求极限的方法总结

学号 0 0 学学 年年 论论 文文 求极限的方法总结求极限的方法总结 MethodMethod ofof LimitLimit 学院学院 理学院理学院 专业专业 班级班级 学生学生 指导教师 职称 指导教师 职称 完成时间完成时间 年年 月月 日至日至 年年 月月 日日 广东石油化工学院本科学年论文 求极限的方法总结 2 摘摘 要要 极限的概念是高等数学中最重要 最基本的概念之一 许多重要的概念如连续 导数 定积分 无穷级数的和及广义积分等都是用极限来定义的 因此掌握好求极限 的方法对学好高等数学是十分重要的 但求极限的方法因题而异 变化多端 有时甚 至感到变幻莫测无从下手 通过通过归纳和总结 我们罗列出一些常用的求法 本文 主要对了数学分析中求极限的方法进行一定的总结 以供参考 关键词 关键词 极限 洛必达法则 泰勒展开式 定积分 无穷小量 微分中值定理 精品文档 3欢迎下载 AbstractAbstract The concept of limit is the most important mathematics one of the most basic concepts Many important concepts such as continuity derivative definite integral infinite series and generalized integrals and are defined by the limit So mater the methods the Limit learn mathematics integrals and are defined by the limit varies by title varied anf sometimes even impossible to start very unpredictable and summarized through the adoption we set out the requirements of some commonly used method In this paper the mathematical analysis of the method of seeking a certain limit a summary for reference Keyword Keyword Limit Hospital s Rule Taylor expansion Definite integral Infinitesimal Mean Value Theorem 广东石油化工学院本科学年论文 求极限的方法总结 4 引言引言 极限时分析数学中最基本的概念之一 用以描述变量在一定的变化过程中的终极 状态 早在中国古代 极限的朴素思想和应用就已在文献中有记载 例如 3 世纪中国 数学家刘微的割圆术 就是用圆内接正多边形周长的极限时圆周长这一个思想来近似 地计算圆周率的 随着微积分学的诞生 极限作为数学中的一个概念也就明确提出 但最初提出的这一概念是含糊不清的 因此在数学界引起了不少争论甚至怀疑 知道 19 世纪 由 A L 柯西 K T W 外尔斯特拉斯等人的工作 才将其置于严密的理 论基础之上 从而得到举世一致的公认 数学分析中的基本概念得表述都可以用极限来描述 如函数 y f x 在处 0 xx 倒数的定义 定积分的定义 偏导数的定义 二重积分 三重积分的定义 无穷级数 收敛的定义等都是用极限来定义的 极限时研究数学分析的基本工具 极限时贯穿数 学分析的一条主线 学好极限要学会归纳和掌握求极限的方法 本文主要是对求极限 的方法进行了归纳和总结 第一章第一章 1 1 1 1 利用极限的四则运算法则和简单技巧利用极限的四则运算法则和简单技巧 极限四则元素法则的条件是充分而非必要的 因此 用极限四则运算法则求函数 极限时 必须对所给的函数逐一验证它是否满足极限四则运算的法则条件 如果满足 条件 才能利用极限的四则运算法则进行计算 不满足条件的就不能直接利用极限四 则运算法则求解 但是 并非所有不满足极限四则运算法则条件的函数就没有极限 而是需要将函数进行恒等变形 使其符合条件候再利用四则运算法则求解 而对函数 进行恒等变形时 通常运用一些简单技巧比如拆项 分子分母乘以某一因子 变量代 换 分子分母有理化等等方法即可进行恒等变换 以便于我们计算 极限的四则运算法则叙述如下 定理 1 1 如果 00 xx lim fx lim gx xx A 1 000 lim lim lim xxxxxx f xg xf xg x A 2 000 xx lim fxgx lim fx lim xxxx g x A 3 若 B 0 则 0 0 0 lim lim lim xx xx xx f x f x g xg x A 精品文档 5欢迎下载 4 00 x lim c lim xxx f xcf xc A 5 00 lim lim n n n xxxx f xf x A n 为自然数 上述性质对于也同样成立 1 xxx 由上述的性质和公式我们可以看书函数的和 差 积 商的极限等于函数极限的和 差 积 商 例 1 求 2 2 5 lim 3 x x x 的极限 解 由定理 1 1 中的第三式可以知道 2 2 2 2 2 lim5 5 lim 3lim3 x x x x x xx 2 22 22 limlim5 limlim3 xx xx x x 2 25 9 23 以后遇到类似题目 可以分别求子分母的极限 得到的分式就是结果 例 2 求 3 12 lim 3 x x x 的极限 解 分子分母同时乘以 x12 33 1212 12 limlim 3 312 xx xx x x xx 3 3 lim 312 x x xx 1 4 式子经过化简后就能得到一个只有分母含有未知数的分式 直接求极限即可 例 3 已知 111 1 22 31 n x nn 求lim n n x 广东石油化工学院本科学年论文 求极限的方法总结 6 解 观察 11 1 1 22 111 2 323 111 n1nn 1n 因此得到 111 1 22 31 n x nn 1111111 1 223311nnn 1 1 n 所以 1 limlim 11 n nn x n 1 1 2 2 利用导数的定义求极限利用导数的定义求极限 导数的定义 函数 f x 在附近有定义 则 0 x 00 yf xxf x 如果 0 00 limlim xx fxxfxy xx 存在 则此极限值就称函数 f x 在点的导数记为 0 fx 0 x 即 00 0 0 lim x f xxf x fx x 在这种方法的运用过程中 首先要选好 f x 然后把所求极限都表示称 f x 在定 点 0 x 的导数 例 4 求的极限 2 lim22 x x xctg x 精品文档 7欢迎下载 解 2 lim22 x x xctg x 2 2 11 2 lim22 2 lim 2 2 x x x x tg x tg xtg x x x 2 12 lim 22 x x f xf xf 1 2 1 1 3 3 利用两个重要极限公式求极限利用两个重要极限公式求极限 两个极限公式 1 0 sin lim1 x x x 2 1 lim 1 x x e x 但我们经常使用的是它们的变形 1 sin lim1 0 x x x 2 求极限 1 lim 1 x ex x 3 其中 x 都可以看作整体来看待 其中第一个重要极限是 0 0 型 第二个重要 极限是 1 型 在1 型中满足 外大内小 内外互倒 在利用重要极限求函数极限 时 关键在于把要求的函数极限化成重要极限标准型或者是它们的变形式 这就要求 要抓住它们的特征 并且能够根据它们的特征辨认它们的变形 若用到第一个重要极 限来求极限时 往往要利用三角形公式对变量进行变形 设法化成标准型 所以 要 熟练地掌握三角函数的相关公式 如倍角 半角公式 两角和 差 公式 和差化积 积化和差公 式等 如果是用到第二个重要极限求极限时 有时要对自变量作适当的代 换 使所求的极限变成这一形式 例5 求 的极限 x xxx x 2 0 sin cossin1 lim 广东石油化工学院本科学年论文 求极限的方法总结 8 解 这是型不定式 0 0 上式 xxxx xxx x cossin1 sin cossin1 lim 2 2 0 cossin1 sin sinsin lim 2 2 0 xxxx xxx x cossin1 sincossin1 1 lim 0 xxxx x xxx x 1 2 1 2 1 例6 x x x x 1 0 1 21 lim 解 为了利用极限故把原式括号内式子拆成两项 使得第一项为1 第二ex x x 1 0 1 lim 项和括号外的指数互为倒数进行配平 x x x x 1 0 1 21 lim x x x x 1 0 1 3 1 lim 1 x 13x 3x x 1 x 0 3x lim 1 1x x 3 1 3 3 1 0 1 3 1 lim e x x xx x x 例7 2 0 cos1 lim x x x 解 将分母变形 后再化成 0 0 型 所以 2 0 cos1 lim x x x 2 2 0 2 sin2 lim x x x 2 1 2 2 sin 2 1 lim 2 2 0 x x x 1 1 4 4 利用函数的连续性利用函数的连续性 精品文档 9欢迎下载 因为一切初等函数在其定义区间内都是连续的 所以如果是初等函数 且是 xf 0 x 的定义区间内的点 则 xf lim 0 0 xfxf xx 例8 6 12 arcsinlim 1 x x 解 因为复合函数是初等函数 而x 1 是其定义区间内的点 所以极限值就等 arcsin 于该点处的函数值 因此 6 12 arcsin 6 12 arcsinlim 1 xx x 1 arcsin 26 例9 求x x sinlnlim 2 解 复合函数在处是连续的 所以在这点的极限值就等于该点处的函数xsinln 2 x 值 即有 2 sinlnsinlnlim 2 x x 1ln 2 sinlim 0 1 1 5 5 利用两个准则求极限 利用两个准则求极限 1 1 5 5 1 1 函数极限的迫敛性 夹逼法则 若一正整数 N 当 n N 时 有 nnn xyz 且 limlim nn xx xza 则有 lim n x ya 2 利用夹逼准则求极限关键在于从 n x 的表达式中 通常通过放大或缩小的方法找出两个 有相同极限值的数列 n y和 n z 使得 nnn yxz 222 111 12 n x nnnn 例 10 求 n x的极限 解 因为 n x单调递减 所以存在最大项和最小项 广东石油化工学院本科学年论文 求极限的方法总结 10 2222 111 n n x nnnnnnnn 2222 111 1111 n n x nnnn 则 22 1 n nn x nnn 又因为 22 limlim1 1 xx nn nnn lim1 n x x 1 1 5 5 2 2 单调有界准则 单调有界数列必有极限 而且极限唯一 利用单调有界准则求极限 关键先要证明数列的存在 然后根据数列的通项递推公式 求极限 定理单调上升 或单调下降 有上界 或有下界 的数列必有极限 利用这 一定理来求极限时 首先要研究数列的单调性和有界性 即证明的存在性 n x n n x lim 方法可用数学归纳法或不等式的放缩法 再令 然后解关于 A 的方程 求得 Axn n lim A 的值 从而得出 3 n n x lim 例 11 证明下列数列的极限存在 并求极限 123 n ya yaa yaaayaaaa 证明 从这个数列构造来看 n y 显然是单调增加的 用归纳法可证 又因为 21321 nn yayyayyay 所以得 2 1nn yay 因为前面证明 n y 是单调增加的 两端除以 n y得 1 n n a y y 因为 精品文档 11欢迎下载 1 n yya 则 n a a y 从而 11 n a a y 1 n aya 即 n y 是有界的 根据定理 n y 有极限 而且极限唯一 令 lim n n yl 则有 2 1 limlim nn nn yya 所以 2 lla 又因为 0 n y 解方程得 141 2 a l 所以 141 lim 2 n n a yl 例12 设 11 10 61 2 nn xxxnn 试证数列 n x的极限存在 并求此极限 解 由 1 10 x 及 2 4x 知 12 xx 设对某个正整数k有 1kk xx 则有 211 66 kkkk xxxx 从而由数学归纳法可知 对一切自然数 都有 n 1 nn xx 即数列单调下降 由已知易见即有下界 n x 2 1 0 nxn 根据 单调有界的数列必有极限 这一定理可知存在 广东石油化工学院本科学年论文 求极限的方法总结 12 令对两边取极限 Axn n lim nn xx 6 1 有6A A所以有 2 60A A 解得A 3 或2A 因为 所以 0A 舍去 2A 故 lim3 n n x 2 1 0 nxn 1 1 6 6 利用罗必达法则求未定式的极限利用罗必达法则求未定式的极限 定义 4 1 若当xa 或x 时 函数 f x和 F x都趋于零 或无穷大 则极 限可能存在 也可能不存在 通常称为型和型未定 lim xF xf x ax 0 0 式 例如 型 x x x tan lim 0 0 0 型 bx ax x sinln sinln lim 0 定理 4 1 设 1 当x 时 函数 f x 和 F x都趋于零 2 在 a 点的某去心邻域内 fx和 Fx都存在且 0Fx 3 存在 或无穷大 lim xF xf x ax 则 lim lim xF xf xF xf axax 定义 4 2 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法 称为洛必达法则 罗必达法则只直接适用于 0 0 型未定式0 型未定式通过恒等变形可 化多或型 而 0 0 0 1 型未定式则通过取对数化多或型 因此 在使用罗 0 0 0 0 必达法则时每步都要检查是否符合法则的条件 此外 还应注意及时化简算式 把定 式部分分离出来并求出极限 再对未定式部分使用法则 还应注意的是 应对分子分 精品文档 13欢迎下载 母分别求导 而不是对整个分式求导 洛必达法则是计算不定式极限的重要方法 这种 方法用起来简单有力 需注意的是 要看将 0 x 代入式中时 原式是否为不定式 如果不是 就 不能使用此法则 在重复使用此法则时 必须每步都作检查 一旦发现不是不定式 就要 停止使用 例13 0 lim ln x xx 解 本例属0 未定型 因为 所以是未定型 应用洛必达 ln ln 1 x xx x 0 ln lim 1x x x 法则 得 0 lim ln x xx 000 2 1 ln limlimlim0 11xxx x x x xx 例14 0 limln n x x x 解 0000 1 1 ln limln lim lim lim 0 1 n n xxxx nn xx x xx n n xx 例15 xx xxx x 22 222 0 sin cossin lim 解 43 000 sincos sincos sincossincos lim limlim xxx xxxxxxxxxxxx xxx 2 00 coscossin2sin2 2lim lim 333 xx xxxxx xx 1 1 7 7 用泰勒展式来求极限用泰勒展式来求极限 用此法必须熟记基本初等函数的展开式 它将原来函数求极限的问题转化为求多项 式或有理分式的极限问题 对于和或差中的项不能用其等价无穷小代替的情形 有时 可用项的泰勒展开式来代替该项 使运算十分简便 例16 4 2 0 2 cos lim x ex x x 解 因为 4 2 1cos 4 42 xo xx x 广东石油化工学院本科学年论文 求极限的方法总结 14 2 24 4 2 1 1 2 2 4 x xx eo x 所以 2 44 2 44 00 1 cos1 12 limlim 12 x xx xo x xe xx 例17 1 1ln lim 2 x xx x 解 因为当x 时 所以 1 0 x 1 1 2 11 1 1ln 22 x x o xxx 从而 xox x x 1 2 1 1 1ln 2 于是 11 lim 1 22 x o 1 1 lim 2 x xx x 注意 如果该题利用其他方法就不太好做了 1 1 8 8 利用定积分求极限利用定积分求极限 由于定积分是一个有特殊结构和式的极限 这样又可利用定积分的值求出某一和数的 极限 若要利用定积分求极限 其关键在于将和数化成某一特殊结构的和式 凡每一项 可提1 n 而余下的项可用通式写成n项之和的形式的表达式 一般可用定积分的定义去 求 利用定积分可求如下二种形式的极限 A 型 n n n f n f n f x 2 1 lim 定理7 1 设 f x在 0 1 上可积 则有 1 0 2 1 limdxxf n n n f n f n f x 例18 求极限 n n n nn x 21 lim 解 令 f xx f x在 0 1 上可积 精品文档 15欢迎下载 1 0 12 1 lim 2 x n nnn xdx n B 型 n x n n f n f n f 2 1 lim 定理7 2 若在 0 1 上可积 则 xf 1 0 12 lim ln n x n fffepxf x dx nnn 例19 求 n n n x lim 解 12 lim lim n n xx nn nnnn 令 f xx 则有 1 1 0 12 lim ln n x n epxxdxe nnn n n n x lim 1 1 9 9 利用无穷小的性质求极限利用无穷小的性质求极限4 4 我们知道在某一过程中为无穷大量的倒数是无穷小量 有界函数与无穷小量的乘积 仍是无穷小量 利用这两个定理可以求出某些函数的极限 例20 23 74 lim 2 1 xx x x 解 当 1x 时分母的极限为0 而分子的极限不为0 可先求出所给函数的倒数是无 穷大量 0 23 74 lim 2 1 xx x x 74 231 利用无穷小量的倒数是无穷大量 故 23 74 lim 2 1 xx x x 例21 极限 x x x x sin 1 sin lim 2 0 解 x x x x sin 1 sin lim 2 0 0 1 limsin sin x x x xx 广东石油化工学院本科学年论文 求极限的方法总结 16 因为 1 sin lim 0 x x x 当 0 x 时 x为无穷小量 为有界量 1 sin x 故 0 1 sinlim 0 x x x 所以原式 0 例22 求极限 3 1 sin lim 1 x x x x 解 因为 1 sin1 x 所以是有界函数 x 1 sin 0 1 lim 3 x x x 故在x 时是无穷小量 3 1x x 利用无穷小量与有界函数的乘积还是无穷小量 所以 0 1 1 sin lim 3 x x x x 1 1 1010 利用等价无穷小的代换求极限利用等价无穷小的代换求极限 利用等价无穷小代换求函数的极限时 一般只在以乘除形式出现时使用 若以和 差形式出现时 不要轻易代换 因为经此代换后 往往会改变无穷小之比的阶数 故 此慎用为好 常见等价无穷小量 0 x 等价无穷小有重要性质 设 xxxexxx x arctan arcsin 1 1ln tan sin 且存在 则 这个性质表明 求两个无穷小量之比 lim lim lim 的极限时 分子 分母均可用等价无穷小量之比的极限时 分子 分母均可用等价无穷小 量代替 从而使计算大大简化 5 例23 极限 x xtg x 5sin 3 lim 0 解 当时 0 xxxxxtg5 5sin 3 3 x x x xtg xx 5 3 lim 5sin 3 lim 00 5 3 精品文档 17欢迎下载 例21 求极限 3 0 2sinsin2 lim x xx x 解 3 0 2sinsin2 lim x xx x 2 0 cos1 2sin lim x x x x x 11lim 2 2 0 x x x 错误的解法是 错在对加减中的某一项进行了 0 22 lim 2sinsin2 lim 3 0 3 0 x xx x xx xx 等价无穷小代换 1 1 1111 利用级数收敛的必要条件求极限利用级数收敛的必要条件求极限6 6 给出一数列 对应一个级数若能判定此级数收敛 则必有 由 n u 1n n u 0lim n n u 于判别级数收敛的方法较多 因而用这种方法判定一些以零为极限的数列极限较多方 便 例24 求极限 1 1 1 1 lim xx n naaa n n 解 设级数 0 1 1 n n x n naaa 其中 n n x n naaa u 1 1 1 1 1 1 1 n n x n nanaaa u x n na u u n n n n 1 limlim 1 1 x 由达朗贝尔判别法知级数收敛 再由级数收敛的必要条件可知 0lim n n u 1 1 0 1 1 lim xx n naaa n n 例25 求极限 n n n n n 2 lim 解 设 n n n n n n u 2 lim 广东石油化工学院本科学年论文 求极限的方法总结 18 级数为项级数 1n n un2 由比值审敛法 2 1 1 2 lim2lim 1 1 n n n n u u n nn n n n n n n n n 1 2lim n n n 1 1 1 2lim 1 2 e 所以 收敛 1 2 n n n n n 故 0 n n n n n 2 lim 1 1 1212 利用极限定义验证极限利用极限定义验证极限 用极限定义验证极限 是极限问题的一个难点 做这类题目的关键是对任意给定 的正数 如何找出定义中所说的N或 确实存在 这实际上是利用逆推的方法论证问 题 可以培养逆向思维能力 例26 证明 0 1 22 a n an 证 由于 n nan n an 2222 1 22 2 nann a 2 22 2 n a nnn a 对于要使0 1 22 n an 只要使 精品文档 19欢迎下载 2 2 2 2 n a 即 2 a n 取 2 a N 则 当时 Nn 就有成立 1 22 n an 即 1 22 n an 例27 1 1 lim 35 5 nn n n 证 任给要找 使时 有0 NNn 1 1 35 5 nn n 即 1 1 35 3 nn n 显然 当较大时 如 有n2 n 2 1 1 11 1 1 1 1 2 5 3 52 5 3 35 5 n n nn n n nn n 广东石油化工学院本科学年论文 求极限的方法总结 20 2 1 3 4 n 因此要使成立 1 1 35 3 nn n 当n 2时 只要 2 1 3 4 n 即 或 3 4 2 n 3 4 n 这样一来 取 则当n N时 3 4 2max N 则有及 2 n 3 4 n 因此上述各式成立 证毕 1 1 1313 涉及单侧极限与双侧极限的问题涉及单侧极限与双侧极限的问题 例 28 求函数在处的左右极限 并说明在处是否有极限 1 1 x x xf1 x 1 x 解 2 1 1 1 lim lim 11 x x xf xx 0 1 1 1 lim lim 11 x x xf xx 因为 lim lim 11 xfxf xx 所以 f x 在 x 1 处的极限不存在 利用该方法就极限时 只有当左右极限存在且相等是才能说明极限是存在的 注 本例是的直接应用 axfxfaxf xxxx xx lim lim lim 00 0 1 1 1414 利用微分中值定理和积分中值定理求极限利用微分中值定理和积分中值定理求极限 精品文档 21欢迎下载 例29 3 sin 0 22 lim x xx x 解 因为 3 sin 3 sin sin sin 2222 x xx xxx xxxx 由微分中值定理 介于与之间 2ln2 sin 22 sin xx xx xxsin 原式 3 0 sin 0 sin lim sin 22 lim x xx xx x xx x 2 00 3 cos1 lim 2ln2 lim x x x 6 2ln 1 1 1515 利用柯西准则