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直线和双曲线 例1 已知直线l y ax 1与双曲线交于A B两点 求a的取值范围 若直线l过左焦点 求弦AB的长 2 左焦点 0 设A x1 y1 B x2 y2 解题回顾 求直线与双曲线相交的弦长的方法 1 利用 AB 和韦达定理求弦长 2 若直线过焦点 则可考虑利用第二定义 在应用时要区分两种情形 a 如果两交点在同一支上 那么 AB AF1 BF1 b 如果两交点在两支上 那么 AB AF1 BF1 练习1 1 若例1中 求 AOB的面积 2 两条渐近线方程且截直线x y 3 0所得弦长为的双曲线方程为 例2 已知双曲线的方程为 求以P 2 1 为中点的弦MN所在的直线方程 试问是否存在被点B 1 1 平分的弦 如果存在 求出弦所在的直线方程 如果不存在说明理由 N M 分析 1 k不存在时显然不合题意 M x1 y1 M x2 y2 设所求直线方程为 例2 已知双曲线的方程为 求以P 2 1 为中点的弦MN所在的直线方程 试问是否存在被点B 1 1 平分的弦 如果存在 求出弦所在的直线方程 如果不存在说明理由 N M 2 假设存在这样的弦 不存在这样的弦 k不存在显然不合题意 设弦所在的直线方程为 并且交双曲线于C x1 y1 D x2 y2 解题回顾 求以定点为中点的弦所在的直线方程的基本思路 1 通过联列方程组 消去一个变量转化成一元二次方程 结合根与系数的关系求斜率 2 利用点差法求斜率 解法要领 设而不求 两式相减 3 点差法求方程要注意检验 如果点在双曲线内部 图中的阴影部分 那么以该点为中点的弦一定存在 如果点在双曲线外部 图中的另外部分 那么以该点为中点的弦不一定存在 必须检验 x o y 练习2 已知双曲线中心在原点 且一个焦点为F 0 直线y x 1与其相交于M N两点 MN的中点的横坐标为 则此双曲线的方程为 思考题 2002全国 设A B是双曲线上的两点 N 1 2 是线段AB的中点 求直线AB的方程 如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C D两点 则A B C D是否共圆 为什么 小结 1 求直线被双曲线截得的弦长 弦的中点问题 通常先消去一个变量转化成一元二次方程 结合判别式 根与系数的关系 求弦长和中点 2 能用弦长公式处理直线与双曲线相交所得的弦长问题 3 计算过焦点的弦长时注意运用定义求弦长 4 能用点差法求中点弦所在直线的斜率 作业 1 过双曲线的左焦点F1 倾斜角为的弦AB 求弦长 AB 2 求双曲线被点A 8 3 平分的弦MN所在直线的方程
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