巧求最值问题八种方法

精品文档 1欢迎下载 如何求如何求 最值最值 问题问题 求最大值与最小值是中学数学常见的一种题型 在数学竞赛中作为一个靓点大量存在 解 这类题有一定的难度和技巧 所以不少同学为之感叹 这里向大家介绍一些求最值问题的方法 与技巧 一 利用配方求最值 例 1 若 x y 是实数 则的最小值是 199933 22 yxyxyx 分析 由于是二次多项式 难以直接用完全平方公式 所以用配方法来解更为简捷 原式 1990 96 2 1 96 2 1 2 2 1 2222 yyxxyxyx 1990 3 2 1 3 2 1 2 1 222 yxyx 显然有 x y 0 x 3 0 y 3 0 222 所以 当 x y 0 x 3 0 y 3 0 时 得 x y 3 时 代数式的值最小 最小是 1990 例 2 设 x 为实数 求 y 的最小值 3 1 2 x xx 分析 由于此函数只有一个未知数 容易想到配方法 但要注意只有一个完全平方式完不 成 因此要考虑用两个平方完全平方式 并使两个完个平方式中的 x 取值相同 由于 y 要求 y 的最小值 必须有 x 1 0 且12 1 12 2 x xxx1 1 1 22 x xx 解得 x 1 0 1 x x 于是当 x 1 时 y 的最小值是 1 3 1 2 x xx 二 利用重要不等式求最值 例 3 若 xy 1 那么代数式的最小值是 44 4 11 yx 分析 已知两数积为定值 求两数平方和的最小值 可考虑用不等式的性质来解此题 1 44 4 11 yx 222 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 xyyxyx 所以 的最小值是 1 44 4 11 yx 三 构造方程求最值 例 4 已知实数 a b c 满足 a b c 2 abc 4 求 a b c 中的最大者的最小值 分析 此例字母较多 由已知可联想到用根与系数的关系 构造方程来解 解 设 c 为最大者 由已知可知 c 0 得 a b 2 c ab 则 a b 可以看作 c 4 精品文档 2欢迎下载 的两根 因为 a b 是实数 所以 即0 4 2 2 c xcx0 4 4 2 2 c c 得因为 c 是最大者 所以01644 23 ccc0 4 2 2 ccc 42 c c或 c 的最小值是 4 四 构造图形求最值 例 5 使取最小值的实数 x 的值为 16 8 4 22 xx 分析 用一般方法很难求出代数式的最值 由于16 8 4 22 xx 于是可构造图形 转化为 在 x 轴上求一点 2222 40 8 20 0 xx c x 0 使它到两点 A 0 2 和 B 8 4 的距离和 CA CB 最小 利用对称可求出 C 点坐标 这样 通过构造图形使问题迎刃而解 解 16 8 4 22 xx 2222 40 8 20 0 xx 于是构造如图所示 作 A 0 2 关于 x 轴的 对称点 A 0 2 令直线 A B 的解析式为 y kx b 则解得 88 20 bk bk 2 4 3 b k 所以 令 y 0 得 2 4 3 xy 3 8 x 即 C 点的坐标是 xx x有最小值时所以当16 8 4 3 8 0 3 8 22 五 利用判别式求最值 例 6 求 y 的最小值 15 563 2 2 xx xx 解 去分母可以整理出关于 x 的一元二次方程 因为 x 为实数 所以 00 102 122 6 2 yxyxy 得 4 x 6 解得 故 y 的最小值是 4 六 消元思想求最值 例 7 已知 a b c 为整数 且 a b 2006 c a 2005 a b 则 a b c 的最大值为 2006 年全国初中数学竞赛试题 分析由题 由于是求三个未知数的最大值 设法将其转化成一个未知数的形式 由题设可 得 b 2006 a c 2005 a 将其代入原式得 a b c a 2006 a 2005 a 4011 a 又 a b 2006 a b 均为整数 a b 所以 a 1002 所以当 a 1002 时 a b c 的最大值是 4011 1002 5013 精品文档 3欢迎下载 七 利用数的整除性求最值 例 8 已知 a b 为正整数 关于 x 的方程的两个实数根02 2 baxx 关于 y 的方程两个实数根为 且满足 21 x x02 2 bayy 21 y y 求 b 的最小值 数学周报 杯 2008 年全国初中数学竞试题 2008 2211 yx yx 分析与解 因为方程与有实根 所以有 02 2 baxx02 2 bayy 即 由根与系数的关系 得 04 2 2 baba 2 bx xaxx 2121 2by yayy 2121 2 即 2 2121 212121 xxyy xxxxayy 解得 1112 2221 yxyx yxyx 或 把的值分别代入 得 12 y y2008 2221 yxyx 或 不成立 2008 2211 xxxx2008 1221 xxxx 即 22 21 2008xx 2121 2008xxxx 因为 所以0 02 2121 bx xaxx0 0 21 xx 于是有 即2008442 2 baa25125021 2 baa 因为 a b 都是正整数 所以 222222 15052251 50212514 aaaa abababab 或或或 分别解得 2222 15022251 1502502122512514 aaaa bbbb 或或或 经检验只有 符合题意 22 502251 50212514 aa bb 所以 b 的最小值为 2 251462997b 最小值 八 利用函数的增减性求最值 例 9 设是方程的两个实根 当 m 为何值时 21 x x023242 22 mmmxx 精品文档 4欢迎下载 有最小值 并求这个最小值 2 2 2 1 xx 解 因为方程有实根 所以023242 22 mmmxx 解得0 232 8 4 22 mmm 3 2 m 由根与系数的关系得 2 232 2 2 2121 mm x xmxx 于是 232 42 22 21 2 21 2 2 2 1 mmmxxxxxx 8 7 4 3 2 2 m 因为函数 y 在时的值 y 随 m 的增大而减少 即 m 取最大值时 y 取最 8 7 4 1 2 2 m 4 3 m 小值 由于方程有实数根的条件是 所以当时 有最小值 最小值为 3 2 m