苏教版高三数学复习课件7.1空间几何体.ppt

1 认识柱 锥 台 球及其简单组合体的结构特征 2 会用斜二测画法画出它们的直观图 第1课时空间几何体 第七知识块立体几何初步 1 对于柱 锥 台 球简单几何体的结构特征 多以选择题 填空题的形式考查它们的基本量 即侧棱长 高 斜高 对角线长等 2 简单几何体是构成复杂几何体的基本元素 其中旋转体是平面图形绕着一条轴旋转而成的 而多面体是由多个平面所围成的几何体 要正确区分多面体与旋转体 3 纵观这几年的高考试题 有关三视图的内容已成为高考的一个热点 试题主要以选择题的形式出现 斜二测画法是画直观图的有力工具与基础 应多加注意 命题预测 1 由于定义所描述的是几何体所具有的特征性质 因而根据定义可以判定一个几何体是否是某种几何体 当已知几何体是这种几何体时 根据它的定义又可以说出它的特征性质 换言之 定义发挥着判定定理和性质定理的双重作用 因此 明确各种几何体的定义是十分重要的 应试对策 2 圆柱 圆锥 圆台 球都是从平面图形的旋转来定义的 由于用来旋转的平面图形不同 从而得到四种不同的旋转体 在定义中务必要指明是以哪条线为轴 对空间几何体的观察 要从整体入手 遵循从整体到局部 从具体到抽象的原则来认识空间图形 棱台是由棱锥平行于底面的平面截得的 因此 在处理棱台的有关问题时要注意联系棱锥的有关性质 还台为锥 是常用的解题方法 圆柱 圆锥 圆台的轴截面集中反映了各元素的基本关系 作轴截面找出各元素的关系是解决问题的关键 3 三视图的画法关键是要分清观察者的方向 应从正面 侧面 上面三个方向去观察图形 对于简单几何体的组合体 一定要认真观察 先认识它的基本结构 然后再画它的三视图 画出的三视图要符合 长对正 宽相等 高平齐 斜二测画法要注意其规则 即什么时候长度变为原来的一半 空间几何体在平行投影与中心投影下有不同的表现形式 我们可以根据问题的实际情况 选择不同的表现形式 但在立体几何中很少用中心投影原理来画图 画三视图时 可以把垂直投影面的视线想象成平行光线 可见的轮廓线 包括被遮挡但是可以经过想象透视到的轮廓线 的投影就是所要画出的视图 可见轮廓线要画成实线 不可见轮廓线要画成虚线 1 在几何体的三视图中 主视图也称为正视图 左视图也称为侧视图 2 直观图的画法除了采用斜二测画法外也可以采用正等测 知识拓展 1 多面体的结构特征 全等 平行 平行四边形 多边形 公共顶点的三角形 1 2 多面体的定义 由若干个平面多边形围成的几何体叫做 多面体 相似 平行 交于一点 2 旋转体的结构特征 边 直角边 垂直于底边的腰 直径 思考 多面体与旋转体的主要区别是什么 提示 多面体是由多个多边形围成的几何体 旋转体是由平面图形绕轴旋转而形成的几何体 3 空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用画法来画 基本步骤是 1 在已知图形中取互相垂直的x轴 y轴 两轴相交于点O 画直观图时 把它们画成对应的x 轴 y 轴 两轴相交于点O 且使 x O y 2 已知图形中平行于x轴 y轴的线段 在直观图中平行于 斜二测 45 或135 x 轴 y 轴 3 已知图形中平行于x轴的线段 在直观图中长度 平行于y轴的线段 长度变为 4 在已知图形中过O点作z轴垂直于xOy平面 在直观图中对应的z 轴也垂直于x O y 平面 已知图形中平行于z轴的线段 在直观图中仍平行于z 轴且长度 保持不变 原来的一半 不变 思考 空间几何体的三视图和直观图有什么区别 提示 1 观察角度 三视图是从三个不同位置观察几何体而画出的图形 直观图是从某一点观察几何体而画出的图形 2 效果 三视图是正投影下的平面图形 直观图是在平行投影下画出的空间图形 1 下列命题中正确的序号有 有两个面互相平行 其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱 用一个平面去截一个圆锥 一定得到一个圆台和一个圆锥 有一个面是多边形 其余各面都是三角形的几何体是棱锥 将一直角三角形绕其一条直角边旋转一周 所得圆锥的母线长等于斜边长 答案 2 如图 是一个地空导弹的示意图 请说明它可以近似地看作是由哪些简单基本几何体组成的 答案 半球 圆柱 圆台 3 从如右图所示的圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面 下底面的圆心为顶点的圆锥得到一个几何体 现用一个平面去截这个几何体 若这个平面垂直于圆柱的底面所在的平面 那么所截得的图形可能是下图中的 把所有可能的图形的序号都填上 答案 1 3 4 如图所示为一平面图形的直观图 则此平面图形可能是下图中的 解析 根据画直观图的方法 平行性不变 直观图中平行于y轴的原图中要垂直于x轴 如图 正确 答案 1 准确理解几何体的定义 是真正把握几何体结构特征的关键 2 圆柱 圆锥 圆台的有关元素都集中在轴截面上 解题时要注意用好轴截面中各元素的关系 3 既然棱 圆 台是由棱 圆 锥定义的 所以在解决棱 圆 台问题时 要注意 还台为锥 的解题策略 例1 下列结论中 各个面都是三角形的几何体是三棱锥 以三角形的一条边所在直线为旋转轴 其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥 棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等 则此棱锥可能是六棱锥 圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线其中正确的是 解析 错误 如图1所示 由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体 各面都是三角形 但它不一定是棱锥 错误 如图2 若 ABC不是直角三角形或是直角三角形 但旋转轴不是直角边 所得的几何体都不是圆锥 错误 若六棱锥的所有棱长都相等 则底面多边形是正六边形 由几何图形知 若以正六边形为底面 侧棱长必然要大于底面边长 正确 答案 变式1 下面命题中 有两个面平行 其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 有两个面平行 其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 有一个面是多边形 其余各面都是三角形的几何体叫棱锥 有一个面是多边形 其余各面都是有一个公共顶点的三角形的几何体叫棱锥 其中正确命题的序号是 解析 如图 面ABC 面A1B1C1 但图中的几何体每相邻两个四边形的公共边并不都互相平行 故不是棱柱 不正确 对于选项 如图 不正确 棱锥是有一个面是多边形 其余各面都是有一个公共顶点的三角形的几何体 因此 不正确 答案 在几何体的有关计算中要注意下列方法与技巧 1 在正棱锥中 要掌握正棱锥的高 侧面 等腰三角形中的斜高及高与侧棱所构成的两个直角三角形 有关证明及运算往往与两者相关 2 正四棱台中要掌握对角面与侧面两个等腰梯形中关于上 下底及梯形高的计算 有关问题往往要转化到这两个等腰梯形中 另外要能够将正四棱台 正三棱台中的高与其斜高 侧棱在合适的平面图形中联系起来 3 研究圆柱 圆锥 圆台等问题的主要方法是研究它们的轴截面 这是因为在轴截面中 易找到所需有关元素之间的位置 数量关系 4 将圆柱 圆锥 圆台的侧面展开是把立体几何问题转化为平面几何问题处理的重要手段之一 5 圆台问题有时需要还原为圆锥问题来解决 6 关于球的问题中的计算 常选取球的一个大圆 化 球 为 圆 应用平面几何的有关知识解决 关于球与多面体的切 接问题 要恰当地选取截面 化 空间 为平面 例2 一个圆台的母线长为12cm 两底面面积分别为4cm2和25cm2 求 1 圆台的高 2 截得此圆台的圆锥的母线长 思路点拨 可画出圆台的轴截面 利用三角形的相似性来求解 解 1 圆台的轴截面是等腰梯形 如右图所示 由题意知 上底AD 4cm 下底BC 10cm O1A 2cm 下底半径OB 5cm 又因为腰长为12cm 所以高为AM cm 2 设截得此圆台的圆锥的母线长为l 则由 SAO1 SBO可得 l 20 cm 即截得此圆台的圆锥的母线长为20cm 变式2 如图所示 一圆台的母线长20cm 母线与轴的夹角为30 上底面的半径为15cm 求圆台的高和下底面的面积 解 设圆台的高为hcm 下底面圆的半径为Rcm 由题意知SA 30cm SO 15cm 又 SO A SOB R 25 h 10 下底面圆的面积S R2 625 cm2 故圆台的高为10cm 下底面的面积为625cm2 斜二测画法 1 在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴 两轴相交于点O 画直观图时 把它们画成对应的x 轴与y 轴 两轴交于O 点 且使 x O y 45 或135 它们确定的平面表示水平面 2 已知图形中平行于x轴或y轴的线段 在直观图中分别画成平行于x 轴或y 轴的线段 3 已知图形中平行于x轴的线段在直观图中保持原长度不变 平行于y轴的线段 长度为原来的一半 4 在已知图形中过O点作z轴垂直于xOy平面 在直观图中对应的z 轴垂直于x O y 平面且长度不变 例3 已知正三角形ABC的边长为a 那么 ABC的平面直观图 A B C 的面积为 解析 如图 所示的实际图形和直观图 由 可知 A B AB a O C OC a 在图 中作C D A B 于D 则C D O C a S A B C A B C D a2 答案 a2 变式3 一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45 腰和上底长均为1的等腰梯形 则这个平面图形的面积是 解析 如下图 1 等腰梯形A B C D 为水平放置的平面图形的直观图 作D E A B 交B C 于E 由条件理E C A B 所以B C 1 由斜二测直观图画法规则 等腰梯形A B C D 的直观图为如下图 2 所示的直角梯形ABCD 且AB 2 BC 1 AD 1 所以面积S ABCD 2 答案 2 1 正棱锥问题常归结到它的高 侧棱 斜高 底面正多边形 内切圆半径 外接圆半径 底面边长的一半构成的直角三角形中解决 2 圆柱 圆锥 圆台 球应抓住它们是旋转体这一特点 弄清旋转轴 旋转面 轴截面 3 台体可以看成是由锥体截得的 但一定强调截面与底面平行 4 在斜二测画法中 要确定关键点及关键线段 平行于x轴的线段平行性不变 长度不变 平行于y轴的线段平行性不变 长度减半 规律方法总结 例4 一个水平放置的三角形ABC用斜二测画法画出的直观图是如右图所示的边长为1的正三角形A B C 则在真实图形中AB边上的高是 三角形ABC的面积是 你发现了什么问题吗 这个发现是 解析 将 A B C 放入一个锐角为45 的斜角坐标系x O y 中 如右图 1 所示 将其按照斜二测画法的规则还原为真实图形 如右图 2 所示 在真实图形中OA O A AB A B OC 2O C 在 O D C 中 O C 故在真实图形中OC 即真实图形中三角形ABC的高为 三角形ABC的面积是 由于直观图的面积是 故直观图和真实图的面积之比是 答案 直观图和真实图的面积之比是 规范解答 一是加坐标系时方法选择不当 把坐标系加错 如以A B A C 为坐标系x O y 的两个坐标轴 这样坐标系中的角x O y 就是60 了 二是在还原真实图形时用错了斜二测画法的规则 如把与横轴平行的线段长度变为原来的二倍或是不改变与纵轴平行的线段的长度等 都会导致计算结果的错误 易入误区 水平放置的平面图形的直观图的画法第一 建立一个坐标系 第二 保持与坐标轴的平行性不变 第三 长度规则 已知图形中平行于x轴的线段 在直观图中保持长度不变 平行于y轴的线段 长度减为原来的一半 按照这个规则很容易画出水平放置的平面图形的直观图 但高考命题中往往反其道而行之 实际上 上面的三个规则是 可逆 的 我们可以 逆用规则 解决这类问题 本题中只要找到了三角形的三个顶点的位置问题就解决了 状元笔记 1 圆台的上 下底面面积分别为S S1 一个平行于底面的平面将圆台侧面分成面积相等的两部分 则截面面积为 分析 可以画出圆台的截面 根据平行对应成比例即可得出答案 解析 设上 下底面及截面半径分别为r R x 解得两个圆台的母线长分别为l1 l2 则由题意 得 x r l1 R x l2 又由相似 可得 R2 x2 x2