线性系统的时域分析法.ppt

课件 第三章线性系统的时域分析法 三性分析 稳定性稳态特性动态特性控制系统的输出 c t ct t cs t ct t 动态分量 又叫暂态分量 cs t 稳态分量动态响应 又叫瞬态响应 是指系统从初始状态到接近稳定状态的响应 输入只影响稳态分量 系统分析的准确度取决于数学模型描述的真实程度 动态响应对稳定系统才有意义 3 1系统时间响应的性能指标 控制系统性能评价分为动态性能和稳态性能 3 1 1典型输入信号控制系统是针对某一类输入信号来设计的 根据系统常遇到的输入信号形式 在数学上加以理想化的一些基本输入函数 单位阶跃函数 单位斜坡函数 单位加速度函数 单位脉冲函数 正弦函数 不同输入信号对应的输出响应是不同的 但对于线性控制系统 他们所表征的系统性能是一致的 一 阶跃函数 二 斜坡函数 匀速函数 三 抛物线函数 匀加速函数 R 1时 称为单位阶跃函数 记为l t R S 1 S R 1时 称为单位斜坡函数 R 1 2时 称为单位抛物线函数 四 脉冲函数 五 正弦函数 当时 则称为单位脉冲函数 3 1 2动态过程与稳态过程 动态过程 过渡过程 瞬态过程 系统在典型输入信号作用下 系统输出量从初始状态到最终状态的过程 2稳态过程 稳态响应 系统在典型输入信号作用下 当时间t趋于无穷时 系统输出量的表现形式 3 1 3动态性能与稳态性能 动态性能 通常在阶跃函数作用下 测定计算系统的动态性能 描述稳定的系统在单位阶跃函数作用下 动态过程随时间t的变化状况指标 称为动态性能指标 二 阶跃响应的时域性能指标 c t ct t css t 暂态响应 稳态响应 1 暂态性能指标 图3 0 1 延迟时间td c t 从0到0 5c 的时间 2 上升时间tr c t 第一次达到c 的时间 无超调时 c t 从0 1c 到0 9c 的时间 3 峰值时间tp c t 到达第一个峰值的时间 4 调节时间ts c t 衰减到与稳态值之差不超过 2 或 5 所需的时间 通常该偏差范围称作误差带 用符号 表示 即 2 或 5 5 最大超调量s c t 偏离阶跃曲线的最大值 常用百分数表示 图3 0 6 震荡次数N 在ts内 c t 偏离c 的次数 一个峰谷算一个周期 即算震荡一次 2 稳态性能指标稳态误差ess 稳定系统误差的终值 即 系统响应典型输入信号 若时间趋于无穷时 系统输出量与输入量间有差值 称系统存在稳态误差 稳态误差是衡量系统控制精度的一种度量 3 1 4理想系统的阶跃响应 B 动态性能指标定义1 上升时间tr 调节时间ts 动态性能指标定义2 0 95 3T 动态性能指标定义3 3 1 5线性系统解的形式 一线性系统时域方程一般形式 二解的形式 通解和特解 为常系数 1通解 齐次方程为 解的形式为的函数组合而成 1 单根 2 重根2特解特解的形式与激励函数形式有关系3总解通解 特解 3 2一阶系统的时域分析 一阶系统 以一阶微分方程作为运动方程的控制系统 一 单位阶跃响应 标准形式传递函数 解的一般形式 t 0 稳态解 暂态解 一阶系统的动态响应 一阶系统响应的特点 1 t T时 输出达到稳态值的0 632 t 0时 输出为0 t 时 输出达到稳态值1 t T时 输出达到稳态值的 632 t 3T时 输出达到稳态值的0 95 t 4T时 输出达到稳态值的0 98 2 t 0时 响应曲线的切线斜率为1 T 切线与稳态值的交点处的t T t增加 c t 斜率下降 一阶系统的动态响应 3 过渡过程时间ts 3T 95 ts 4T 98 4 延迟时间td 0 69T 5 上升时间tr 0 22T tr 2 3T 0 1T 2 2T 6 特征根S 1 T T越小 动特性越好 稳态特性也越好 一阶系统的单位阶跃响应曲线这是指数曲线 处斜率最大 其值为1 T 若保持此变化速度 在t T时 输出将达到稳态值 而实际系统只能达到稳态值的0 632 经过3T或4T的时间系统输出响应分加别达到稳态值的0 95或0 98 当输入信号为理想单位脉冲函数 系统的输出称为单位脉冲响应 二 单位脉冲响应 三 单位斜坡响应 跟踪误差为T 四 单位抛物线响应 五 结果分析 输入信号的关系为 而时间响应间的关系为 一阶系统时域分析 单位脉冲响应 单位阶跃响应 h t 1 e t T h 0 1 T h T 0 632h h 2T 0 865h h 3T 0 95h h 4T 0 982h 单位斜坡响应 c t t T Te t T T r t t r t 1 t r t t 3二阶系统的时域分析 二阶系统的定义 用二阶微分方程描述的系统 微分方程的标准形式 阻尼比 无阻尼自振频率 传递函数及方框图 等效的开环传函及方框图 一 单位阶跃响应 1 闭环极点的分布 二阶系统的特征方程为 两根为 位于平面的左半部 的取值不同 特征根不同 1 欠阻尼 有一对共轭复根 5 负阻尼 位于右半平面 2 临界阻尼 两相等实根 3 过阻尼 两不等实根 4 无阻尼 一对纯虚根 欠阻尼二阶系统根在复平面的位置 zwn wd wn b b cos 1z 2 二阶系统的单位阶跃响应 图3 16 z为不同值时 单位阶跃响应曲线见 一般在0 4 0 8间响应曲线较好 z 1 z 1 0 z 1 z 0 不同z时 特征根的分布 结论 正阻尼 稳定状态 过阻尼 非振荡系统 临界阻尼 欠阻尼 振荡系统 1 无阻尼 临界稳定 负阻尼 不稳定状态 2二阶系统的解 随着的不同 在S平面上有不同解 3 正阻尼 稳定 根在左半平面 无阻尼 临界稳定 根在虚轴上 负阻尼 不稳定 根在右半平面 过阻尼 临界阻尼 欠阻尼 零阻尼 运动模态总结 3 解与系统的结构有关系 4 当解s位于左半平面 稳定系统 当解s位于右半平面 不稳定系统 当解s是纯虚数解 临界稳定 总结 二 二阶欠阻尼系统的性能指标 1 定义 超调量 上升时间 峰值时间 单位阶跃响应达到第一个峰值所需时间 振荡次数 在调整时间内响应过程穿越其稳态值次数的一半定义为振荡次数 调整时间 单位阶跃响应进入到使下式成立所需时间 一般取 单位阶跃响应第一次达到其稳态值所需时间 2 性能指标的计算 1 上升时间 2 峰值时间 3 超调量 4 调节时间 一般取 5 延迟时间 延迟时间和调节时间很难定量描述 采用工程上的近似计算 6 振荡次数N 三 计算举例 例 设控制系统方框图如图3 18所示 当有一单位阶跃信号作用于系统时 试求系统的暂态性能指标tr tp ts N和 解 闭环传递函数为 振荡次数 性能指标 四 二阶系统的脉冲响应 1 无阻尼脉冲响应 2 欠阻尼脉冲响应 3 临界阻尼脉冲响应 4 过阻尼脉冲响应 脉冲响应与阶跃响应的关系 五 具有闭环零点的二阶系统的单位阶跃响应 二阶系统的闭环传函具有如下标准形式 当时 对欠阻尼情况 对应的性能指标为 附加极点对系统的影响 零点对过阻尼二阶系统的影响 33 说明 1 闭环负实零点的主要作用在于加速二阶系统的响应过程 起始段 2 削弱系统阻尼 超调量大 3 合理的取值范围为 零状态响应 六初始条件不为零的二阶系统的响应过程 当初始条件不为零时 求拉氏变换得 可见 具有相同的衰减振荡特性 一概念 通常把三阶以上的系统就称为高阶系统 一般近似为一个二阶系统来处理 设控制系统的闭环传递函数为阶跃响应 4高阶系统的时域分析 高阶系统阶跃响应曲线1 响应曲线的类型 振荡情况 由闭环极点的性质所决定 2 动态响应曲线的形状由闭环系统的零 极点共同决定 3 闭环极点离虚轴愈近 其对系统的影响愈大 主导极点 这种离虚轴最近的闭环极点将对系统的动态响应起主导作用 并称其为闭环 偶极子 同一位置或相距很近的闭环零 极点 对系统的影响很小 二 闭环主导极点的概念 高阶系统的时域分析 在高阶系统的诸多闭环极点中 把无闭环零点靠近 且其它闭环极点与虚轴的距离都在该复数极点与虚轴距离的五倍以上 则称其为闭环主导极点 三 高阶系统单位阶跃响应的近似分析 由此可见高阶系统的暂态响应是一阶和二阶系统 暂态响应分量的合成则有如下结论 1 各分量衰减的快慢由指数衰减系数及决定 系统的极点在S平面左半部距虚轴愈远 相应的暂态分量衰减愈快 2 系数和不仅与S平面中的极点位置有关 并且与零点有关 a 零极点相互靠近 且离虚轴较远 越小 对影响越小 b 零极点很靠近 对几乎没影响 c 零极点重合 偶极子 对无任何影响 d 极点附近无零极点 且靠近虚轴 则对影响大 3 若时 则高阶系统近似成二阶系统分析 偶极子 例 三阶系统的闭环传递函数系统闭环极点 P1 P2的实部和实极点P3的实部之比 所以P1 P2为一对主导极点 系统单位阶跃响应 如果忽略P3对应的动态分量 两该系统的解相近 5线性系统的稳定性与稳定判据 一 稳定的概念与定义 定义 若线性系统在初始扰动的影响下 其过渡过程随时间的推移逐渐衰减并趋于零 则称系统为渐近稳定 简称稳定 反之若在初始扰动影响下 系统的过渡过程随时间推移而发散 则称其不稳定 二 线性系统稳定的充要条件 分析方法1 稳定性是系统自身的固有特性 与外界输入信号无关 线性系统稳定的充要条件 闭环特征根均为负实部 即Resi 0 i 1 2 n 其特征根全部位于S平面的左半部 ReSi表示极点的实部 2 稳定的充要条件 分析方法1 稳定性定义表明 线性系统的稳定性仅取决于系统自身的固有特性 而与外界条件无关 设初始条件为零时 输入即R S 1 当作用时间t 0时 0 这相当于系统在扰动信号作用下 输出信号偏离原平衡工作点的问题 此时 系统的脉冲响应即输出增量收敛于原平衡工作点 则系统是稳定的 控制系统的稳定性分析 设闭环系统的传递函数 设为系统特征方程的根 且互不相等 系统输出 对上式拉氏反变换 得到理想脉冲函数作用下的输出 上式表明 线性系统稳定的充要条件是 闭环系统特征方程的所有根均具有负实部 或者说 闭环传递函数的极点均分布在平面的左半部 三 稳定判据1 Routh稳定判据系统的特征方程为 必要条件 1 特征方程的各项系数ai i 1 2 n 都不为零 2 特征方程的各项系数ai i 1 2 n 具有相同的符号 充分条件 劳斯表中第一列所有元素的计算值均大于零即劳斯阵列第一列所有元素为正 劳斯阵列 若系统的特征方程为 则劳斯表中各项系数如下图 劳斯表 劳斯判据 闭环特征根均为负实部 即Resi 0 i 1 2 n 1 系统稳定的充要条件是劳斯表中第一列元素均为正 2 若第一列元素有符号变化 则符号改变的次数等于正实部根的个数 劳斯判据 劳斯表的组成 最左边的一列 按S的n次的从高到低从上向下依次排列 最上边的两行 由S的系数的奇 偶位置排列组成 左上角 S的最高蓂n的系数 关于劳斯判据的几点说明 如果第一列中出现一个小于零的值 系统就不稳定 如果第一列中有等于零的值 说明系统处于临界稳定状态 第一列中数据符号改变的次数等于系统特征方程正实部根的数目 即系统中不稳定根的个数 解 例 将特征方程系数列成劳斯表 判别正实根的个数 结论 系统不稳定 系统特征方程有两个正实部的根 2 Routh判据的特殊情况 a 某行第一个元素为零 其余均不为零 方法一 处理方法 用 0且 0 代替0继续计算 例3 7 已知D s s4 2s3 s2 2s 1 0 用劳斯判据判别系统的稳定性 结论 有两个正实部根 系统不稳定 111 220 2 2 e00 100 劳斯表 1 0 0 第一列元素变号两次 2 2 e 0 例 设系统的特征方程为 试用劳斯判据确定正实部根的个数 方法2 解 将特征方程系数列成劳斯表 由表可见 第二行中的第一列项为零 所以第三行的第一列项出现无穷大 为避免这种情况 可用因子 s a 乘以原特征式 其中a可为任意正数 这里取a 1 于是得到新的特征方程为 将特征方程系数列成劳斯表 结论 第一列有两次符号变化 故方程有两个正实部根 b 劳斯表某行全为零 说明特征方程中存在一些大小相等 但方向相反的根 处理方法 用全零行上一行的系数构成辅助方程 将辅助方程对s求导数 得一新方程 用新方程的系数代替全零行 按新表判稳定 结论 不稳定 有与原点对称的根 若第一列元素均为正 一定有虚根 若第一列元素有负数 则符号改变次数等于实根个数 2 劳斯表中出现全零行 3 Routh判据的应用 4 Hurwitz判据 设系统的特征方程为 则系统稳定的充要条件是由特征方程的系数ai i 1 2 n 构成的主行列式及其主对角线上的各阶主子式均为正 即 赫尔维茨判据 Hurwitz判据 系统稳定的充要条件是各阶主子行列式均为正 3 6线性系统的稳态误差及计算 控制系统的稳态误差是系统控制准确度的一种度量 统称为稳态性能 稳态误差使不可避免的影响稳态误差的主要因素 系统的结构 输入作用函数的形式 系统的类型三个因素 只有当系统稳定时 研究稳态误差才有意义 无差系统和有差系统 阶跃函数作用下定义 1 误差的定义 一 误差与稳态误差 本节讨论线性控制系统由于系统结构 输入形式和类型所产生的稳态误差及计算 其中包括系统类型与稳态误差的关系 控制系统设计的主要任务之一就是尽力减少控制系统的稳态误差 系统的误差e t 常定义为 e t 期望值 实际值 误差 1 e t r t c t 2 e t r t b t 输出量为 根据系统的结构图 当输入信号R s 与主反馈信号B s 不等时 比较装置输出 通常 E s 为误差信号 简称误差 是时间的函数 2误差的计算1 系统误差传递函数为 系统误差传递函数证明 因为 E S R S E S G1 S G2 S H S 得 R S E S 1 G1 S G2 S H S 故 e S E S R S 系统误差为 说明 1 误差是从系统输出端来定义的 它是输出的希望值与实际值之差 这种方法定义的误差在性能指标提法中经常使用 但在实际系统中有时无法测量 因而一般只具有数学意义 2 偏差是从系统的输入端来定义的 它是系统输入信号与主反馈信号之差 这种方法定义的误差 在实际系统中是可以测量的 因而具有一定的物理意义 3 对单位反馈系统而言 误差与偏差是一致的 稳态误差 反馈系统误差信号e t 的稳态分量 记作ess t 动态误差 反馈系统误差信号e t 的暂态分量 记作ets t 控制系统的稳态误差定义为误差信号的稳态分量 简记为 稳态误差定义 稳定系统误差的终值称为稳态系统 当时间t趋于无穷时 e t 极限存在 则稳态误差为 2 利用终值定理计算 应用终值定理的条件是sE s 在s右半平面及虚轴上解析 或者说sE s 的极点位于左半平面 包括坐标原点 即 系统按稳态误差划分的型 设开环传递函数为 二 系统型别 误差分析 1误差定义 输入端定义 E s R s B s R s C s H s 输出端定义 E s R s C s En s C希 C实 Cn s 2例题 求图示系统的稳态误差ess 其中r t t n t 1 t 解 令n t 0 因为系统稳定 所以 令r t 0 En s Cn s 总误差ess essr essn G0H0 此时的k为开环增益tj和ti是时间常数 s 表示开环有 个极点在坐标原点的极点的重数 分类方法 以 的个数来划分 0 称为0型系统 称为 型系统 称为 型系统 称为 型系统 1 2 3 优点 1 可以根据已知的输入信号形式 迅速判断是否存在稳态误差及稳态误差的大小 2 系统阶数m n的大小与系统型别无关 且不影响稳态误差的数值 系统稳态误差计算式可以化为 影响稳态误差的因素有系统型别 开环增益 输入信号的形式和幅值 三种典型输入下的稳态误差与静态误差系数 R s R s 1 r t R 1 t 2 r t R t R s R s2 3 r t Rt2 2 R s R s3 三 阶跃输入作用下的稳态误差与静态位置误差系数 结论 0型系统在阶跃输入作用下有误差 常称有差系统 四速度输入作用下的稳态误差与静态速度误差系数 易知 结论 0型系统不能跟踪斜坡输入 1型可跟踪 但有与K有关的误差 2型及以上在斜坡输入下的ess 0 五加速度输入作用下的稳态误差与静态速度误差系数 易知 从静态误差系数的定义可以知道 一个稳定的线性定常系统只能有一个不等于零的静态误差系数 其余的静态误差系数不是等于零就是等于无穷大 结论 0型和1型系统不能跟踪抛物线输入 2型可跟踪但有误差 3型及以上系统才能准确跟踪 取不同的 r t R 1 t r t R t r t Rt2 2 型 0型 型 R 1 t R t 0 0 0 Rt2 2 R 1 t R t Rt2 2 k k k 0 0 0 小结 1 2 3 Kp Kv Ka 非单位反馈怎么办 静态误差系数 稳态误差 讨论 1静态误差系数kp kv和ka 定量描述了系统跟踪不同输入形式信号的能力 当系统输入信号的形式 输出量的期望值及允许的稳态误差确定以后 可以根据静态误差系数去选择系统的类型和开环增益 2系统的输入信号是多种典型函数的组合 则根据叠加定理 将每一输入分量单独作用于系统 在将各稳态误差分量叠加求得 3静态误差系数法分析适用于1 t t和t2 2以及它们的组合 动态误差系数 广义误差系数 可以研究输入信号几乎为任意时间函数时的系统稳定误差变化 将误差传递函数 在 的邻域内的泰勒级数为 误差信号可表示为 即 动态误差系数的计算 误差传递函数为 这是一个无穷级数 它的收敛域是s 0邻域 这相当于在时间域内时成立的误差级数 因此在所有初始条件为零的条件下 对上式进行拉氏变换 就得到稳态误差表达 将在s 0的邻域内展开成Taylor级数 有 1 一般方法 P113公式 3 85 同理可得 则稳态误差可以写成 这里ci cfi称为误差系数 i 0 1 2 式中 Ci 1 i e i 0 i 0 1 2 Ci称谓动态误差系数C0称谓动态位置误差系数C1称谓动态速度误差系数C2称谓动态加速度误差系数 动态 完整描述系统稳态误差随时间t变化的规 而不是误差信号中的暂态随时间t变化的规律 误差级数在时 才能成立 因此 如果输入信号r t 包含有随时间增长而趋于零的分量 这一分量不应包含在级数中的输入信号及其各阶导数之内 动态稳态误差系数和静态稳态误差系数之间的关系 0类型C0 1 1 Kp 1类型C1 1 Kv2类型C2 1 Ka注意 误差系统分析中 只有输入信号是阶跃函数 斜坡函数和加速度函数 或者是三者的组合 静态误差才有意义 当系统输入信号为其他形式的函数时 静态误差系数法便无法使用 此外 系统的稳态误差一般是时间的函数 即使静态误差系数法可用 也不能表示稳态误差随时间变化的规律 对有些有效工作时间不长的控制系统 如导弹控制系统 输出量往往在没有达到要求的稳态值时 便结束工作 无法使用静态误差系数分析法 需要引入动态误差系数的概念 2 系统阶次较高时 这里介绍一种简便算法 1 将已知的开环传函按升幂排列成如下形式 2 写出多项式比值形式的误差传递函数 3 对上式用长除法得到一个s的上冥级数 4 求E s 次式和P113公式 3 85 比较可知 他们是等价的无穷级数 最后的表达式称为稳态误差级数 表示在t足够大时 系统误差与时间的关系 称为动态误差系数 动态误差系数采用长除法 或多项式除法 计算 参见例3 15 输入信号 计算该随动系统的稳态误差 作业 已知随动系统的方框图为 例3 15单位反馈控制系统的开环传递函数 输入函数r t sin5t 求系统的稳态误差ess t 解 因输入为正弦函数 无法使用静态误差系数法 故 动态误差系数为 C0 0 C1 10 2C2 9X10 4 C3 1 9X10 5 对于随动系统 主要考虑它的跟随性能 即要求系统输