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第三节用矩阵分解法求解线性方程组 七 三对角方程组的解法 lupdsv m 功能 调用列主元三角分解函数 LU p lupd A 求解线性方程组Ax b 解法 PA LU Ax b PAx Pb LUx Pb y Ux Ly f Pb f i b p i 输入 方阵A 右端项b 行或列向量均可 输出 解x 行向量 functionx lupdsv A b n length b LU p lupd A y 1 b p 1 fori 2 ny i b p i LU i 1 i 1 y 1 i 1 endx n y n LU n n fori n 1 1 1x i y i LU i i 1 n x i 1 n LU i i end lupqdsv m 功能 调用全主元三角分解函数 LU p q lupqd A 求解线性方程组Ax b 解法 PAQ 1 LU Ax b PAQ 1 Qx Pb LU Qx Pb z Qx y Uz Ly f Pb f i b p i Uz y z Qx x q i z i 输入 方阵A 右端项b 行或列向量均可 输出 解x 行向量 functionx lupqdsv A b n length b LU p q lupqd A y 1 b p 1 fori 2 ny i b p i LU i 1 i 1 y 1 i 1 endz n y n LU n n x q n z n fori n 1 1 1z i y i LU i i 1 n z i 1 n LU i i x q i z i end 定义1若n阶矩阵A aij 的元素满足 对于1 p q n的正整数p q 有j i p及i j q时 aij 0 则A称为带状矩阵 带宽为w p q 1 A称为三对角矩阵 较常见带状矩阵为带宽为3 p q 2 w 3 的矩阵 系数矩阵为三对角矩阵的线性方程组称为三对角方程组 七 三对角方程组的解法 三对角线性方程组 应用追赶法求解三对角线性方程组 追赶法仍然保持LU分解特性 它是一种特殊的LU分解 充分利用了系数矩阵的特点 而且使之分解更简单 得到对三对角线性方程组的快速解法 定理如果带宽为w p q 1的n阶带状矩阵A有LU分解 A LU 则L是带宽为p的下三角矩阵 U是带宽为q的上三角矩阵 与G E 类似 一旦ui 0则算法中断 故并非任何三对角阵都可以用此方法分解 注 分解过程中 矩阵元素不会过分增大 算法保证稳定 运算量为O 6n 求解Ux y x4 0 3333 x3 0 3333 x2 1 x1 1 求解Ly b y1 1 y2 1 5 y3 1 y4 0 5 周期三对角方程组的一般形式 基本思想 利用谢尔曼 莫里森公式 Sherman Morrison 将方程化为三对角方程求解 谢尔
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