概率论与数理统计第一章.ppt

概率论与数理统计 大学数学 二 样本空间第一讲事件间的相互关系与运算频率与概率 脚本编写 教案制作 第一节随机现象及随机试验 随机现象几个具体试验随机试验 现实世界中存在的两类现象 一 确定性现象 这类现象的特点是 一旦某些确定的条件给定 某一特定的结果将必定会发生 第一节随机现象 比如 在一个标准大气压下 水在100 时一定沸腾 太阳每天都会从东方升起 西方落下 等等 可以说正是这一类现象的存在 导致了人们相信自然界中一定存在着秩序和规律的信念 这种信念又进一步导致了近代科学的发展 在一定条件下可能出现也可能不出现的现象 实例1在一定条件下掷一枚均匀的硬币 观察正反两面出现的情况 结果有可能出现正面也可能出现反面 一 确定性现象 二 随机现象 不确定现象 太阳每天从东方升起 西方落下 结果有可能为 1 2 3 4 5或6 实例2抛掷一枚骰子 观察出现的点数 实例3从一批含有正品和次品的产品中任意抽取一个产品 其结果可能为 正品 次品 随机现象是不是没有规律可言 No 在一定条件下对随机现象进行大量观测会发现某种规律性 随机现象是通过随机试验来研究的 问题什么是随机试验 如何来研究随机现象 对某事物特征进行观察 统称试验 若试验有如下特点 则称为随机试验 试验前不能预知出现哪种结果 可在相同的条件下重复进行 试验结果不止一个 但能明确所有的结果 用E表示随机试验 第二节样本空间随机事件 样本空间随机事件事件间的关系与事件的运算 样本点e 集合论为表述随机试验提供了一个方便的工具 一 样本空间 实例抛掷一枚骰子一次 观察出现的点数 E1抛掷一枚硬币一次 观察正面 反面出现的情况 E2 将一枚硬币连抛三次 观察出现正反面的情况 HHH HHT HTH THH HTT THT TTH TTT S2 试验的目的决定试验所对应的样本空间 E3 将一枚硬币连抛三次 观察出现正面的次数 0 1 2 3 S3 在具体问题的研究中 描述随机现象的第一步就是建立样本空间 实例抛掷一枚骰子一次 观察出现的点数 观察总机每天9 00 10 00接到的电话次数 投一枚硬币3次 观察正面出现的次数 例给出一组随机试验及相应的样本空间 如果试验是测试某灯泡的寿命 则样本点是一非负数 由于不能确知寿命的上界 所以可以认为任一非负实数都是一个可能结果 故 样本空间 二 随机事件 如在掷骰子试验中 观察掷出的点数 试验的样本空间的子集称为的随机事件 事件B 掷出奇数点 事件A 掷出1点 随机事件 在一次随机试验中可能发生也可能不发生 基本事件 相对于观察目的不可再分解的事件 如在掷骰子试验中 观察掷出的点数 事件Ai 掷出i点 i 1 2 3 4 5 6 由一个样本点组成的单点集 基本事件 事件A 掷出1点 当且仅当集合A中的一个样本点出现时 称事件A发生 如在掷骰子试验中 观察掷出的点数 事件 掷出奇数点 设A为随机事件 如果试验的结果e属于A 则事件A发生 即 样本空间有两个特殊的子集 一个是S本身 由于它包含了所有可能的结果 所以在每次试验中它总是发生的 我们将其称为必然事件 另一个子集是空集 它不包含任何元素 因此在每次试验中都不发生 我们将其称为不可能事件 实例抛掷一枚骰子一次 观察出现的点数 例如 在掷骰子试验中 掷出点数小于7 是必然事件 而 掷出点数8 则是不可能事件 A S 随机事件的关系和运算雷同集合的关系和运算 文氏图 Venndiagram 第二节事件间的相互关系与运算 A包含于B A B S 1 事件的包含 2 事件的相等 且 记A 明天天晴 B 明天无雨 即A中的每个样本点必在B中 事件A与事件B至少有一个发生 发生 A与B的和事件 S 3 事件的并 和 集合论中的含义 e A或e B 概率论中的含义 事件A或事件B发生 集合论中的含义 概率论中的含义 事件发生 S A B AB A与B的积事件 4 事件的交 积 或 例1设有n座桥梁如下图所示串联而成 用A表示事件 L至R是通路 Ai表示 第i座桥梁是畅通的 i 1 2 n 则有 如果这n座桥梁如下图所示是并联而成的 用A表示事件 L至R是通路 Ai表示 第i座桥梁是畅通的 i 1 2 n 则有 A与B的差事件 5 事件的差 S 差化积 符号 或 集合论中的含义 概率论中的含义 S 6 事件的互不相容 互斥 每次试验A B中有且只有一个发生 A 7 事件的互相对立 互逆 称B为A的逆事件 or对立事件 记为 注意 A与B互相对立 互逆 与 A与B互不相容 互斥 是不同的概念 两事件A B互斥 两事件A B互逆或互为对立事件 即A与B不可能同时发生 除要求A B互斥 外 还要求 S S C S C 交换律 结合律 分配律 反演律 例1设A B C为三个事件 则 1 事件 A与B发生而C不发生 可以表示为 2 A B C至少有两个发生 可以表示为 3 A B C恰好发生两个 可以表示为 4 A B C中至多有一个发生 可以表示为 例4利用事件关系和运算表达多个事件的关系 A B C都不发生 A B C不都发生 则 I II III B C D 例3如图所示的电路中 A表示 信号灯亮 B C A D表示继电器接点I II III闭合 该例表明 在实际问题中 事件之间相互关系的确定有时不必借助于集合 而只须从概率论本身的含义出发即可 第三节频率与概率 频率的定义概率的定义 研究随机现象 不仅关心试验中会出现哪些事件 更重要的是想知道事件出现的可能性大小 也就是事件的概率 概率是随机事件发生可能性大小的度量 事件发生的可能性越大 概率就越大 第三节频率与概率 首先 就像一根木棒有长度 一块土地有面积一样 对于一个随机事件来说 它发生可能性大小的度量也是客观存在的 因此 概率作为随机事件发生可能性大小的度量 应该是随机事件自身的一个属性 例抛一枚质地均匀的硬币 问正面朝上的概率是多少 答案凭直觉就可以给出 它应该是1 2或50 这就涉及到概率的 测量 问题 问题是 这个数字1 2是怎么来的 能证明吗 一个事件在某次试验中的出现具有偶然性 但在大 量重复试验中随机事件的出现呈现一定的数量规律 频率这一概念近似反映了这个数量规律 定义1设A为随机试验E中某一事件 在相同条件进行 n次独立重复试验 事件A发生的次数记为 称为A的频率 frequency 一 频率 则比值 某人一共听了16次 概率统计 课 其中有12次迟到 记A 听课迟到 则 频率反映了事件A发生的频繁程度 结论 当n较小时 频率呈偶然性 波动性很大 随着n的增加 波动幅度减小 最后集中在某一个数附近 这种现象称为频率稳定性 也就是通常所说的统计规律性 频率稳定值 即概率的统计定义 概率的统计定义 在相同条件下重复进行的n次 试验中 事件A发生的频率稳定地在某一 常数p附近摆动 且随n越大摆动幅度越 小 则称p为事件A的概率 记作P A 优点 直观易懂 缺点 粗糙模糊 不便使用 但在此基础上建立起了概率论的宏伟大厦 在学习平面几何时 我们已经知道公理是数学体系的基础 柯尔莫哥洛夫提出概率的公理为数很少且极为简单 数学上所说的 公理 就是一些不加证明而公认的前提 然后以此为基础 推演出所讨论对象的进一步的内容 概率的公理化定义 当随机试验的样本空间是某个区域 则事件A的概率可理解为 概率思想的几何化 1 0 P A 1 2 P S 1 A S 对于必然事件 由概率的三条公理 我们可推导出概率的若干重要性质 它们在计算概率时很有用 尤其是加法公式 容的事件 则有 由概率的三条公理 我们可以推导出概率的若干性质 下面我们就来给出概率的一些重要性质 性质1 A S 性质2 有限可加性 若是一组两两不相容的事件 则有 证利用可列可加性及性质1 令 容的事件 则有 性质3 证明 由可加性知 移项即得结论 推论 2 对任意事件A 有 性质3 证明 由可加性知 移项即得结论 注 若没有条件 则公式应改为 性质3设 则有 注 一般的 有 S B AB A A B S 性质4 逆事件的概率 证明 对任何事件A 有 由规范性及可加性 性质5 加法公式 证明 对任意两事件A B 有 由性质3得 加法公式 对于任意两个事件A B有 该性质可推广到多个事件的和 S B A 上述公式有时又被称为多除少补原理 加法公式 S B AB A 同时 我们称 为减法公式 S B AB A 例3某人外出旅游两天 据天气预报知 第一天下雨的概率为0 6 第二天下雨的概率为0 3 两天都下雨的概率为0 1 试求 第一天下雨 第二天不下雨的概率 解 设A 第一天下雨 B 第二天下雨 则 步骤 1 用符号表达相关的事件 2 找出事件间的相互关系 并用符号表示 3 利用概率的性质或公式计算所求的概率 画图 S B AB A 例7甲 乙两城市在某季节内下雨的概率分别为0 4和0 35 而同时下雨的概率为0 15 问在此季节内甲 乙两城市中至少有一个城市 P A B P A P B P AB 0 4 0 35 0 15 0 6 下雨的概率 解 令A 甲城下雨 B 乙城下雨 按题意所要求的是 例3已知 求A B C中至少有一个发生 解 的概率 例4已知 解 求的概率 请同学们自己找书看 作业P27 1 1 3 4 3 5 2 7 概率论与数理统计 大学数学 二 第二讲古典概型条件概率乘法公式事件的独立性 脚本编写 教案制作 第四节古典概型 古典概型的定义古典概率的求法举例 2 3 4 7 9 10 8 6 1 5 例如 一个袋子中装有10个大小 形状完全相同的球 将球编号为1 10 把球搅匀 蒙上眼睛 从中任取一球 一 引例 第四节古典概型 因为抽取时这些球是完全平等的 我们没有理由认为10个球中的某一个会比另一个更容易取得 也就是说 10个球中的任一个被取出的机会是相等的 均为1 10 1 3 2 4 5 6 7 8 9 10 10个球中的任一个被取出的机会都是1 10 2 3 4 7 9 10 8 6 1 5 概率论所讨论的问题中 有一类问题最简单直观 这类问题所涉及到的试验具有下面两个特征 1 试验的样本空间的元素只有有限个 2 试验中每个基本事件发生的可能性相同 把具有上述两个特征的试验称为等可能概型或古典概型 例如 抛一枚质地均匀的硬币 或者出现正面或者出现反面 只有两种结果 且每种结果出现的可能性相同 又如抛一颗骰子 观察出现的点数 则共有6种结果 且每一种结果出现的可能性相同 定义 二 古典概型中事件概率的计算 记A 摸到2号球 P A P A 1 10 记B 摸到红球 P B P B 6 10 2 因此 要计算一个事件的概率 关键是要计算样本空间所含的基本事件总数n和该事件所含的基本事件数k 解 例1投两次骰子 事件A 点数之和为3 求 解 36个 第一次投出的骰子的点数可以是 第二次投出的骰子的点数可以是 样本空间 因此样本空间基本事件的总数是 方法 分别计算A和 的样本点个数 当样本空间 的元素 较少时 先一一列出 和A中的元素 直 复杂的问题需用排列组合方法求A和 的样本点个数 例4 某教研室共有11名教师 其中男教师7人 现 在要选3名优秀教师 问其中至少有一女教师概率 解 设A 3名优秀教师中至少有一名女教师 3名优秀教师中恰有名女教师 则 方法二设B 3名优秀教师全是男教师 信封 信 钥匙 门锁 生日 365个盒子 人 第五节条件概率 条件概率乘法公式独立性的概念在计算概率中的应用 在解决许多概率问题时 往往需要在有某些附加条件下求事件的概率 1 条件概率的概念 如在事件A发生的条件下求事件B发生的概率 将此概率记作P B A 第五节条件概率 P B 1 6 例如 掷一颗均匀骰子 B 掷出2点 A 掷出偶数点 P B A 已知事件A发生 此时试验所有可能结果构成的集合就是A P B A 1 3 A中共有3个元素 它们的出现是等可能的 其中只有1个在集B中 于是 容易看到 P B A P B 3 10 又如 10件产品中有7件正品 3件次品 7件正品中有3件一等品 4件二等品 现从这10件中任取一件 记 A 取到正品 B 取到一等品 P B A 则 上述式子具有普遍性吗 B 由于A已经发生 故A变成了新的样本空间 条件概率P B 与P B 的区别 设B是随机试验的一个事件 则P B 是在随机试验中事件B发生的可能性大小 而条件概率P B A 是在 A已经发生 这个条件下B发生的可能性大小 即P B A 仍是概率 可以验证 条件概率仍然满足概率的三条公理 2 从加入条件后改变了的情况去算 4 条件概率的计算 1 用定义计算 P A 0 P B A A发生后的缩减的样本空间中所含样本点总数 在缩减的样本空间中B所含样本点个数 P B A 例1掷两颗均匀骰子 已知第一颗掷出6点 问 掷出点数之和不小于10 的概率是多少 解法1 解法2 解设B 掷出点数之和不小于10 A 第一颗掷出6点 应用定义 在A发生后的缩减的样本空间中计算 由于是不放回抽样 所以有 由定义 注意P AB 与P B A 的区别 请看下面的例子 指 同时发生的概率 例2甲 乙两厂共同生产1000个零件 其中300件是甲厂生产的 而在这300个零件中 有189个是标准件 现从这1000个零件中任取一个 问这个零件是甲厂生产的标准件的概率是多少 所求为P AB 甲 乙共生产1000个 189个是标准件 300个甲厂生产 设A 零件是甲厂生产 B 是标准件 A的发生 在P AB 中作为结果 若改为 已经发现它是甲厂生产的 问它是标准件的概率是多少 求的是P B A 例2甲 乙两厂共同生产1000个零件 其中300件是甲厂生产的 而在这300个零件中 有189个是标准件 现从这1000个零件中任取一个 甲 乙共生产1000个 189个是标准件 300个甲厂生产 A的发生 在P AB 中作为结果 在P B A 中作为条件 设A 零件是甲厂生产 B 是标准件 二 乘法公式 由条件概率的定义 即若P B 0 则P AB P A B P B 1 若已知P B P A B 时 可以反求P AB 若P A 0 则P AB P B A P A 2 对称地有 1 和 2 式都称为乘法公式 利用它们可计算两个事件同时发生的概率 即积事件发生的概率 定理设 则有 推广 其中 条件概率 证 且 即 5个球迷只有一张入场券 大家都想去 只好用抽签的方法来解决 5张同样的卡片 只有一张上写有 入场券 其余的什么也没写 将它们放在一起 洗匀 让5个人依次抽取 后抽比先抽的确实吃亏吗 一场精彩的足球赛将要举行 先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大 大家不必争先恐后 你们一个个按次序来 抽到 入场券 的机会都一样大 到底谁说的对呢 让我们用概率论的知识来计算一下 每个人抽到 入场券 的概率到底有多大 我们用Ai表示 第i个人抽到入场券 i 1 2 3 4 5 我们用Ai表示 第i个人抽到入场券 i 1 2 3 4 5 显然 P A1 1 5 也就是说 第1个人抽到入场券的概率是1 5 表示 第i个人未抽到入场券 则 对于 若第2个人抽到了入场券 第1个人肯定没抽到 由乘法公式 计算得 同理 第3个人要抽到 入场券 必须第1 第2个人都没有抽到 1 3 3 4 4 5 1 5 继续做下去就会发现 每个人抽到 入场券 的概率都是1 5 抽签不必争先恐后 所以第2个人抽到入场券的概率也是1 5 所以第3个人抽到入场券的概率也是1 5 因此 1 4 4 5 1 5 二 乘法公式 条件概率的链式法则 由条件概率的定义 可直接得到下面的乘法公式 推广 第五节事件的独立性 什么是事件的独立性呢 所谓两个事件A与B相互独立 直观上说就是它们互不影响 说得更明确一点 就是事件A发生与否不会影响事件B发生的可能性 事件B发生与否不会影响事件A发生的可能性 显然P B A P B 这就是说 已知事件A发生 并不影响事件B发生的概率 这时称事件A B独立 一 两事件的独立性 A 第一次掷出6点 B 第二次掷出6点 先看一个例子 将一颗均匀骰子连掷两次 设 由乘法公式知 当事件A B独立时 有P AB P B P A 用P AB P A P B 刻划独立性 比用P B A P B 更好 因为它不受P A 0的制约 P AB P B A P A 显然P B A P B 这就是说 已知事件A发生 并不影响事件B发生的概率 这时称事件A B独立 请问 如图的两个事件是相互独立的吗 而P A 0 P B 0 故A B相互不独立 由于互不相容 P AB 0 即P AB P A P B 互不相容 相互独立 例从一副不含大小王的扑克牌中任取一张 记A 抽到K B 抽到的牌是黑色的 可见 P AB P A P B 由于P A 4 52 1 13 故事件A B相互独立 问事件A B是否相互独立 解 P AB 2 52 1 26 P B 26 52 1 2 直观上都很容易理解 例4已知 解 求的概率 并且A和B互相独立 定义中前面三个等式只说明这三个事件是两两相互独立的 但是由此并不能将第四个等式推导出来 例3随机投掷编号为1与2的两个骰子 A表示1号骰子向上一面出现奇数B表示2号骰子向上一面出现奇数C表示两骰子出现的点数之和为奇数 则 但 在实际问题中 常常不是用定义来判断独立性的 而更多的是利用独立性来计算事件乘积的概率的 独立性更多的是根据实际意义来判断 四个等式同时成立 则称事件A B C相互独立 对独立事件 许多概率计算可得到简化 三 独立性的概念在计算概率中的应用 例2三人独立地去破译一份密码 已知各人能译出的概率分别为1 5 1 3 1 4 问三人中至少有一人能将密码译出的概率是多少 解 将三人编号为1 2 3 所求为 记Ai 第i个人破译出密码 i 1 2 3 在计算一些事件和的概率 即计算若干个事件中至少有一个事件发生的概率时 用对立事件的性质比较方便 特别是这些事件相互独立的时候 利用独立事件的性质计算其并事件的概率 若A1 A2 An相互独立 则 n个相互独立事件至少有一个发生的概率 1 各自对立事件概率的乘积 即 证记 则 此例说明 虽然小概率事件在一次试验中不太可能发生 但在不断重复该试验时 它迟早会发生 人们常说的 智者千虑 必有一失 多行不义必自毙 等讲的就是这个道理 作业P28 10 14 15 13 18 17 注意题目的考点 25 26 概率论与数理统计 大学数学 二 第三讲全概率公式贝叶斯公式伯努利概型 脚本编写 教案制作 第六节 全概率公式贝叶斯公式 三 全概率公式与贝叶斯公式 全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率 它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用 综合运用 加法公式P A B P A P B A B互斥 乘法公式P AB P B A P A P A 0 有三个箱子 分别编号为1 2 3 1号箱装有1个红球4个白球 2号箱装有2红3白球 3号箱装有3红球 某人从三箱中任取一箱 从中任意摸出一球 求取得红球的概率 解记A 取得红球 A发生总是伴随着B1 B2 B3之一同时发生 其中B1 B2 B3两两互斥 引例 P A P AB1 P AB2 P AB3 代入数据计算得 P A 8 15 运用加法公式得到 即A AB1 AB2 AB3 且AB1 AB2 AB3两两互斥 运用乘法公式得 Bi 球取自i号箱 我们的做法是把样本空间分割成了3个不相交的部分 利用乘法公式可得 这样 事件A也被分割成3部分 即每次至多发生其中一个 即每次至少发生其中一个 B1 B2 B3 B4 B6 B7 B5 B8 划分 B1 B2 B3 B4 B6 B7 B5 B8 B1 Bn AB1 AB2 ABn 全概率公式 A B2 分蛋糕 B1 Bn AB1 AB2 ABn A B2 某一事件A的发生有各种可能的原因Bi i 1 2 n 如果A是由原因Bi所引起 则其发生的概率是 每一原因Bi都可能导致A发生 故A发生的概率是各原因引起A发生概率的总和 即全概率公式 全概率公式的含义 全 部概率P A 被分解成了许多部分之和 在较复杂情况下直接计算P A 不易 但A总是伴随着某个Bi出现 适当地去构造这一组Bi往往可以简化计算 例1市场上有甲 乙 丙三家工厂生产的同一品牌产品 已知三家工厂的市场占有率分别为30 20 50 且三家工厂的次品率分别为3 3 1 试求市场上该品牌产品的次品率 B1 B2 B3分别表示买到 设A 买到一件次品 解 一件甲厂 乙厂 丙厂的产品 被两人击中而击落的概率为0 6 求飞机被击落的概率 三人击中的概率分别为0 4 0 5 0 7 若三人都击中飞机必定被击落 设A 飞机被击落 由全概率公式P A P AB1 P AB2 P AB3 P A B1 P B1 P A B2 P B2 P A B3 P B3 则A AB1 AB2 AB3 解 依题意 P A B1 0 2 P A B2 0 6 P A B3 1 例1三人同时对飞机进行射击 为求P Bi 设Hi 飞机被第i人击中 i 1 2 3 可求得 将数据代入计算得 P B1 0 36 P B2 0 41 P B3 0 14 0 36 0 2 0 41 0 6 0 14 1 0 458 即飞机被击落的概率为0 458 飞机被一人击中而击落的概率为0 2 P A P A B1 P B1 P A B2 P B2 P A B3 P B3 于是 Bi 飞机被i个人击中 i 1 2 3 该球取自哪号箱的可能性最大 这一类问题是 已知结果求原因 在实际中更为常见 它所求的是条件概率 是已知某结果发生条件下 探求各原因发生可能性大小 某人从任一箱中任意摸出一球 发现是红球 求该球是取自1号箱的概率 或者问 四 贝叶斯公式 看一个例子 某人从任一箱中任意摸出一球 发现是红球 求该球是取自1号箱的概率 记Bi 球取自i号箱 i 1 2 3 A 取得红球 求P B1 A 运用全概率公式计算P A 将这里得到的公式一般化 就得到 贝叶斯公式 证明 由条件概率的定义和全概率公式得 证毕 运用全概率公式计算P A P i 是在没有进一步信息 不知道事件 是否发生 的情况下 人们对诸事件发生可能性大小的认识 当有了新的信息 知道 发生 人们对诸事件发生可能性大小P i 有了新的估计 贝叶斯公式求的还是条件概率 已知结果求原因 例 一单位有甲 乙两人 已知甲近期出差的概率为80 若甲出差 则乙出差的概率为20 若甲不出差 则乙出差的概率为90 1 求近期乙出差的概率 2 若已知乙近期出差在外 求甲出差的概率 贝叶斯公式 全概率公式 解 设A 甲出差 B 乙出差 两阶段 已知原因 求结果 两阶段 已知结果 求原因 例6对以往数据分析结果表明 当机器调整得良好时 产品的合格率为98 而当机器发生某种故障时 其合格率为55 每天早上机器调整良好的概率为95 试求已知某日早上第一件产品是合格品 时 机器调整良好的概率是多少 解设A为事件 产品合格 B为 机器调整良好 设A为事件 产品合格 B为事件 机器调整良好 结果 原因之一 这就是说 当生产出第一件产品是合格品时 此时机器调整良好的概率为0 97 这里 概率0 95是由以往的数据分析得到的 叫做先验概率 对应的 当生产出第一件产品是合格品时 此时机器调整良好的概率0 97叫做后验概率 1 条件概率 全概率公式 贝叶斯公式 小结 乘法公式 第七节伯努利概型 下面我们用事件的独立性来研究伯努利概型这一在经典概率论中占据重要地位的模型 例如 每个同学到图书馆去只有两种可能 借书或不借书 如果每个同学借书的概率为p 并且每个同学是否借书是相互独立的 那么观察n个同学到图书馆的借书情况就构成一个n重伯努利试验 又如 人寿保险公司做人寿保险 一种最简单的情形是 只有受保人当年死亡 保险公司才付给受保家庭一定的赔偿金 这样 这个随机试验只有两种结果 受保人死亡 和 受保人未死亡 每个受保人是否死亡显然是相互独立的 于是n个人受保问题就是一个n重伯努利试验 个人受保问题就是一个 重伯努利试验 某射手命中率为0 8 独立射击3次 求恰好命中2次的概率 例3 解 则恰好命中2次的概率为 作一个n重伯努利试验 成功次数k的概率 由可加性 由独立性 一个n重伯努利试验的结果或基本事件可以记作 其中表示第i次试验的结果 它或为或为 假设中恰好有k个A n k个 由独立性有 在n重伯努利试验中 我们希望知道下述事件的概率 分析 首先对于中的每个元素或基本事件 其 发生的概率均为 其次 包含的元素个数为 所以 在n重伯努利试验中 我们希望知道下述事件的概率 它描述的是n重伯努利试验中出现k次 成功 的概率 伯努利概型的最基本的特点是 只知道次数 不知道位置 例5 设电灯泡的耐用时数在1000小时以上