函数的周期性、对称性课案

Page 1 of 11 教师 学生 日期 年 月 日 星期 时段 授课题目授课题目 一 函数的对称性 周期性 函数对称性 周期性基本知识函数对称性 周期性基本知识 一 同一函数的周期性 对称性问题 即函数自身 1 周期性 对于函数 如果存在一个不为零的常数 T 使得当 x 取定义域内的每一个值时 都有 xfy 都成立 那么就把函数叫做周期函数 不为零的常数 T 叫做这个函数的周期 xfTxf xfy 如果所有的周期中存在着一个最小的正数 就把这个最小的正数叫做最小正周期最小正周期 2 对称性定义 略 请用图形来理解 3 对称性 我们知道 偶函数关于 y 即 x 0 轴对称 偶函数有关系式 xfxf 奇函数关于 0 0 对称 奇函数有关系式0 xfxf 上述关系式是否可以进行拓展 答案是肯定的 探讨 1 函数函数关于关于对称对称 xfy ax xafxaf 也可以写成 或 xafxaf 2 xafxf 2 xafxf 简证 简证 设点在上 通过可知 11 yx xfy 2 xafxf 2 111 xafxfy 即点上 而点与点关于 x a 对称 得证 2 11 xfyyxa 也在 11 yx 2 11 yxa 若写成 若写成 函数关于直线 对称 xbfxaf xfy 22 baxbxa x 2 函数函数关于点关于点对称对称 xfy ba bxafxaf2 或 bxfxaf2 2 上述关系也可以写成bxfxaf2 2 简证 简证 设点在上 即 通过可知 11 yx xfy 11 xfy bxfxaf2 2 所以 所以点bxfxaf2 2 11 111 2 2 2 ybxfbxaf 也在上 而点与关于对称 得证 2 2 11 ybxa xfy 2 2 11 ybxa 11 yx ba 若写成 若写成 函数关于点 对称cxbfxaf xfy 2 2 cba 3 函数函数关于点关于点对称对称 假设函数关于对称 即关于任一个值 都有两个 y 值与 xfy by by x 其对应 显然这不符合函数的定义 故函数自身不可能关于对称 但在曲线 c x y 0 则有可能by 会出现关于对称 比如圆它会关于 y 0 对称 by 04 22 yxyxc 4 周期性 1 函数满足如下关系系 则 xfy Txf2 的周期为 龙文教育个性化辅导授课案 ggggggggggggangganggang 纲 Page 2 of 11 A B xfTxf 1 1 xf Txf xf Txf 或 C 或 等式右边加负号亦成立 1 1 2 xf xfT xf 1 1 2 xf xfT xf D 其他情形 2 函数满足且 则可推出 xfy xafxaf xbfxbf 即可以得 2 2 2 2 abxfbxabfbxabfxafxf 到的周期为 2 b a 即可以得到 如果函数在定义域内关于垂直于 x 轴两条直线对称 则函 xfy 数一定是周期函数 3 如果奇函数满足则可以推出其周期是 2T 且可以推出对称轴为 xfTxf kT T x2 2 根据可以找出其对称中心为 以上 zk 2 Txfxf 0 kT zk 0 T 如果偶函数满足则亦可以推出周期是 2T 且可以推出对称中心为 xfTxf 根据可以推出对称轴为 以上 0 2 2 kT T zk 2 Txfxf kTTx2 zk 0 T 4 如果奇函数 xfy 满足 xTfxTf 0 T 则函数 xfy 是以 4T 为周期 的周期性函数 如果偶函数 xfy 满足 xTfxTf 0 T 则函数 xfy 是以 2T 为周期的周期性函数 定理 3 若函数在 R 上满足 且 其中 xf xafxaf xbfxbf ba 则函数以为周期 xfy ba 2 定理 4 若函数在 R 上满足 且 其中 xf xafxaf xbfxbf ba 则函数以为周期 xfy ba 2 定理 5 若函数在 R 上满足 且 其中 xf xafxaf xbfxbf ba 则函数以为周期 xfy ba 4 二 两个函数的图象对称性 1 xfy 与 xfy 关于 X 轴对称 换种说法 与若满足 即它们关于对称 xfy xgy xgxf 0 y 2 xfy 与 xfy 关于 Y 轴对称 换种说法 与若满足 即它们关于对称 xfy xgy xgxf 0 x 3 xfy 与 2 xafy 关于直线 ax 对称 换种说法 与若满足 即它们关于对称 xfy xgy 2 xagxf ax 4 与关于直线对称 xfy 2xfay ay 换种说法 与若满足 即它们关于对称 xfy xgy axgxf2 ay 5 关于点 a b 对称 2 2 xafbyxfy 与 Page 3 of 11 换种说法 与若满足 即它们关于点 a b 对称 xfy xgy bxagxf2 2 6 与关于直线对称 xafy bxy 2 ba x 7 函数的轴对称 定理 1 如果函数满足 则函数的图象关于直线对称 xfy xbfxaf xfy 2 ba x 推论 1 如果函数满足 则函数的图象关于直线对称 xfy xafxaf xfy ax 推论 2 如果函数满足 则函数的图象关于直线 y 轴 对称 特 xfy xfxf xfy 0 x 别地 推论 2 就是偶函数的定义和性质 它是上述定理 1 的简化 8 函数的点对称 定理 2 如果函数满足 则函数的图象关于点对称 xfy bxafxaf2 xfy ba 推论 3 如果函数满足 则函数的图象关于点对称 xfy 0 xafxaf xfy 0 a 推论 4 如果函数满足 则函数的图象关于原点对称 特别地 推论 xfy 0 xfxf xfy 0 0 4 就是奇函数的定义和性质 它是上述定理 2 的简化 一 几个重要的结论 一 函数图象本身的对称性 自身对称 1 函数 满足 T 为常数 的充要条件是 的图象关于直线 对称 2 函数 满足 T 为常数 的充要条件是 的图象关于直线 对称 3 函数 满足 的充要条件是 图象关于直线 对称 4 如果函数 满足 且 和 是不相等 的常数 则 是以为 为周期的周期函数 Page 4 of 11 5 如果奇函数 满足 则函数 是以 4T 为周期的 周期性函数 6 如果偶函数 满足 则函数 是以 2T 为周期的 周期性函数 二 两个函数的图象对称性 相互对称 利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解 1 曲线 与 关于 X 轴对称 2 曲线 与 关于 Y 轴对称 3 曲线 与 关于直线 对称 4 曲线 关于直线 对称曲线为 5 曲线 关于直线 对称曲线为 6 曲线 关于直线 对称曲线为 7 曲线 关于点 对称曲线为 三 试题 1 已知定义为 R 的函数满足 且函数在区间上单调递增 如果 xf 4 xfxf xf 2 且 则的值 A 21 2xx 4 21 xx 21 xfxf A 恒小于 0 B 恒大于 0 C 可能为 0 D 可正可负 分析 形似周期函数 但事实上不是 不过我们可以取特殊值代入 通过 4 xfxf 4 xfxf 适当描点作出它的图象来了解其性质 或者 先用代替 使变形为2 xx 4 xfxf 它的特征就是推论 3 因此图象关于点对称 在区间上单调递增 在区 22 xfxf 0 2 xf 2 间上也单调递增 我们可以把该函数想象成是奇函数向右平移了两个单位 2 且函数在上单调递增 所以 12 42xx 2 又由 12 4xfxf 4 xfxf 有 1111 444 4 xfxfxfxf Page 5 of 11 选 A 21 xfxf 11 4xfxf 0 11 xfxf 当然 如果已经作出大致图象后 用特殊值代人也可猜想出答案为 A 2 在 R 上定义的函数是偶函数 且 若在区间上是减函数 则 B f x f x 2 fx f x 1 2 f x A 在区间上是增函数 在区间上是减函数 2 1 3 4 B 在区间上是增函数 在区间上是减函数 2 1 3 4 C 在区间 2 1 上是减函数 在区间 3 4 上是增函数 D 在区间 2 1 上是减函数 在区间 3 4 上是增函数 分析分析 由可知图象关于对称 即推论 2 f xfx f xx1 1 的应用 又因为为偶函数图象关于对称 可得到为周 f x0 x f x 期函数且最小正周期为 2 结合在区间上是减函数 可得如右 f x 1 2 草图 故选 B f x 3 定义在 R 上的函数既是奇函数 又是周期函数 是它的一个正周期 若将方程在闭区间 xfT0 xf 上的根的个数记为 则可能为 D TT nn A 0 B 1C 3D 5 分析 分析 0f TfT 2222 TTTT fffTf 则可能为 5 选 D 0 22 TT ff n 4 已知函数的图象关于直线和都对称 且当时 求的值 xf2 x4 x10 x xxf 5 19f 分析 由推论 1 可知 的图象关于直线对称 即 xf2 x xfxf 22 同样 满足 现由上述的定理 3 知是以 4 为周期的函数 xf xfxf 44 xf 同时还知是偶函数 所以 5 344 5 19 ff 5 3f 5 05 04 ff xf 5 05 05 0 ff 5 则 中最 39821583214f xfxfxfx 0f 1f 2f 999f 多有 B 个不同的值 A 165B 177C 183D 199 分析 由已知 39821583214f xfxfxfx 1056f x 1760704352f xf xf x Page 6 of 11 又有 39821583214f xfxfxfx 1056f x 21581056fx 11021102105646fxfxfx 于是有周期 352 于是能在中找到 xf 0 1 999fff 0 1 351fff 又的图像关于直线对称 故这些值可以在中找到 又的图像 xf23x 23 24 351fff xf 关于直线对称 故这些值可以在中找到 共有 177 个 选 B 199x 23 24 199fff 6 已知 则 1 1 3 x f x x 1 fxff x 21 fxffx 1nn fxffx A 2004 2f A B C D 3 1 7 1 7 3 5 分析 由 知 1 1 3 x f x x 1 1 31 x fx x 2 1 31 x fxfx x 3 fxf x 为迭代周期函数 故 xf 3n fxf x 2004 fxf x 2004 1 22 7 ff 选 A 7 函数在 R 上有定义 且满足是偶函数 且 是奇函数 则 xf xf 02005f 1g xf x 的值为 2005f 解 令 则 11gxfxg xf x 11fxf x 1yx 即有 令 则 其中 2fyfy 20f xf x n af x 2 0 nn aa 0 2005a 1 0a 2005 2 n n n aii 2005 2005fa 2005 2005 2005 2 ii 或有 得0 2f xf x 2005200320011999ffff 10f 8 设函数为奇函数 则 c Rxxf 2 2 2 1 1 fxfxff 5 f A 0B 1C D 5 2 5 分析 答案为 B 先令 f 1 f 1 2 f 1 f 2 1 2 根据奇函数的定义可求得 f 1 1 2 所以 f 2 1 f 5 f 3 f 2 f 1 f 2 f 2 5 2 所以 答案为 c Page 7 of 11 9 设 f x 是定义在R上以 6 为周期的函数 f x 在 0 3 内单调递减 且 y f x 的图象关于直线 x 3 对称 则下 面正确的结论是 B A B B 1 53 56 5fff 3 51 56 5fff C D 6 53 51 5fff 3 56 51 5fff 分析 答案为 B 做这种带周期性 单调性的试题 通常的做法是将 f x 设成正弦或余弦函数 具体到本题 可将 f x 设成正弦函数或余弦函数 令其周期为 6 通过平移使其满足在 0 3 内单调递减 根据图像 即可求出 答案 为 B 10 设函数与的定义域是 函数是一个偶函数 是一个奇函数 且 f x g x xR 1x f x g x 则等于 C 1 1 f xg x x f x A B C D 1 1 2 x1 2 2 2 x x 1 2 2 x1 2 2 x x 分析 答案为 C 本题是考察函数奇偶性的判定 并不难 根据奇偶性的定义 即可得出答案为 C 11 已知函数 f x 在 1 1 上有定义 f 1 当且仅当 0 x 1 时 f x 0 且对任意 x y 1 1 都有 f x f y f 1 2 试证明 1 f x 为奇函数 2 f x 在 1 1 上单调递减 xy yx 1 证明 1 由 f x f y f 可令 x y 0 得 f 0 0 xy yx 1 令 y x 得 f x f x f f 0 0 f x f x f x 为奇函数 2 1x xx 2 先证 f x 在 0 1 上单调递减 令 0 x1 x2 1 则 f x2 f x1 f x2 f x1 f 21 12 1xx xx 0 x1 x20 1 x1x2 0 0 12 12 1xx xx 又 x2 x1 1 x2x1 x2 1 x1 1 0 x2 x1 1 x2x1 0 1 由题意知 f 0 21 12 1xx xx 21 12 1xx xx 即 f x2 f x1 f x 在 0 1 上为减函数 又 f x 为奇函数且 f 0 0 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 f x 在 1 1 上为减函数 12 12 已知函数 y f x 是定义在上的周期函数 周期 T 5 函数是奇函数 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头又知 y f x 在 0 1 上是 R 11 yf xx 一次函数 在 1 4 上是二次函数 且在 x 2 时函数取得最小值 5 证明 求的解析式 求在 4 9 上的解析式 1 4 0ff 1 4 yf x x yf x 解 f x 是以为周期的周期函数 5 4 45 1 fff 又 是奇函数 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 11 yf xx 1 1 4 fff 1 4 0ff 当时 由题意可设 1 4 x 2 2 5 0 f xa xa 由得 1 4 0ff 22 1 2 5 42 50aa 2a 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头2 2 2 5 14 f xxx 是奇函数 11 yf xx 0 0f 又知 y f x 在 0 1 上是一次函数 可设 而 01 f xkxx 2 1 2 1 2 53f 当时 f x 3x 3k 01x 从而当时 故时 f x 3x 10 x 3f xfxx 11x Page 8 of 11 当时 有 0 46x 151x 当时 69x 154x 22 5 2 5 2 52 7 5f xf xxx 2 315 46 2 7 5 69 xx f x xx 13 设 是定义在R上的偶函数 其图象关于直线 对称 对任意 都有 2 1 且f 1 求 4 1 2 1 f 证明 是周期函数 记 求 n a n2 1 n a 解 因为对 都有 x 2 1 所以 2 2 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 0 0 2 2 22 fffff fffff x x f x f xx fxf 0 4 1 2 1 4 1 2 1 afaf 证明 依题设 关于直线 对称 故 即 R 又由 是偶函数知 R R 将上式中 以 代换 得 这表明 是 R 上的周期函数 且 2 是它的一个周期 解 由 知 2 1 1 2 1 2 1 2 1 n n n f n nff n n f n f n