初三数学第七章导学案

邳州市邹庄中学 2009年度 第一学期初三数学电子备课 第 七 章 导 学 案 课题： 学习目标 1、理解并掌握正切的含义，会在直角三角形中求出某个锐角的正切值。 2、了解计算一个锐角的正切值的方法。 学习重点与难点 计算一个锐角的正切值的方法 学习过程 一、观察 回答 ：如图某体育馆，为了方便不同需求的观众设计了多种形式的台阶。下列图中的两个台阶哪个更陡？你是怎么判断的？ 图（ 1） 图（ 2） 点拨 可将这两个台阶抽象地看成两个三角形 答： 图 的台阶更陡，理由 二、探索活动 1、思考与探索一： 除了用台阶的倾斜角度大小外，还可以 如何描述台阶的倾斜程度呢？ 可通过测量 长度，再算出它们的比， 来说明台阶的倾斜程度。 （思考： 度的比与台阶的倾斜程度有何关系？） 答： _. 讨论： 你还可以用其它什么方法？能说出你的理由吗？ 答： _. 2、思考与探索二： （ 1）如图，一般地，如果锐角 A 的大小已确定，我们可以作出无数个相似的 ，那么有： _ _ 根据相似三角形的性质，得：111_ _ （ 2）由上可知：如果直角三角形的一个锐角的大小已确 定，那么这个锐角的对边与这个角的邻边的比值也 _。 A 2A 1 3 A 对边 b C 对边 a B 斜边 c A 2 C 1 B B C A 131 B A C 3 5 3、正切的定义 如图，在 ， C 90， a、 b 分别是 A 的对边和邻边。我们将 A 的对边 a 与邻边 b 的比叫做 作 _。 即： _ _ （你能写出 B 的正切表达式吗？）试试看 . 4、牛刀小试 根据下列图中所给条件分别求出下列图中 A、 B 的正切值。 （ 通 过 上 述 计 算 ， 你 有 什 么 发 现 ？_.） 5、思考与探索三： 怎样计算任意一个锐角的正切值呢？ （ 1）例如，根据 书本 7 5，我们可以这样来确定 近似值：当一个点从点 O 出发沿着 65线移动到点 P 时，这个点向右水平方向前进了 1个单位，那么在垂直方向上升了约 是可知， 近似值为 （ 2）请用同样的方法，写出下表中各角正切的近似值。 10 20 30 45 55 65 3）利用计算器我们可以更快、更精确地求得 各个锐角的正切值。 （ 4）思考：当锐角越来越大时，的正切值有什么变化？ _. 三、随堂练习 1、在 ， C 90， 1， 3， 则 _， _。 2、如图，在正方形 ，点 E 为 中点 ,连结 设 ，则 _。 四、请你说说本节课有哪些收获？ 五、作业 题 7 1、 2 六 、拓宽与提高 1、如图是一个梯形大坝的横断面，根据图中的尺寸，请你通过计算判断左右两个坡的倾斜程度更大一些？ 2、在直角坐标系中， 三个顶点的坐标分别为 A（ 4,1）， B（ 1，3）， C（ 4,3），试求 值。 m (单位：米 ) A 课题： 弦（一） 学习目标 1、 理解并掌握正弦、余弦的含义，会在直角三角形中求出某个锐角的正弦和余弦值。 2、 能用函数的观点理解正弦、余弦和正切。 学习重点与难点 在直角三角形中求出某个锐角的正弦和余弦值。 学习过 程 一、情景创设 1、问题 1：如图，小明沿着某斜坡向上行走了 13m 后，他的相对位置升高了 5m，如果他沿着该斜坡行走了 20m，那么他的相对位置升高了多少？行走了 a 2、问题 2：在上述问题中，他在水平方向又分别前进了多远？ 二、探索活动 1、思考：从上面的两个问题可以看出：当直角三角形的一个锐角的大小已确定时，它的对边与斜边的比值 _；它的邻边与斜边的比值_。 （根据是 _。） 2、正弦的定义 如图，在 C 90， 我们把锐角 c 的比叫做 A 的 _，记作 _， 即： _=_. 3、余弦的定义 如图，在 C 90 , 20m 13m 我们把锐角 A 的邻边 b 与斜边 c 的比叫做 A 的 _，记作=_， 即： _=_。 （你能写出 弦的表达式吗？）试试看 . _. 4、牛刀小试 根据如图中条件，分别求出下列直角三角形中 锐角 的正弦、余弦值。 5、思考与探索 怎样计算任意一个锐角的正弦值和余弦值呢？ （ 1） 如 书 8，当小明沿着 15的斜坡行走了 1个单位长度到 ，他的位置 在竖直方向 升高了约 水平方向前进了约 根据正弦、余弦的定义，可以知道： 2）你能根据图形求出 ？ ？ _， _. _， _. （ 3）利用计算器我们可以更快、更精确地求得各个锐角的正弦值和余弦值。 （ 4）观察与思考： 从 值，你们得到什么结论？ _。 从 值，你们得到什么结论？ _。 当锐角越来越大时，它的正弦值是怎样变化的？余弦值又是怎样变化的？ _。 6、锐角 弦和正切都是 _。 三、随堂练习 1、如图，在 C 90， 12， 5，则 _， _， _， _。 2、在 ， C 90， 1， 3 ，则 _，_,_,_. 3、如图，在 C 90， 9a， 12a， 15a， _, _,_ 四、请你谈谈本节课有哪些收获？ 五、作业 书本 1、 2 六 、拓宽和提高 已知在 ， a、 b、 c 分别为 A、 B、 C 的对边，且 a： b： c 5： 12： 13，试求最小角的 三角函数值。 课题： 弦、余弦（二） 学习目标 1、能够根据直角三角形的边角关系进行计算； 2、能用三角函数的知识根据三角形中已知的边和角求出未知的边和角。 学习重点与难点 用函数的观点理解正切，正 弦、余弦 学习过程 一、知识回顾 1、在 C 90，分别写 出 _，_ ， _ 。 B 的 三 角 函 数 关 系 式_。 2、比较上述中， 表达式， 你有什么发现 _。3、练习： 如 图 ， 在 ， C=90, 则_,_,_。 如 图 ， 在 ， C=90, 则_,_,_。 在 ， B=90 ， _。 如图，在 ， C=90 ， 0,3，则 _。 在 ， C=90,0,4,则 _。 如图，在 ， B=90 ， 5,3，则 _。 在 ， C=90 ， 2， 2，则 _,_。 二、例题 例 1、小明正在放风筝，风筝线与水平线成 35角时 ， 小明的手离地面 1m，若 把 放出的风筝线 看成一条线段， 长 95m，求风筝此时的高度。（精确到 1m） （参考数据： 例 2、工人师傅沿着一块斜靠在车厢后部的木板往汽车上 推 一个油桶（如图），已知木板长为 4m，车厢到地面的距离为 （ 1）你能求出木板与地面的夹角吗？ （ 2）请你求出油桶从地面到刚刚 到达车厢时的移动的水平距离。（ （参考数据： 三、随堂练习 1、小明从 8m 长的笔直滑梯自上而下滑至地面，已知滑梯的倾斜角为 40，求滑梯的高度。（精确到 （参考数据： 2、一把梯子靠在一堵墙上，若梯子与地面的夹角是 68，而梯子底部离墙脚 梯子的长度（精确到 （参考 数据： 四、本课小结 谈谈本课的收获和体会 五、课外练习 1、已知：如图，在 ， 90， 足为 D， 810 长。 2、等腰三角形周长为 16，一边长为 6，求底角的余弦值。 3、在 ， C 90， 312,10，求 周长和斜边上的高。 4、在 ， C 90，已 知 312，请你求出 值。 5、在 ， C 90， D 是 中点，且 50， 2，求 值。（精确到 参考数据： 课题： 殊角的三角函数 【学习目标】 1. 能通过推理得 30、 45、 60角的三角函数值，进一步体会三角函数的意义 . 2. 会计算含有 30 、 45、 60角的三角函数的值 . 3. 能根据 30、 45、 60角的三角函数值，说出相应锐角的大小 . 4. 经历探索 30、 45、 60角的三角函数值的过程，发展同学们的推理能力和计算能力 . 【学习过程】 一、 情景创设 同学们已经学习了锐角的三角函数，你能分别说出正切、正弦、余弦的定义吗？ 二、 探索活动 1 活动一 你能分别说出 30、 45、 60角的三角函数值吗？ 根据以上探索完成下列表格 30 45 60 三、 典例分析 例 1：求下列各式的值。 （ 1） 2 （ 2） 3） + 练习：计算 . （ 1） （ 2） (3) (4) 0202305三角函数 例 (1) =23(2)2 =1 (3)2 2 =0 (4) 3 1=0 练习： 1 若 22,则锐角 =1,则锐角=_. 2 若 21,则锐角 =_.若 23,则锐角=_. 3 若 3,则 _. 4 求满足下列条件的锐角 : (1)23=0 (2)- 3 3 =0 (3) 2 2=0 (4) +10） = 3 当无意义时 ,求 +15 ) )的值 . 五 ,底边长为 6 3 ,请你判断这个三角形是锐角三角形、 直角三角形还是钝角三角形 ? 48 习题 7。 3 3 课题： 三角函数值求锐角 学习目 标： 会根据 锐角的三角函数值，利用科学计算器求锐角的大小。 学习过程： 一、复习回顾 1、利用计算器求下列各角的正 弦 、余 弦 值（精确到 （ 1） 15 （ 2） 72 （ 3） 55 12 （ 4） 2、 在 ， C 90， C，求：（ 1） 2）当 时，求 二、新课学习： 1、问题：如图，小明沿斜坡 3的相对位置升高了 5能知道这个斜坡的倾斜角 ： 利用计算 器，可以由一个锐角的三角函数值求这个角的大小。依次按键为 ： 结果显示为 ，得 A （精确到 2、例题学习：求满足下列条件的锐角 A（精确到 ； （ 1）41A （ 2） 2A 解： （ 1）依次按键 ， 结果显示为 ，得 A （ 2） 三、课堂练习： 1、求满足下列条件 的锐角 A（精确到 （ 1）41A （ 2） A （ 3） 10A （ 2）拓展训练： 1、如图，已知秋千吊绳的长度 秋千升高 1m 时，秋千吊绳与竖直方向所成的角度 （精确到 知 ，如图， 高， 6， 2， C 35 （精确到 直角三角形 学习 目标 ： 使学生了解解直角三角形的概念，能运用直角三角形的角与角 (两锐角互余 )，边与边 (勾股定理 )、边与角关系解直角三角形。 学习 过程 一、 问题情景： 如图所示，一棵大树在一次强烈的台风中于地面 10 米处折断倒下，树顶落在离数根 24 米处。问大树在折断之前高多少米 ? 显然，我们可以利用勾股定理求出折断倒下的部分 的长度为 ， 10 36所以，大树在折断之前的高为 36 米。 二、新课 （请阅读） 1解直角三角形的定义。 任何一个三角形都有六个元素，三条边、三个角，在直角三角形中，已知有一个角是直角，我们把利用已知的元素求出末知元素的过程，叫做解直角三角形。像上述的就是由两条直角边这两个元素，利用勾股定理求出斜边的长度，我们还可以利用直角三角形的边角关系求出两个锐角，像这样的过程，就是解直角三角形。 2解直角三角形的所需的工 具。 如图 7 12， 在 ， 90，其余 5 个元素之间有以下关系： (1)两锐角互余 A B (2)三边满足勾股定理 (3)边与角关系 ， 3例题讲解。 例 1： 在 ， C 90， C 30， a=5，解直角三角形。 例 2： ， C 90， a=104， b= （ 1） c 的大小（精确到 (2) A、 B 的大小。 例 3：如图 7 13，圆 O 半径为 10，求圆 O 的内接正五边形 边长（精确到 - 13堂练习： 1、已知：在 ， C 90， b=2 3 ， c = 4， 求（ 1） a ；（ 2）求 B、 A 2、求半径为 12 的圆的内接正八边形的边长（精确到 . 四、拓展 练习： 书本 习题 1、 2 解直角三角形作业（一） 1、由下列条件解题：在 C=90： （ 1）已知 a=4， b=8，求 c （ 2）已知 b=10， B=60，求 a， c （ 3）已知 c=20， A=60，求 a， b 2、已知等腰 C=13， 0，求顶角 3、在 ， C 90， ，求 A、 B、 c 边 . 角 三角函数的简单应用 （ 1） 学习目标： 通过具体的一些实例，能将实际问题 中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系。 学习过程： 一、复习巩固： 1、在 C=90， A=45，则 。 2、在 C=90。 （ 1）已知 A=30， （ 2） 已知 A=60， 3 二、例题学习： 例 1：“五一”节，小明和同学一起到游乐场游玩，游乐场的大型摩天轮的半径为 20m，旋转 1 周需要 12明乘坐最底 部的车厢（离地面约 始 1 周的观光， 2小明离地面的高度是多少（精确到 图，小明开始在车厢点 B，经过 2到了点 C，点 C 离地面的高度就是小明离地面的高度，其实就是 长度 解： 拓展延伸： 1、摩天轮启动多长时间后，小明离地面的高度将首次到达 10m？ 2、小明将有多长时间连续保持在离地面 20m 以上的空中？ 三、课堂练习；书本 1 、 2 四、 思考练习 如图，东西两炮台 A、 B 相距 2000 米， 同时发现入侵敌舰 C，炮台 A 测得敌舰 C 在它的南偏东 40的方向，炮台 B 测得敌舰 C 在它的正南方，试求敌舰与两炮台的距离 (精确到 l 米 )。 分析：本题中，已知条件是什么 ?(2000 米， 90 50 )，那么求 长是用 “弦”还是用“切”呢 ?求 长呢 ?显然， 直角三角形的斜边，应该用余弦函数， 而求 长可以用正切函数，也可以用余切函数。 角 三角函数的简单应用（ 2） 学习 目标 ： 进一步掌握解直角三角形的方法，比较熟练的应用解直角三角形的知识解 决与仰角、俯角有关的实际问题，培养学生把实际问题转化为数学问题的能力。 学习 过程 一、给出仰角、俯角的定义 如右图，从下往上看，视线与水平线的夹角叫仰角，从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角。右图中的 1 就是仰角， 2 就是俯角。 二、例题讲解 例 2、为了测量停留在空中的气球的高度，小明先站在地面上某点观测气球，测得仰角为 27，然后他向气球方向前进了 50m，此时观测气球，测得仰角为 40。若小明的眼睛离地面 小明如何计算气球的高度呢（ x 分析： 1、 由题目可知道，气球的高度就是 长加上 、假设 h m， x m，在 用正 弦 列出两个方程求出 2、课堂练习：书本 P 56 1、 2 3、思考与探索：大海中某小岛的周围 10围内有暗礁。一艘海轮在该岛的南偏西 55方向的某处，由西向东行驶了 20到达该岛的南偏西25方向的另一处。如果该海轮继续向东行驶，会有触礁的危险吗？ 四、拓展训练： 1、 如图，为了测量电线杆的高度 离电线杆 的 C 处，用 D 测得电线杆顶端 B 的仰角 a 22，求电线杆 高度。 分析：因为 ，所以只要求出 长度，问题就得到解决 ,在 ,已知 ， 22，那么用哪个三角函数可解决这个问题呢 ?显然正切或余切都能解决这个问题。 2如图， A、 B 是两幢地平高度相等、隔岸相望的建筑物， B 楼不能到达，由于建筑物密集，在 A 楼的周围没有开阔地带，为测量 B 楼的高度，只能充分利用 A 楼的空间， A 楼的各层都可到达且能看见 B 楼，现仅有测量工具为皮尺和测角器 (皮尺可用于测量长度，测角器可以测量仰角、俯角或两视线的夹角 )。 (1)你设计一个测量 B 楼高度的方法，要求写出测量步骤和必需的测量数据 (用字母表示 )，并画出测量图形。 (2)用你测量的数据 (用字母表示 )写出计算 B 楼高度的表达式。 分析：如右图，由于楼的各层都能到达，所以 A 楼的高度可以测量，我们不妨站在 A 楼的顶层测 B 楼的顶端的仰角，再测 B 楼的底端的俯角，这样在 就可以求出 长度，因为 后 E 的长度，这样 长度就可以求出 角 三角函数的简单应用（ 3） 学习目标： 使学生知道测量中坡度、坡角的概念，掌握坡度与坡角的关系，能利用解直角三角形的知识，解决与坡度有关的实际问题，进一步培养学生 把实际问题转化为数学问题的能力。 教学过程 一、 阅读新知识： 如右图所示，斜坡 斜坡 一个倾斜程度比较大 ?显然，斜坡 倾斜程度比较大，说明 A A。从图形可以看出B ，即 在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度。 1坡度的概念，坡度与坡角的关系。 如 下 图，这是一张水库拦水坝的横断面的设计图，坡面的铅垂高度与水平宽度的比叫做坡度 (或坡比 )，记作 i，即 i 坡度通常用 l： m 的形式，例如上图中的 1： 2 的形式。坡面与水平面的夹角叫做坡角。从三角函数的概念可以知道，坡度与坡角的关系是 i 然，坡度越大，坡角越大，坡面就越陡。 二、 例题讲解。 例 3 如图，水坝的横截面是梯形 水坡 坡角 为 30背水坡 i（即 ）为 1： 顶宽 高 求（ 1）背水坡 （ 精确到 0. 1 ）； （ 2）坝底宽 长（精确到 图，作出梯形 高 据题意，在 在 以分别求出 而可求得坝底 解： 拓展与延伸：如果在例题 3 中，为了提高堤坝的防洪抗洪能力，市 防汛指挥部决定加固坝堤，要求坝顶 宽 水坡 i（即 ）为 1： 知堤坝的总长度为 5完成该项工程所需的土方（m ） 三、课堂训练：书本 1、 2、 3 四、补充练习： 1如图，一段路基的横断面是梯形，高为 ，上底的宽是 ，路基的坡面与地面的倾角分别是 32和 28，求路基下底的宽。 (精确到 分析：四边形 梯形，通常的辅助线是过上底的两个顶点引下底的垂线，这样，就把梯形分割成直角三角形和矩形，从题目来看，下底 直角三角形 求得，而 以在直角三角形 求得，问题得到解决。 解： 2如图，一段河坝的断面为梯形 根据图中数据，求出坡角。和坝底宽 (i D，单位米，结果保留根号 ) 四、小结 会知道坡度、坡角的概念能利用解直角三角形的知识，解决与坡度、坡角有关的实际问题，特别是与梯形有关的实际问题，懂得通过添加辅助线把梯形问题转化为直角三角形来解决。 回顾与思考 (1) 教学目标 通过复习，使学生系统地掌握本章知识。由于本章的概念比较多，需要记忆的知识也比较多，因此，课前应该让学生先看看书本， 以求得较高的复习效率。在系统复习知识的同时，使学生能够灵活运用知识解决问题。 教学过程 一、知识回顾 （填空） 1应用相似测量物体的高度 (1) 如图 (一 )，利用光线的平行和物体在地面的投影和物体构成的两个直角三角形相似，从而求得物体的高度。 (2)如图 (二 )，我们可以利用测角仪测出 度数，用皮尺量出 后按一定的比例尺 (例如 1:500)画出图形，进而求出物体的高度。 2锐角三角函数。 (如图三 ) (1)定义： ， ， 切） 。 (2)若 A 是锐角，则 0 l， 0 1， 1， 1，你知道这是为什么吗 ? (3)特殊角的三角函数值。 a 0 45 60 同学们在记忆这些三角函数值时，一方面能由角度求出它的各个三角函数值，另一方面，要能由三角函数值求出相应的角度。 (4)熟练应用计算器求出锐角三角函数值。 (5)正弦 、正切值是随着角度的增大而 ，余弦是随着角度的增大而 (6)一个锐角的正弦值等于它余角的余弦值，一个锐角的余弦值等于它余角的正弦值。正切、余切也一样。 二、例题讲解 例 1 ， C 90， B 60，两直角边的和为 14，求这个直角三角形的面积。 例 2如图， 45 ， B 30 10，求 三、练习 1 ， C 90， A 30， A、 B、 C 所对 的边为 a、 b、 c，则 a： b： c ( ) :3 B 1: 2: 3 C 1: 3:2 D 1:2: 3 2在 ， C 90， :(1) (2)斜边的长； (3)高 3 ， C 90， 8， A 的平分线 16 32 ，求 B 的度数以及边 长。 四、小结 本节 课我们系统地复习了三角函数的定义、勾股定理等内容，同学们在理解、记忆知识的基础上，应做到灵活地运用这些知识解决问题，这就要求同学们在课后要做一定量的练习才能达到。 五、作业 书本 P 61 6 、 7、 8 （做在作业本上） 回顾与思考 (2) 教学目标 使学生掌握直角三角形的边与边，角与角，边与角的关系，能应用这些关系解决相关的问题，进一步培养学生应用知识解决问题的能力。 教学过程 一、知识回顾解直角三角形应用的知识。 1边与边关系： 角与角关系： A B 90