程与方法 采用观察 思考 类比 归纳 探究得出结论的方法进行教学 发挥学生的主体作用 作好探究性活动 3 情感态度与价值观 通过生活中有趣的实例 鼓励学生积极思考 激发学生对知识的探究精神和严肃认真的科学态度 培养学生的类比 归纳的能力 在探究活动中学会思考 学会解决问题的方法 通过对有关实际问题的解决 体现数学与实际生活的密切联系 激发学生学习的兴趣 二 教学重点1 等比数列前n项和公式的推导 2 等比数列前n项和公式的应用 教学难点 等比数列前n项和公式的推导 三 教学方法 探究归纳 讲练结合四 教学过程 古印度国王舍罕王打算奖赏国际象棋的发明人 宰相西萨 班 达依尔 国王问他想要什么 发明者说 请在第一个格子里放上1粒麦子 在第二个格子里放上2粒麦子 在第三个格子里放上4粒麦子 在第四个格子里放上8粒麦子 依此类推 每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍 直到第64个格子 请给我足够的粮食来实现上述要求 国王觉得太容易了 就同意了他的要求 当人们把一袋一袋的麦子搬来开始计数时 国王才发现 就是把全印度甚至全世界的麦粒全拿来 也满足不了那位宰相的要求 那么 宰相要求得到的麦粒到底有多少呢 第第第第第一二三四 64格格格格格 18446744073709551615 粒 人们估计 全世界两千年也难以生产这么多麦子 假定千粒麦子的质量为10g 那么麦粒的总质量超过了7000亿吨 等比数列前n项和公式的推导 1 2 4 3 复习导入等比数列及前n项和an 1 an qan a1qn 1Sn a1 a2 anSn 1 a1 a2 an 1 n 1 an Sn Sn 1 n 1 这些你都记得吗 一 用等比定理推导 当q 1时Sn na1 因为 所以 Sn a1 a2 a3 an 1 an a1 a1q a1q2 a1qn 2 a1qn 1 a1 q a1 a1q a1qn 3 a1qn 2 a1 qSn 1 a1 q Sn an Sn a1 a1q a1q2 a1qn 2 a1qn 1 qSn a1q a1q2 a1qn 1 a1qn 两式相减有 1 q Sn a1 a1qn Sn a1 a1q a1q2 a1qn 2 a1qn 1 a1 1 q q2 qn 2 qn 1 2 求数列1 x x2 x3 xn 的前n项和 1 等比数列1 2 4 8 从第5项到第10项的和为 或 3 求和 例3 某制糖厂第1年制糖5万吨 如果平均每年的产量比上一年增加10 那么从第1年起 约几年内可使总产量达到30万吨 保留到个位 分析 第1年产量为5 第2年产量为 5 1 10 5 1 1 第3年产量为 5 1 10 1 10 5 1 12 则n年内的总产量为 解 由题意 从第1年起 每年的产量组成一个等比数列 其中 即 两边取对数 得 印度还有一古老传说 在世界中心贝拿勒斯 在印度北部 的圣庙里 一块黄铜板上插着三根宝石针 印度教的主神梵天在创造世界的时候 在其中一根针上从下到上地穿好了由大到小的64片金片 这就是所谓梵塔 不论白天黑夜 总有一个僧侣在按照下面的法则移动这些金片 一次只移动一片 不管在哪根针上 小片必须在大片上面 当所有的金片都从梵天穿好的那根针上移到另外一根针上时 世界就将在一声霹雳中消灭 梵塔 庙宇和众生都将同归于尽 不管这个传说是否可信 如果考虑一下把64片金片 由一根针上移到另一根针上 并且始终保持上小下大的顺序 一共需要移动多少次 那么 不难发现 不管把哪一片移到另一根针上 移动的次数都要比移动上面一片增加一倍 这样 移动第1片只需1次 第2片则需2次 第3片需4次 第64片需2的63次方次 全部次数为 18446744073709551615次这和 麦粒问题 的计算结果是完全相同的 假如每秒钟移动一次 共需要多长时间呢 一年大约有31556926秒 计算表明 移完这些金片需要5800多亿年 用数学的观点看问题 一些所谓不可理解的事就可以给出合理的解释 从而帮助我们用科学的态度认识世界 练习 教材练习第1 2 3题 课堂小结 本节学习了如下内容 1 等比数列前n项和公式的推导 特别是在推导过程中 学到了 错位相减法 2 等比数列前n项和公式的应用 因为公式涉及到等比数列的基本量中的4个量 一般需要知道其中的3个 才能求出另外一个量 另外应该注意的是