【最新北师大版】数学八下易错题(含答案)

精品文档 1欢迎下载 八年级下册易错题八年级下册易错题 第一章第一章第一章第一章 三角形的证明三角形的证明三角形的证明三角形的证明 1 已知等腰三角形的两边长分别为 5 2 则该等腰三角形的周长是 D D A 7 B 9 C 12 或者 9 D 12 考查知识点 三角形的基本知识及等腰三角形边的关系 任意两边之和大于第三边 等腰 三角形两腰相等 因此只能是 5cm 5cm 2cm 2 一个等腰三角形的一个角是 40 则它的底角是 D D A 40 B 50 C 60 D 40 或 70 考查知识点 三角形的内角和及等腰三角形两底角相等 当 40 是顶角时 底角就是 70 40 就是一个底角 3 已知 ABC 的三边长分别是 6cm 8cm 10cm 则最长边上的高是 D D A 2 4cm B 3cm C 4cm D 4 8cm 提示 提示 设最长边上的高为 h 由题意可得 ABC 是直角三角形 利用面积相等求 即 h 10 2 1 8 6 2 1 解得 h 4 8 4 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 300 腰长为 6 则其底边上的高是 3 或 33 解解 三角形是钝角三角形时 如图 1 ABD 30 AD AB 6 3 2 1 2 1 AB AC ABC ACB BAD 90 30 30 2 1 2 1 ABD ABC 底边上的高 AE AD 3 三角形是锐角三角形时 如图 2 ABD 30 A 90 30 60 ABC 是等边三角形 底边上的高为 6 2 3 33 综上所述 底边上的高是 3 或33 5 到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形 B B 的交点 A 三个内角平分线 B 三边垂直平分线 C 三条中线 D 三条高 考查的知识点 三角形三边垂直平分线的交点到到三角形三个顶点的距离相等 归纳为 点到点距离相等 为垂直平分线上的点 还有一个 三角形三个内角平分线的交点到三角 精品文档 2欢迎下载 形三边的距离相等 归纳为 点到线的距离相等 为角平分线的交点 此时的距离有 垂 直 6 如图 在 ABC 中 AB 5 AC 3 BC 的垂直平分线交 AB 于 D 交 BC 于 E 则 ADC 的周 长等于 8 8 考查的知识点 垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 7 7 用反证法证明 一个三角形中至少有一个内角小于或等于 60 答案 答案 已知 ABC 求证 ABC 中至少有一个内角小于或等于 60 证明 假设 ABC 中没有一个内角小于或等于 60 即每一内角都大于 60 则 A 60 B 60 C 60 A B C 60 60 60 180 即 A B C 180 这与三角形的内角和为 180 度矛盾 假设不成立 ABC 中至少有一个内角小于或等于 60 考查知识 反证法 用反证法进行证明时先写出已知 求证 再假设求证的反面成立 推 出与题设 定理等相矛盾的结论 从而肯定原结论成立 注意 反证法一般很少用到 除 非是题目要求用反证法证明 否则一般不考虑该方法 8 如图所示 AOB 30 OC 平分 AOB P 为 OC 上任意一点 PD OA 交 OB 于点 D PE OA 于点 E 若 PE 2cm 则 PD cm 解 解 过点 P 作 PF OB 于 F AOB 30 OC 平分 AOB AOC BOC 15 PD OA DPO AOP 15 DPO AOP 15 BOC DPO PD OD 4cm AOB 30 PD OA BDP 30 在 Rt PDF 中 PF PD 2cm 2 1 OC 为角平分线 PE OA PF OB PE PF PE PF 2cm 精品文档 3欢迎下载 9 如图 在 ABC 中 ABC 和 ACB 的平分线交于点 E 过点 E 作 MN BC 交 AB 于 M 交 AC 于 N 若 BM CN 9 则线段 MN 的长为 A 6 B 7 C 8 D 9 解 解 ABC ACB 的平分线相交于点 E MBE EBC ECN ECB MN BC EBC EBC ECN ECB BM ME EN CN MN BM CN BM CN 9 MN 9 考查知识点 平行 平分 必有等腰三角形 10 如图 AD 是 ABC 的角平分线 DF AB 垂足为 F DE DG ADG 和 AED 的面积分别 为 50 和 39 则 EDF 的面积为 B B A 11 B 5 5 C 7 D 3 5 解 解 作 DM DE 交 AC 于 M 作 DN AC 在 AED 和 AMD 中 AED AMD ADMADE SS VV DE DG DM DE DM DG AD 是 ABC 的外角平分线 DF AB DF DN 精品文档 4欢迎下载 在 Rt DEF 和 Rt DMN 中 Rt DEF Rt DMN HL ADG 和 AED 的面积分别为 50 和 39 50 39 11 ADMADGMDG SSS VVV 11 5 5 MDGDEFDNM SSS VVV 2 1 2 1 考查知识点 角平分线上的点到角两边的距离相等及三角形的全等 11 在 Rt ABC 中 C 90 AC 9 BC 12 则点 C 到 AB 的距离是 A A A B C D 解 解 在 Rt ABC 中 AC 9 BC 12 根据勾股定理得 AB 15129 2222 BCAC 过 C 作 CD AB 交 AB 于点 D 则由 AC BC AB CD 得 CD ABC SV 2 1 2 1 AB BCAC 15 12x9 1 5 36 考查知识 利用面积相等法 12 如图 在 ABC 中 AD BC CE AB 垂足分别为 D E AD CE 交于点 H 已知 EH EB 3 AE 4 则 CH 的长是 A A A 1 B 2 C 3 D 4 精品文档 5欢迎下载 解 解 AD BC EAH B 90 CE AB EAH AHE 90 B AHE EH EB 在 AEH 和 CEB 中 AEH CEB ASA CE AE EH EB 3 AE 4 CH CE EH 4 3 1 考查知识 利用三角形全等求线段长度 13 如图 在 ABC 中 AD 是中线 AE 是角平分线 CF AE 于点 F AB 5 AC 2 则 DF 的长 为 2 3 解 解 延长 CF 交 AB 于点 G AE 平分 BAC GAF CAF AF 垂直 CG AFG AFC 在 AFG 和 AFC 中 精品文档 6欢迎下载 AFG AFC ASA AC AG GF CF 又 点 D 是 BC 的中点 DF 是 CBG 的中位线 DF BG AB AG AB AC 2 1 2 1 2 1 2 3 点评 本题考查了三角形的中位线定理 解答本题的关键是作出辅助线 一般出现既是角 平分线又是高的情况 我们就需要寻找等腰三角形 14 如图 在 ABC 中 AD 为 BAC 的平分线 FE 垂直平分 AD 交 AD 于 E 交 BC 的延长线 于 F 求证 CAF B 解 解 B CAF FE 垂直平分 AD FA FD FAD ADF AD 为 BAC 的平分线 CAD BAD 又 CAF FAD CAD B ADF BAD B CAF 点评 此题考查了线段垂直平分线的性质 角平分线的定义及三角形的外角等知识点 15 如图 OA OB 表示两条相交的公路 点 M N 是两个工厂 现在要在 AOB 内建立一个 货物中转站 P 使中转站到公路 OA OB 的距离相等 并且到工厂 M N 的距离也相等 用 尺规作出货物中转站 P 的位置 解 解 作 AOB 的角平分线 连接 MN 作 MN 的垂直平分线 交 OM 于一点 交点就是所求货物中转站的位置 精品文档 7欢迎下载 16 如图 在 ABC 中 C 90 AD 平分 CAB 交 CB 于点 D 过点 D 作 DE AB 于点 E 1 求证 ACD AED 2 若 B 30 CD 1 求 BD 的长 1 证明 证明 AD 平分 CAB CAD EAD DE AB C 90 ACD AED 90 又 AD AD ACD AED 2 解 解 ACD AED DE CD 1 B 30 DEB 90 BD 2DE 2 17 如图 ABC 中 AB BC BE AC 于点 E AD BC 于点 D BAD 45 AD 与 BE 交于点 F 连接 CF 1 求证 BF 2AE 2 若 CD 求 AD 的长 1 1 证明 证明 AD BC BAD 45 ABD 45 BAD AD BD BE AC CAD AFE 90 AD BC 精品文档 8欢迎下载 FBD BFD 90 又 AFE BFD CAD FBD 又 ADC BDF 90 ADC BDF AC BF AB BC BE AC AC 2AE BF 2AE 2 2 解 解 设 AD x 则 BD x AB BC x2 ABD 是等腰直角三角形 AB AD2 x x22 解得 x 2 2 即 AD 2 2 18 如图 已知 ABC 是等边三角形 D E 分别在 BA BC 的延长线上 且 AD BE 求证 DC DE 证明 证明 延长 BE 至 F 使 EF BC ABC 是等边三角形 B 60 AB BC AB BC EF AD BE BD AB AD BF BE EF BD BF BDF 是等边三角形 F 60 BD FD 在 BCD 和 FED 中 BC EF B F 60 BD FD 精品文档 9欢迎下载 BCD FED SAS DC DE 19 如图 在 ABC 中 AC BC ACB 90 D 是 AC 上一点 AE BD 交 BD 的延长线于 E 且 AE BD 求证 BD 是 ABC 的角平分线 2 1 证明 证明 延长 AE BC 交于点 F AE BE BEF 90 又 ACF ACB 90 DBC AFC FAC AFC 90 DBC FAC 在 ACF 和 BCD 中 ACF BCD ASA AF BD 又 AE BD 2 1 AE EF 即点 E 是 AF 的中点 AB BF BD 是 ABC 的角平分线 20 如图 在 ABC 中 分别以 AC AB 为边 向外作正 ACD 正 ABE BD 与 AE 相交于 F 连接 AF 求证 AF 平分 DME 精品文档 10欢迎下载 证明 证明 过点 A 分别作 AM BD AN CE 分别交 BD CE 于 M N 两点 ABE 和 ACD 均为等边三角形 EAB CAD 60 AD AC AB AE EAC BAD 60 BAC EAC BAD CE BDAMBDSANCES BADEAC 2 1 2 1 VV AN AM AF 平分 DME 在角的内部到角两边距离相等的点在该角的平分线上 21 如图 已知 AB AC A 90 AF BE BD DC 求证 FD ED 证明 证明 连接 AD A 90 AB AC D 是 BC 的中点 AD BC ADB 90 B 45 CAD AD BD 直角三角形中 中线等于斜边的一半 且 BE AF 易证 BED AFD SAS BDE ADF ADE EDB ADB 90 ADF ADE 90 ED FD 精品文档 11欢迎下载 第二章第二章 不等式不等式不等式不等式 组组组组 不等式基本性质 例 如果 x y 那么下列各式中正确的是 C C A x 2 y 2 B C 2x 2y D x y 2 x 2 y 1 系数含有字母的不等式 组 解题思路 解题思路 先把字母系数当做已知数 解除未知数的取值范围 再根据题意及不等式的性 质或解不等式组的方法进行计算 特别注意 一定要考虑 如果满足题意则要取 不 满足题意就不取 自己做自己做 1 已知关于 x 的方程 3k 5x 9 的解是非负数 求 k 的取值范围 2 已知关于 x 的不等式 1 a x 2 的解集为 x 则 a 的取值范围是 a a 1 1 a 1 2 提示 提示 利用不等式的基本性质三 a 1 0 3 如果不等式组的解集是 3 x 5 那么 a 3 3 b 5 5 0 0 bx ax 提示 提示 解得不等式组的解集为 a x b 而不等式组的解集为 3 x0 的解集为 C C A x 0 B x 0 C x2 2 直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示 则bxkyl 11 xkyl 22 关于的不等式的解为x 1x 1xxkbxk 21 精品文档 13欢迎下载 4 一元一次不等式 组 应用题 一件商品的进价是 500 元 标价为 600 元 打折销售后要保证获利不低于 8 则此商品 最多打 9 9 折 商品销售中需注意的地方 商品销售中需注意的地方 进价 也叫 成本 售价 也叫 标价 获利是在 进价的基础上获利 打折是在售价基础上打折 打几折就是给售价 10 x 解 解 设可以打 x 折 那么 600 500 500 8 10 x 解得 x 9 故答案为 9 某商贩去菜摊买黄瓜 他上午买了30斤 价格为每斤x元 下午 他又买了20斤 价格为 每斤y元 后来他以每斤元的价格卖完后 结果发现自己赔了钱 其原因是 B B 2 yx C D xyxyxyxy 解 解 根据题意得 他买黄瓜每斤平均价是 50 2030yx 以每斤元的价格卖完后 结果发现自己赔了钱 则 2 yx 50 2030yx 2 yx 解得 x y 赔钱的原因是 x y 1 某商场文具部的某种毛笔每支售价 25 元 书法练习本每本售价 5 元 该商场为促销 制定了如下两种优惠方式 第一种 买一支毛笔附赠一本书法练习本 第二种 按购买金额打九折付款 八年级 2 班的小明想为本班书法兴趣小组购买这种毛笔 10 支 书法练习本 x x 10 本 试问小明应该选择哪一种优惠方式才更省钱 利用一次函数与不等式 组 的知识进行解答 解 解 1 y1 25 10 x 10 5 5x 200 y2 25 10 5x 0 9 4 5x 225 2 y1 y2时 即 5x 200 4 5x 225 解得 x 50 y1 y2时 即 5x 200 4 5x 225 精品文档 14欢迎下载 解得 x 50 y1 y2时 即 5x 200 4 5x 225 解得 x 50 3 甲方案 25 10 50 5 500 元 乙方案 25 10 60 5 0 9 495 元 两种方案买 25 10 50 5 0 9 475 元 2 甲 乙两家超市以相同的价格出售同样的商品 为了吸引顾客 各自推出不同的优惠 方案 在甲超市累计购买商品超出 300 元之后 超出部分按原价 8 折优惠 在乙超市累计 购买商品超出 200 元之后 超出部分按原价 8 5 折优惠 设顾客预计累计购物 x 元 x 300 1 请用含 x 的代数式分别表示顾客在两家超市购物所付的费用 2 顾客到哪家超市购物更优惠 说明你的理由 解 解 1 设应付金额为 y 则 在甲超市购物所付的费用是 y 300 0 8 x 300 0 8x 60 在甲超市购物所付的费用是 y 200 0 85 x 200 0 85x 30 2 当 0 8x 60 0 85x 30 时 解得 x 600 而 x 300 300 x 600 即顾客购物超过 300 元且不满 600 元时 到乙超市更优惠 当 0 8x 60 0 85x 30 时 解得 x 600 当顾客购物 600 元时 到两家超市所付费用相同 当 0 8x 60 0 85x 30 时 解得 x 600 当顾客购物超过 600 元时 到甲超市更优惠 3 去年 6 月份广州市某果农收获荔枝 30 吨 香蕉 13 吨 现计划租用甲 乙两种货车共 10 辆将这批水果全部运往深圳 已知甲货车可装荔枝 4 吨和香蕉 1 吨 乙种货车可装荔枝 香蕉各 2 吨 该果农安排甲 乙两种货车时有几种方案 请你帮助设计出来 若甲种货车每辆要付出运输费 2000 元 乙种货车每辆要付出运输费 1300 元 则该果农 应选择哪种方案使运费最少 最少是多少 解 解 1 设安排甲种货车 x 辆 则安排乙种货车 10 x 辆 由题意得 解得 5 x 7 x 是整数 x 取 5 6 7 因此 安排甲 乙两种货车有三种方案 方案 1 甲种货车 5 辆 乙种货车 5 辆 方案 2 甲种货车 6 辆 乙种货车 4 辆 方案 3 甲种货车 7 辆 乙种货车 3 辆 2 方案 1 需要运费 2000 5 1300 5 16500 元 精品文档 15欢迎下载 方案 2 需要运费 2000 6 1300 4 17200 元 方案 3 需要运费 2000 7 1300 3 17900 元 该果农应选择方案 1 运费最少 最少运费是 16500 元 4 某工厂计划为震区生产A B两种型号的学生桌椅500套 以解决1250名学生的学习问 题 一套A型桌椅 一桌两椅 需木料0 5m3 一套B型桌椅 一桌三椅 需木料0 7m3 工厂现有库存木料302m3 有多少种生产方案 现要把生产的全部桌椅运往震区 已知每套A型桌椅的生产成本为100元 运费2元 每套 B型桌椅的生产成本为120元 运费4元 求总费用y 元 与生产A型桌椅x 套 之间的关 系式 并确定总费用最少的方案和最少的总费用 总费用 生产成本 运费 按 的方案计算 有没有剩余木料 如果有 请直接写出用剩余木料再生产以上两种型号 的桌椅 最多还可以为多少名学生提供桌椅 如果没有 请说明理由 解 解 1 设生产 A 型桌椅 x 套 则生产 B 型桌椅 500 x 套 由题意得 解得 240 x 250 x 是整数 有 11 种生产方案 2 由题意得 y 100 2 x 120 4 500 x 22x 62000 240 x 250 22 0 y 随 x 的增大而减小 当 x 250 时 y 有最小值 当生产 A 型桌椅 250 套 B 型桌椅 250 套时 总费用最少 为 22 250 62000 56500 元 3 有剩余木料 302 05 0 7 250 0 5 2 8 或 302 05 0 7 250 2 3 有以下几种方案 全部做 A 型可做 4 套 全部做 B 型可做 2 套 一部分做 A 型一部分做 B 型最多 3 套 比较可知 应选第 中方案 故最大值应为 8 最多还可以为 8 名学生提供桌椅 5 本学期我校开展了课外兴趣小组活动 有很多同学参加了书法兴趣小组 小刚代表兴 趣小组的同学去文具店购买毛笔 一个批发兼零售的文具店规定 凡一次购买毛笔 100 枝 以上 包括 100 枝 可以按批发价付款 购买 100 枝以下 不包括 100 枝 只能按零售价 付款 小刚来到该店购买毛笔 如果给兴趣小组的同学每人购买一枝 那么只能按零售价 付款 需 270 元 如果多购买 10 枝 那么可以按批发价付款 同样需 270 元 请问参加书法兴趣小组的同学人数在什么范围内 3 分 若按批发价购买 10 枝与按零售价购买 9 枝的款相同 那么参加书法兴趣小组的同学有多 少人 解 解 精品文档 16欢迎下载 设有 x 人则由题意可得 90 x 100 且 x 为整数 设批发价为 m 元 零售价为 n 元 则得到 10m 9n 还有条件得 xm x 10 n 10 9 10 m n x x 解得 x 90 6 若干名学生 若干间宿舍 若每间住 4 人将有 20 人无法安排住处 若每间住 8 人 则有一间宿舍的人不空也不满 问学生有多少人 宿舍有几间 解 解 设宿舍有 x 间 则学生有 4x 20 人 由题意可得 解得 5 x 7 x 为整数 x 6 学生有 4 6 20 44 人 答 学生有 44 人 宿舍有 6 间 7 某工厂用如图甲所示的长方形和正方形纸板 做成如图乙所示的竖式与横式两种长方 体形状的无盖纸盒 1 现有正方形纸板 162 张 长方形纸板 340 张 若要做两种纸盒共 l00 个 按两种纸盒的生产个数来分 有哪几种生产方案 2 若有正方形纸板 162 张 长方形纸板张 做成上述两种纸盒 纸板恰好用完 已知a 求的值 306290 aa 解 解 1 设生产竖式纸盒 x 个 则生产横式纸盒 100 x 个 由题意得 解得 38 x 40 有 3 种生产方案 如下 方案 1 生产竖式纸盒 38 个 横式纸盒 62 个 方案 2 生产竖式纸盒 39 个 横式纸盒 61 个 精品文档 17欢迎下载 方案 3 生产竖式纸盒 40 个 横式纸盒 60 个 2 设竖式纸盒 x 个 横式纸盒 y 个 由题意得 解得 648 5y a 290 a 306 290 648 5y 306 解得 68 4 y 71 6 y 为整数 y 只能取 69 70 71 对应的 a 的取值为 303 298 293 第三章第三章 图形的平移与旋转图形的平移与旋转图形的平移与旋转图形的平移与旋转 1 下列图形中 既是轴对称图形又是中心对称图形的有 C C A 4 个 B 3 个 C 2 个 D 1 个 2 在如图所示的单位正方形网格中 ABC 经过平移后得到 A1B1C1 已知在 AC 上一点 P 2 4 2 平移后的对应点为 P1 点 P1绕点 O 逆时针旋转 180 得到对应点 P2 则 P2点 的坐标为 C C A 1 4 1 B 1 5 2 C 1 6 1 D 2 4 1 3 如图所示 DEF 是由 ABC 绕着某点旋转得到的 则这个点的坐标是 0 10 1 精品文档 18欢迎下载 解 解 如图 连接 AD BE 作线段 AD BE 的垂直平分线 两线的交点即为旋转中心 O 其 坐标是 0 1 4 如图 在方格纸上 以格点连线为边的三角形叫做格点三角形 请按要求完成下列操作 先将格点 ABC 绕 A 点逆时针旋转 90 得到 A1B1C1 再将 A1B1C1沿直线 B1C1作轴反射得 到 A2B2C2 5 如图 1 已知 Rt ABC 和 Rt DBE ABC DBE 90 AB CB DB EB 1 如图 1 点 D 在 ABC 外 点 E 在 AB 边上时 求证 AD CE AD CE 2 若将 1 中的 DBE 绕点 B 顺时针旋转 使点 E 在 ABC 的内部 如图 2 则 1 中的结论是否仍然成立 请证明 3 若将 1 中的 DBE 绕点 B 顺时针旋转 使点 E 在 ABC 的外部 如图 3 请直接写 出 AD CE 的数量关系及位置关系 精品文档 19欢迎下载 解 解 1 证明 如图图 1 所示 在 ABD 和 CBE 中 ABD CBE SAS AD CE BAD BCE BCE BEC 90 AEF BEC BAD AEF 90 AFE 90 AD CE 2 1 中的结论 AD CE AD CE 仍然成立 理由为 证明 如图图 2 所示 ABC DBE 90 ABC ABE DBE ABE 即 ABD CBE 在 ABD 和 CBE 中 ABD CBE SAS AD CE BAD BCE BCE BOC 90 AOF BOC BAD AOF 90 AFE 90 AD CE 3 AD CE AD CE 理由为 证明 如图图 3 所示 设 AF 和 BC 相交于点 M ABC DBE 90 ABC DBC DBE DBC 即 ABD CBE 在 ABD 和 CBE 中 精品文档 20欢迎下载 ABD CBE SAS AD CE BAD BCE BAD AMB 90 AMB CMF BCE CMF 90 AFC 90 AD CE 6 在 Rt ABC 中 ACB 90 A 30 点 D 是 AB 的中点 DE BC 垂足为点 E 连接 CD 1 如图 1 DE 与 BC 的数量关系是 2 如图 2 若 P 是线段 CB 上一动点 点 P 不与点 B C 重合 连接 DP 将线段 DP 绕点 D 逆时针旋转 60 得到线段 DF 连接 BF 请猜想 DE BF BP 三者之间的数量关系 并证 明你的结论 3 若点 P 是线段 CB 延长线上一动点 按照 2 中的作法 请在图 3 中补全图形 并直 接写出 DE BF BP 三者之间的数量关系 解 解 1 ACB 90 A 30 B 60 点 D 是 AB 的中点 DB DC DCB 为等边三角形 DE BC DE BC 2 3 2 BF BP DE 理由如下 3 32 精品文档 21欢迎下载 线段 DP 绕点 D 逆时针旋转 60 得到线段 DF PDF 60 DP DF 而 CDB 60 CDB PDB PDF PDB CDP BDF 在 DCP 和 DBF 中 DCP DBF SAS CP BF 而 CP BC BP BF BP BC DE BC 2 3 BC DE 3 32 BF BP DE 3 32 3 如图 与 2 一样可证明 DCP DBF CP BF 而 CP BC BP BF BP BC BF BP DE 3 32 点评 点评 本题考查了全等三角形的判断与性质 判断三角形全等的方法有 SSS SAS ASA AAS 全等三角形的对应边相等 也考查了等边三角形的判断与性质以及含 30 度的直角三角形三边的关系 第四章第四章第四章第四章 因式分解因式分解因式分解因式分解 因式分解的定义 因式分解的定义 把一个多项式化为几个整式的积的形式 这种变形叫做把这个多项式 因式分解 也叫分解因式 由此可见 分解因式分解因式 和和 因式分解因式分解 实质是一样的 是一实质是一样的 是一 回事 回事 分解因式时一定要分到不能分解为止分到不能分解为止 如 不能再分解了 再如 还 2 yx 22 4 a 可以分解为 22 2 2 aa 分解因式的方法 提公因式法 提公因式法 公式法 平法差公式公式法 平法差公式 完全平方公式 完全平方公式 十字相乘 法 十字相乘法 精品文档 22欢迎下载 简单的概括为 把多项式中第一个和第三个数竖着写成相乘的形式 然后再十字相乘 相 加 要等于多项式里中间的那个数 最后横着分解出来即可 如上图 1 下列从左边到右边的变形 是因式分解的是 D D A 12a2b 3a 4abB x 3 x 3 x2 9 C 4x2 8x 1 4x x 2 1D 4143 2 xxxx 2 下列各组代数式中没有公因式的是 B B A 4a2bc 与 8abc2 B a3b2 1 与 a2b3 1 C b a 2b 2与 a 2b a 2 D x 1 与 x2 1 3 将 x4 3x2 x 提取公因式 x 后 剩下的因式是 13 3 xxx 4 若 4a4 ka2b 25b2是一个完全平方式 则 k 20 20 提示 完全平方式有两个 中间是 2ab 5 若一个正方形的面积是 9m2 24mn 16n2 则这个正方形的边长是 nm43 6 已知x2 y2 4x 6y 13 0 则x 2 2 y 3 3 提提示示 0 3 2 22 yx 7 若 那么的值为 4 4034 2 xx5123 2 xx 提示 提示 由得 034 2 xx34 2 xx45 4 35123 22 xxxx 8 已知 119 21 2499 则 119 21 2498 21 等于 2121 322 提示 提示 119 21 21 2498 21 2499 21 2498 21 21 2499 2498 21 222222 9 多项式可以分解为 则的值为 C C mxx 4 2 7 3 xxm A 3 B 3 C 21 D 21 10 若 则 n 等于 B B 32 32 94 81 2 2 xxxx n A 2 B 4 C 6 D 8 11 分解因式 我只写了答案 在答卷子时一定要写过程 我只写了答案 在答卷子时一定要写过程 2 2 2 41aa 2 1 a 2 1 a 精品文档 23欢迎下载 22 8168ayaxyax 2 8yxa 1 9x3 6x2 x 2 13 xx a4 8a2 16 22 2 2 aa 42 33ayax 3 22 yxyxa 4 4 2 baba 2 2 ba 12 计算 2010200820092 1120092009 12009 12009 2009 222 20142 16 8 2014 20142 8 2014 16 2010 4040100 2 42014 2 9992 1002 998 19954 1000999 1000999 41000999 21000 21000 999 222 13 1 利用因式分解说明 能被 210 整除 127 636 证明 证明 111112212121221214127 6 2106 6 35 6 35 16 66 6 666636 能被 210 整除 127 636 2 若是 ABC 的三边 且 试探索 ABC 的形状 并说cba bcacabcba 222 明理由 解 解 bcacabcba 222 2 2 222 bcacabcba 0 2 2 2 222222 cbcbcacababa 0 222 cbcaba 解得 a b a c b c a b c ABC 为等边三角形 14 已知多项式 a2 ka 25 b2 在给定k的值的条件下可以因式分解 1 写出常数k可能给定的值 答案答案 k 10 k 10 2 针对其中一个给定的k值 写出 因式分解的过程 解 解 当 k 10 时 原式 22 5 ba 5 5 baba 精品文档 24欢迎下载 15 两位同学将一个二次三项式分解因式 一位同学因看错了一次项系数而分解成 2 x 1 x 9 另一位同学因看错了常数项而分解成 2 x 2 x 4 请将原多项式 分解因式 解 解 因看错一次项 分解为 所以二次项和常数项对 因看错常数项 分解为 所以二次项和一次项对 所以原多项式为 16 仔细阅读下面例题 解答问题 例题 已知二次三项式 x2 4x m 有一个因式是 x 3 求另一个因式以及 m 的值 解 设另一个因式为 x n 得 x2 4x m x 3 x n 则 x2 4x m x2 n 3 x 3n 解得 n 7 m 21 另一个因式为 x 7 m 的值为 21 问题 仿照以上方法解答下面问题 已知二次三项式 2x2 3x k 有一个因式是 2x 5 求另一个因式以及 k 的值 解 解 设另一个因式为 x m 得 2x2 3x k 2x 5 x m 2x 2m 5 x 5m 2m 5 3 5m k 解得 m 4 k 20 另一个因式为 x 4 17 根据条件 求下列代数式的值 1 若 x y 1 y x 1 4 求的值 解 解 x y 1 y x 1 4 xy x xy y 4 y x 4 162 222 xxyyxy xyyx216 22 8 2 216 2 22 xy xy xy yx 2 若 a b 5 ab 3 求代数式 a3b 2a2b2 ab3的值 精品文档 25欢迎下载 3 利用 配方法 分解因式 a2 6a 8 解 解 原式 2 4 1 3 196 22 aaaaa 4 若 a b 5 ab 6 求 a4 b4的值 解 解 256x4 125 4 2 4 2222222222244 ababbabababa 第五章第五章 分式及分式方程分式及分式方程分式及分式方程分式及分式方程 分母上含有字母的式子叫分式 不要约分 直接进行判断 如 也是分式 x x25 分式的基本性质 给分式的分子和分母都乘以 或除以 同一个不为零的整式 分式的 值不变 分式有意义 使分母不为零 分子有意义 主要是分子中含有平方根的情况 如 则 4x 5 0 2 154 x x x 2 0 解得 x 且 x 2 4 5 分式值为零 分式值为零 分子为零 且分母不为零 最简分式 最简分式 分子分母不能再进行约分的分式叫最简分式 分母中含有未知数的等式叫分式方程 解分式方程时 解完后一定要检验 解分式方程时 解完后一定要检验 若算出的解使公分母为零 则该解为分式方程的增 根 若算出的解使公分母不为零 则该解为分式方程的根 增根 增根 使公分母为零的根 或解 1 已知有理式 x2 4 其中分式有 B B A 2 个 B 3 个 C 4 个 4 x a 4 1 x y 3x 4 1 2 1 a D 5 个 在盒子里放有三张分别写有整式a 1 a 2 2的卡片 从中随机抽取两张卡片 把两张卡 片上的整式分别作为分子和分母 则能组成分式的概率是 C C A B C 6 1 3 1 3 2 D 4 3 2 使分式有意义的 x 取值范围是 D D A B C D 2 x x 0 x2 x2 x 2 x 若 y 与 x 的函数关系式是 y 则自变量 x 取值范围 1 2 x 1 x 3 若分式中的 x y 的值都变为原来的 3 倍 则分式的值 A A yx yx 精品文档 26欢迎下载 A 不变 B 是原来的 3 倍 C 是原来的 D 是原来的 3 1 6 1 4 若将分式中的a与b的值都扩大为原来的 2 倍 则这个分式的值将 C C 2 4a ba A 扩大为原来的 2 倍 B 分式的值不变 C 缩小为原来的 D 缩小为原来的 2 1 4 1 5 下列各式中最简分式是 B B A B C D b a 15 12 16 2 x x 33 1 x x a a5 6 若分式的值为零 则x的值为 1 1 1 1 2 x x 7 若关于 x 的方程产生增根 则m是 A A A 4 B 2 C 3 D 1 2 1 2 1 x m x x 若关于的分式方程无解 则 m 的值为 x 3 2 3 2 x m x x 3 8 若 3 则 3 3 若 则 a b c d e f g h a c e g b d f h m n 2 3 m n n 3 5 9 若 则 034 yx y yx 4 1 提示 提示 利用特殊值法 让 x 3 y 4 10 如果 3 yx4 xy yxyx yxy 323 22x 那么 17 2 11 计算的结果是 1 1 a a a a 1 1 a 12 有一组数是 1 则第 100 个数是 4 3 3 2 8 5 200 101 解 解 1 4 3 3 2 8 5 2 2 4 3 6 4 8 5 n n 2 1 第 100 个数是 200 101 13 符号 称为二阶行列式 规定它的运算法则为 请你根据上述 cd ab bcad cd ab 规定求出下列等式中的的值 1 则 4 4 x 1 1 1 1 12 xx x 精品文档 27欢迎下载 解 解 由题意得 1 1 1 1 2 xx 解得 x 4 经检验 x 4 是原方程的根 14 计算题 我只写了答案 在考试时一定要写过程 我只写了答案 在考试时一定要写过程 1 2 1 1 2 1 4 2 2 mmm m 1 1 m 2 0 aa aa aa a1 3 3 96 9 2 2 2 3 22 22 442 1 yxyx yx yx yx yx y 4 x x xx xx x 2 2 12 1 2 2 2 1 2 x x 5 先化简 再求值 其中 xx x xx x xx x 4 16 44 1 2 2 2 2 22 22 x 解解 原式 将代入得 原式 2 2 1 x 22 x 2 1 先化简再求值 其中 x 2 2 44 4 2 2 x x xx x 2 解解 原式 将 x 代入得 原式 4 8 2 x x 224 6 若 且 求的值 6 5 43 2 cba 2132 cbacba 34 解 解 设 k 则 a 3k 2 b 4k c 6k 5 6 5 43 2 cba 2 3k 2 4k 3 6k 5 21 解得 k 2 a 4 b 8 c 7 1cba 34 7 已知 求 的值 11 1 1 42 x B x A xx x AB 精品文档 28欢迎下载 解 解 1 1 1 1 1 1 11 1 1 42 xx BAxBA xx xBxA x B x A xx x A B 2 A B 4 解得 A 1 B 3 15 解方程 我只写了答案 在考试时一定要写过程 我只写了答案 在考试时一定要写过程 1 53 1 6 xx x xx 解得 x 1 经检验 x 1 是原方程的增根 1 6 1 3 1 2 2 xxx 解得 x 1 经检验 x 1 是原方程的增根 xx x 2 1 2 3 解得 x 2 经检验 x 2 是原方程的增根 16 分式方程应用题 1 在一段坡路 小明骑自行车上坡的速度为每小时V1千米 下坡时的速度为 每小时V2千米 则他在这段路上 下坡的平均速度是每小时 C C A 千米 B 千米 C 千米 D 无法确定 2 21 vv 21 21 vv vv 21 21 2 vv vv 解 解 设上坡的路程为 S 千米 则下坡路程也为 S 千米 由题意得 21 2 v s v s s 21 21 2 vv vv 2 一项工程 A单独做m小时完成 A B合作20小时完成 则B单独做需 小时完成 20 20 m m 解 解 由题意得 20 20 1 20 1 1 m m m 精品文档 29欢迎下载 3 我市从今年 1 月 1 日起调整居民用水价格 每立方米水费上涨 小明家去 3 1 年 12 月份的水费是 15 元 而今年 7 月份的水费则是 30 元 已知小明家今年 7 月份的用水量比去年 12 月份的用水量多 5 立方米 求该市今年居民用水的价 格是每立方米多少元 解 解 设去年的水费为每立方米 x 元 则今年为每立方米x 元 由题意得 3 4 x x 3 4 30 5 15 解得 x 2 3 经检验 x 是原方程的根且符合题意 2 3 今年居民用水的价格是每立方米 2 元 2 3 3 4 答 4 小明带 15 元钱请朋友喝饮料 如果买一种 A 饮料 正好付 15 元且自己可以 多喝一瓶 但售货员建议他买一种新口味的 B 饮料 这种 B 饮料比 A 饮料价格 高出 因此 他也只能喝一瓶 问这两种饮料的价格各是多少 4 1 解 解 设买 A 饮料所需钱为 x 元 买 B 饮料所需钱为x 元 4 5 x x 4 5 15 1 15 解得 x 3 经检验 x 3 为原方程的根且符合题意 B 种饮料的价格是 3 3 75 元 4 5 答 A 饮料的价格是 3 元 B 饮料的价格是 3 75 元 5 甲 乙两人都从A地出发到B地 已知两地相距50千米 且乙的速度是甲速度 的2 5倍 现甲先出发1小时30分 乙再出发 结果乙反而比甲早到1小时 问两 人速度各是多少 解 解 设甲的速度为 x 千米 小时 则乙的速度为 2 5x 千米 小时 由题意得 精品文档 30欢迎下载 15 1 5 2 5050 xx 解得 x 12 经检验 x 12 为原方程的根且符合题意 乙的速度 12 2 5 30 千米 小时 答 6 为了支援四川人民抗震救灾 某休闲用品有限公司主动承担了为灾区生产2 万顶帐篷的任务 计划10天完成 1 按此计划 该公司平均每天应生产帐篷 20002000顶 2 生产2天后 公司又从其它部门抽调了50名工人参加帐篷生产 同时 通 过技术革新等手段使每位工人的工作效率比原计划提高了25 结果提前2天完 成了生产任务 求该公司原计划安排多少名工人生产帐篷 解 解 1 2000 2 设该公司原计划安排名工人生产帐篷 由题意得 解得 经检验 是所列方程的根 且符合题意 答 该公司原计划安排 750 名工人生产帐篷 第六章第六章 平行四边形平行四边形平行四边形平行四边形 1 平行四边形 平行四边形的定义 两组对边分别平行的四边形叫平行四边形 性质 1 两组对边分别平行 2 两组对边分别相等 3 一组对边平行且相等 4 两组对角分别相等 5 对角线互相平分 判定 证明平行四边形的方法 精品文档 31欢迎下载 1 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 3 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 4 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 5 对角线互相平分的四边形是平行四边形 2 三角形中位线 1 定义 三角形两边中点的连线叫三角形的中位线 2 性质 中位线平行于第三边且等于第三边的一半 推论 过三角形一边的中点且平行于另一边的直线必平分第三边 中点四边形 顺次连接四边形个边中点构成的新四边形 新四边形一定是 平行四边形 3 多边形 如 n 边形有 n 个顶点 n 条边 n 个内角 1 多边形内角和公式 n 2 180 2 所有多边形的外角和都是 360 3 对角线 从一个顶点可以引条对角线 总共有条对角线 3 n 2 3 nn 正多边形 每条边都相等 每个内角都相等 镶嵌 密铺 用形状 大小完全相同的几种或几十种平面图形进行拼接 彼 此之间不留空隙 不重叠地铺成一片 这就是平面图形的密铺 又称做平面图 形的镶嵌 即用整数个全等的图形将一点围成 360 可以有多种图形组合 平行四边形 1 平行四边形具有而非平行四边形的图形不具有的性质是 C C A 内角和与外角和都是 360 B 不稳定性 C 对角线互相平分 D 最多有三个钝角 2 在下列命题中 结论正确的是 B B A 平行四边形的邻角相等 B 平行四边形的对边平行且相等 C 平行四边形的对角互补 D 沿平行四边形的一条对角线对折 这条对角 线两旁的图形能够完全重合 3 下列条件中不能确定四边形 ABCD 是平行四边形的是 A A A AB CD AD BC B AB CD AB CD C AB CD AD BC D AB CD AD BC 4 下列说法 平行四边形的任意一条对角线把平行四边形分成两个全等三角 形 平行四边形的面积等于三角形的面积的 2 倍 平行四边形的两条对角 线把平行四边形分成四个面积相等的小三角形 平行四边形对角线的交点到 一组对边的距离相等 其中正确的个数有 C C A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 5 下列命题中错误的命题是 C C A 3 2的平方根是 3 B 平行四边形是中心对称图形 C 单项式 5x2y 与 5xy2是同类项 D 近似数 3 14 103有三个有效数字 6 已知平行四边形一边长为 10 一条对角线长为 6 则它的另一条对角线 的 取值范围为 B B 精品文档 32欢迎下载 A 4 16 B 14 26 C 12 20 D 以上答案都不正确 解 解 如图 已知平行四边形 ABCD 中 AB 10 AC 6 求 BD 的取值范围 即 a 的取值范围 四边形 ABCD 是平行四边形 a 2OB AC 2OA 6 OB a OA 3 2 1 在 AOB 中 AB OA OB AB OA 即 14 26 点评 点评 考查 三角形两边之和大于第三边 两边之差小于第三边 以及 平行四边形对角 线互相平分 的性质 7 如图 在 ABCD 中 AB 8 AD 6 DAB 30 点 E F 在 AC 上 且 AE EF FC 则 BEF 的面积为 B B A 8 B 4 C 6 D 12 提示 提示 由题意可以算出平行四边形面积为 24 而 ABC 的面积是平行四边形面积的一半 故 ABC 面积为 12 AEB EFB FCB 是三个等底同高的三角形 因此它们面积相等 是 ABC 的面积的 所以 BEF 的面积为 4 3 1 8 在