王振发版分析力学第2章动力学普遍方程和拉格朗日方程.pptVIP

第二章动力学普遍方程和拉各朗日方程 摆长不定 如何确定其摆动规律 混沌摆问题 多杆摆问题 其加速度为 令 R P T 则 ma R P T 摆锤M在受到P T的同时 将给施力体 地心和绳子 一对应的反作用力 反作用力的合力为 R R ma 此力是摆锤被迫作非惯性运动时产生的 反作用力 称为惯性力 图示圆锥摆摆长为l 摆锤M的质量m 在水平面内作匀速圆周运动 速度为v 锥摆的顶角为2 摆锤M受力如图 若用Fg表示惯性力 则有Fg ma 设质点M的质量为m 受力有主动力F 约束反力FN 加速度为a 则根据牛顿第二定律 有 ma F FN Fg ma 令 则 F FN Fg 0 形式上的平衡方程 设质点系由n个质点组成 第i个质点质量为mi 受力有主动力Fi 约束反力FNi 加速度为ai 假想地加上其惯性力Fgi miai 则根据质点的达朗伯原理 Fi FNi与Fgi应组成形式上的平衡力系 即 Fi FNi Fgi 0 i 1 2 n MO Fi MO FNi MO Fgi 0 Fi FNi Fgi 0 质点系的达朗伯原理 即 或 1 动力学普遍方程 设质点系由n个质点组成 第i个质点质量为mi 受主动力Fi 约束反力FNi 加速度为ai 虚加上其惯性力Fgi miai 则根据达朗伯原理 Fi FNi与Fgi 应组成形式上的平衡力系 即Fi FNi Fgi 0 若质点系受理想约束作用 应用虚位移原理 有 或 动力学普遍方程 则动力学普遍方程的坐标分解式为 若 研究整个系统 进行受力分析 解 设杆的加速度为a 则 Fg1 m1a Fg2 m2a 给连杆以平行于斜面向下的虚位移 s 则相应地两轮有转角虚位移 且 根据动力学普遍方程 得 于是 解得 a b 2 拉格朗日方程 n个质点的系统受到k个如下形式的完整约束fi 又若系统中质量为mj的第j个质点受主动力Fj 则系统的运动满足3n个方程如左 称为第一类拉格朗日方程 i称为拉各朗日未定乘子 第一类拉格朗日方程用到的较少 拉格朗日 1736 1813 法籍意大利人 数学家 力学家 天文学家 十九岁成为数学教授 与欧拉共同创立变分法 是十八世纪继欧拉后伟大的数学家 用q1 q2 qN表示系统的广义坐标 第i个质点质量为mi 矢径为ri 则ri ri q1 q2 qN t 对上式求变分得 动力学普遍方程可写成 其中 根据虚位移原理中广义力与广义虚位移的表示形式 有 因为系统为完整约束 广义坐标相互独立 所以广义坐标的变分 qk是任意的 为使上式恒成立 须有 k 1 2 N 广义力 广义惯性力 对式 中广义惯性力进行变换 将下列两个恒等式 有关证明请参阅教材P46 广义速度 得 所以 代入第一项中的括号内 代入第二项中的括号内 得到 这就是第二类拉格朗日方程 是一个方程组 该方程组的数目等于质点系的自由度数 各方程均为二阶常微分方程 揭示了系统动能的变化与广义力之间的关系 则广义力Qk可写成质点系势能表达的形式 于是 对保守系统 拉格朗日方程可写成 用函数L表示系统的动能T与势能V之差 即L T V L称为拉格朗日函数或动势 则在保守系统中 用动势表示的拉格朗日方程的形式为 1 拉格朗日方程是解决具有完整约束的质点系动力学问题的普遍方程 是分析力学中的重要方程 2 拉格朗日方程是标量方程 以动能为方程的基本量 是用广义坐标表示的运动微分方程 3 拉格朗日方程形式简洁 运用时只需要计算系统的动能 对于保守力系统 只需要计算系统的动能和势能 1 静力学 对受完整约束的多自由度的平衡问题 根据虚位移原理 采用广义坐标 得到与自由度相同的一组独立平衡方程 这种用分析方法建立的平衡条件 避开了未知的约束反力 使非自由质点系的平衡问题的求解变得简单 2 动力学 对受完整约束的多自由度的动力学问题 可以根据能量原理 采用广义坐标 推导出与自由度相同的一组独立的运动微分方程 这种用广义坐标表示的动力学普遍方程 称为拉格朗日第二类方程 简称为拉格朗日方程 1 确定系统的自由度数 广义坐标数 2 选广义坐标 3 计算系统的动能T 且用广义速度来表示动能 4 计算广义力 对保守系统可计算势能 5 代入拉格朗日方程即可得质点系运动微分方程 例1位于水平面内的行星轮机构中 质量为m1的均质细杆OA 可绕O轴转动 另一端装有质量为m2 半径为r的均质小齿轮 小齿轮沿半径为R的固定大齿轮纯滚动 当细杆受力偶M的作用时 求细杆的角加速度 解 研究整个系统 选广义坐标 则 系统的动能为 T TOA T轮 又关于广义坐标 的广义力为 代入Lagrange方程 于是得 例2质量为m的质点悬在不计质量的软线上 线的另一端绕在半径为R的固定圆柱上 设在平衡位置时 线的下垂部分长度为l 求此摆的运动微分方程 m m 系统的动能为 选 0处为系统势能的零势点 则 V mg l Rsin l R cos 系统的动势为 解 此摆为单自由度保守系统 选广义坐标 已求得 将式上式代入保守系统的拉氏方程 得摆的运动微分方程 例3已知质量为m1的三棱柱放在光滑水平面上 质量为m2的均质圆柱体O由静止沿三棱柱的斜面向下纯滚动 求三棱柱的加速度 设圆柱o的半径为r 选x1 x2为广义坐标 圆柱中心的速度为 圆柱的角速度为 解 系统具有两个自由度 所以 系统的动能为 联立解得 代入L程 系统关于广义坐标x1 x2的广义力分别为 例4图示均质杆AB质量为m1 长为3l B端铰接一质量为m2 半径为r的均质圆盘 杆AB在O处为铰支 两弹簧的刚性系数均为k 杆在水平位置平衡 求系统的微幅振动的固有频率 解 系统具有两个自由度 且为保守系统 选 1 2为广义坐标 则杆的角速度为 圆盘的角速度为 所以 系统的动能为 系统的势能为 k l l l l 2 r B 重力与振动方向相同 系统受力如图 系统的动势为 取平衡位置处为零势点 弹性力变形从平衡位置处计算 可以不计重力势能 代入保守系统的拉氏方程 可见 圆盘的角加速度为零 圆盘作平动 系统的固有频率为 得 所以 k l l l l 2 r B 例5杆OA与AB以铰链相连 且OA a AB b O悬挂于圆柱铰链上 A B处质点质量分别为m1和m2 各处摩擦及两杆质量均不计 求系统微幅摆动的微分方程 m1 b a m2 O A B 则 解系统具有两个自由度 选 1 2为广义坐标 系统动能为 系统作微幅摆动 cos 2 1 1 系统受力如图 求系统关于广义坐标 2的广义力 给 1 则 给 2 则 求系统关于广义坐标 1的广义力 代入Lagrange方程 化简得 3 动能的广义速度表达式 质点系的动能 由于r是广义坐标及时间的函数 所以akj bk c也是广义坐标及时间的函数 令 于是 动能T可表示为 再设 4 拉格朗日方程的初积分 首次积分 由于势能函数V仅是广义坐标和时间的函数 因此它是广义速度的零次函数 设L2 T2 L1 T1 L0 T0 V 拉格朗日函数可表示为L T V T2 T1 T0 V 显然 L2 L1和L0分别是广义速度的二次齐次函数 一次齐次函数和零次齐次函数 得L L2 L1 L0 将主动力为有势力时的拉格朗日方程式乘以 并将这N个式子相加 得 其中 带入上式得 当拉格朗日函数不显含时间t 则 即时有 带入上式得 从而有 E为积分常数 再根据欧拉齐次式定理 P56 有 带入上式得 2L2 L1 L2 L1 L0 E 进一步得到 这一结果称为以拉格朗日变量表示的广义能量积分 又称雅可比积分 由于约束是非定常的 系统的机械能并不守恒 为广义能量 系统称为广义保守系统 如果约束是定常的 则 可知bk 0 c 0 因此得T1 0 T0 0 于是得T T2 广义能量积分变为 这一结果称为以拉格朗日变量表示的能量积分 上式即为保守系统的机械能守恒定律表示式 这就是能量积分的物理意义 拉格朗日函数一般是广义坐标 广义速度和时间的函数 若L中不显含与某一广义速度对应的广义坐标 则该坐标称为循环坐标 或称可遗坐标 即 则 所以 其中Cj为积分常数 上式称为循环积分 或称可遗积分 当然 系统有几个循环坐标就有几个循环积分 由于L T V 而且势能V中不显含广义速度 因此 其中称为广义动量 5 碰撞问题的拉各朗日方程 由拉格朗日方程式来推导碰撞问题的拉各朗日方程 以dt乘上式 并对碰撞时间 t积分 即 其中左边第一项表示在碰撞时间内广义动量发生的变化 左边第二项是动能相对广义坐标的改变量 是有限量 设它在碰撞时间内的最大值为M 根据中值定理 由于碰撞时间极短 所以与第一项相比可以略去 为广义力Qj在碰撞时间内的广义冲量 以表示 即 则 即碰撞过程中 广义动量的增量等于相应的广义