概率的计算(第二十章).ppt

静 第八讲概率的计算 第二十章 1 用古典概率 几何概率计算概率 2 用基本性质计算概率 3 利用条件概率 乘法公式计算概率 4 利用事件的独立性计算概率 5 利用全概率公式和贝叶斯公式计算概率 6 利用二项概率公式计算概率 1 用古典概率计算概率 一 用古典概率 几何概率计算概率 古典概型具有两个特性 1 试验的可能结果 即基本事件 的个数有限 且两两互不相容 1 2 n 有限性 2 每个基本事件发生的可能性相等 等可能性 这时若事件A含有k个基本事件 则 为此 经常用到如下排列组合知识 1 n个不同元素全部取来进行排列 全部排列的种数为 Pn n 2 n个不同元素 每次从中任取r个不同元素来进行排列 所有不同排列的种数为 3 n个不同元素 每次从中任取何r个不同元素来进行组合 所有不同组合的种数为 4 n个不同元素 每次允许重复地从中任取何r个元素进行排列 所有不同排列的种数为 例1 设有一批产品共100件 其中5件次品 现从中任取3件 求 1 全是正品的概率 2 恰有2件次品的概率 解 1 设A 任取3件全是正品 2 设B 任取3件恰有2件次品 例2 一个盒中装有编号为1 2 10的球各一个 外形完全一样 随机从盒中摸球 每摸一个球 记下编号后放入盒中 共摸六次 求所记下的编号中最大号码恰为6的概率 解1 设A 6次摸出的编号球最大号码恰为6 解2 设A 6次摸出的编号球最大号码恰为6 2 用几何概率计算概率 几何概型具有两个特性 1 试验的可能结果 即基本事件 的个数无限 且全体结果可用一个有度量的几何区域G来表示 无限性 2 每个基本事件发生的可能性相等 等可能性 这时若事件A所对应的区域为g 则 例3 甲 乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头停泊 它们在一昼夜内到达的时刻是等可能的 甲船的停泊时间是2小时 乙船的停泊时间是3小时 两船启航后都不再返回该码头 求它们中的任何一艘船都不需要等候码头空出的概率 解 设甲 乙两艘轮船到达码头的时刻分别为x与y 则由题意 即样本空间为以24为边长的正方形 设A表示它们中的任何一艘船都不需要等候码头空出 则 即图中阴影部分 于是 所求概率为 y x 2 y x 3 概率的基本性质 二 用基本性质计算概率 性质1 有限可加性 设有限个事件A1 A2 An满足AiAj i j i j 1 2 n 则 性质2 对任一事件A有 性质3 加法公式 设A B为任意两个事件 则 P A B P A P B P AB 设A B C为任意三个事件 则 P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC 性质4 设A B为任意两个事件 且A B 则 P B A P B P A 例4 设P A 1 3 P B 1 2 若 1 AB 2 A B 3 P AB 1 8 求 解 1 因为AB 所以 例5 设A B C为随机事件 已知P A P B P C 1 4 P AB 0 P AC P BC 1 16 则事件A B C全不发生的概率为多少 解 事件A B C全不发生 记为 2 因为A B 所以 三 利用条件概率 乘法公式计算概率 1 条件概率 条件概率与积事件概率的区别 一般地说 当事件A B同时发生 时 常用P AB 而在有包含关系或明确的主从关系中 用P B A 2 乘法公式 或 例6 一盒中有10只晶体管 其中7只正品 3只次品 分别用不放回依次抽取和有放回依次抽取两次的方法来测试 求抽取的两件中都是正品的概率 解 记A 第一次抽得正品 B 第二次抽得正品 1 不放回抽取 故 2 有放回抽取 故 例7 设A B为随机事件 已知P A 0 5 P B 0 6 解 1 方法1 因为P A B P A P B P AB 且 所以 方法2因为 所以 且 所以 四 利用事件的独立性计算概率 1 定义 P AB P A P B P AC P A P C P BC P B P C 则称A B C两两独立 进一步若还有P ABC P A P B P C 则称A B C相互独立 若事件A B满足P AB P A P B 则称A B相互独立 若事件A B C满足 2 性质 也相互独立 若A与B相互独立 则P B A P B P A B P A 若A与B相互独立 则 例8 甲 乙两高射炮同向一架敌机射击 已知甲炮命中率为0 6 乙炮命中率为0 5 求敌机被击中的概率 解1 记A 甲炮击中敌机 B 乙炮击中敌机 C 敌机被击中 则C A B 由加法公式P C P A P B P AB 又因为A与B独立 所以P AB P A P B P C P A P B P A P B 0 6 0 5 0 6 0 5 0 8 于是 解2 0 6 0 5 0 6 0 5 0 4 0 5 0 8 解3 先求 四 利用全概率公式和贝叶斯公式计算概率 1 全概率公式 设必然事件 分解成若干个互斥事件的和 则对任一事件B 有 P B P A1 P B A1 P A2 P B A2 P An P B An 2 贝叶斯公式 设事件B和一组事件A1 A2 An满足全概率公式中的条件 则有以下贝叶斯公式 例9 某厂有四台机器生产同一产品 产量各占50 30 10 10 各台机器生产的次品率分别为2 4 1 2 求 1 从全厂的产品中任取一件 恰为次品的概率 2 从全厂的产品中任取一件 发现是次品 问此次品出自哪一台机器 解 分别以A1 A2 A3 A4表示取得的产品为第一台 第二台 第三台 第四台机器生产的 B表示取得的产品恰为次品 显然A1 A2 A3 A4 且Ai互斥 1 要求P B 由全概率公式 有 P B P A1 P B A1 P A2 P B A2 P A3 P B A3 P A4 P B A4 由题意有 P A1 0 5 P A2 0 3 P A3 0 1 P A4 0 1 P B A1 0 02 P B A2 0 04 P B A3 0 01 P B A4 0 02 所以 有 P B 0 5 0 02 0 3 0 04 0 1 0 01 0 1 0 02 0 025 注意 P B 不是各台机器的次品率相加 2 要求B发生的条件下 出自哪一台机器的可能性大 为此要计算的是下面四个条件概率 P A1 B P A2 B P A3 B P A4 B 由贝叶斯公式 类似地可计算出 从计算的结果看出 可能性最大的不是A1 而是A2 自然要倾向于认为是第二台机器生产的 例10 盒中放有12个乒乓球 其中9个是新的 第一次使用时 从中任取3个 用后仍放回盒中 第二次使用时 再从盒中任取3个 求第二次取出的球都是新球的概率 解 以Ai i 0 1 2 3 表示第一次使用了i个新球 B表示第二次取出的3个球都是新球 显然A0 A1 A2 A3 且Ai互斥 由全概率公式 有 由题意有 四 利用二项概率公式计算概率 1 贝努里概型 具有下列特点的试验 1 每次试验条件都相同 3 每次试验的结果是相互独立 称为n重贝努里试验概型 2 二项概率公式 在n重贝努里试验中 设每次试验中