超几何分布和二项分布的区别

关于超几何分布和二项分布的小题关于超几何分布和二项分布的小题 超几何分布 在产品质量的不放回抽检中 若超几何分布 在产品质量的不放回抽检中 若 N 件产品中有件产品中有 M 件次品 抽检件次品 抽检 n 件时件时 所得次品数所得次品数 X k 则则 P X k 此时我们称随机变量此时我们称随机变量 X 服从超几何分布 服从超几何分布 hypergeometric distribution 1 超几何分布的模型是不放回抽样 超几何分布的模型是不放回抽样 2 超几何分布中的参数是 超几何分布中的参数是 M N n 上述超几何分布记作上述超几何分布记作 X H n M N 二项分布 二项分布 二项分布 二项分布 Binomial Distribution 即重复 即重复 n 次的伯努力试验 次的伯努力试验 Bernoulli Experiment 用用 表示随机试验的结果表示随机试验的结果 如果事件发生的概率是如果事件发生的概率是 P 则不发生的概率则不发生的概率 q 1 p N 次独立重次独立重 复试验中发生复试验中发生次的概率是次的概率是 上述二项分布记作上述二项分布记作k knk k n qpkP C pnB 下面我通过几个例子说明一下两者的区别下面我通过几个例子说明一下两者的区别 例例 1 某人参加一次英语考试 已知在备选题的某人参加一次英语考试 已知在备选题的 10 道试题中能答出其中的道试题中能答出其中的 4 道题 规定道题 规定 每次考试从备选题中随机抽取每次考试从备选题中随机抽取 3 题进行测试 求答对题数题进行测试 求答对题数的分布列 的分布列 解 由题意得解 由题意得 服从参数为服从参数为 的超几何分布的超几何分布 0 123 10 N4 M3 n 6 1 120 20 0 3 10 3 6 C C P 2 1 120 60 1 3 10 2 6 1 4 C CC P 10 3 120 36 2 3 10 1 6 2 4 C CC P 30 1 120 4 3 3 10 3 4 C C P 故故的分布列的分布列 0123 P 6 1 2 1 10 3 30 1 点评 这是一道超几何分布的题目 学生在做的时候容易把它看到是二项分布问题 点评 这是一道超几何分布的题目 学生在做的时候容易把它看到是二项分布问题 把事件发生的概率看做是把事件发生的概率看做是 0 4 例例 2 甲乙两人玩秒表游戏 按开始键 然后随机按暂停键 观察秒表最后一位数 若甲乙两人玩秒表游戏 按开始键 然后随机按暂停键 观察秒表最后一位数 若 出现出现 则甲赢 若最后一位出现则甲赢 若最后一位出现 则乙赢 若最后一位出现则乙赢 若最后一位出现 012367894 是平局是平局 玩三次 记甲赢的次数为变量玩三次 记甲赢的次数为变量 求 求的分布列的分布列5XX 解 由题意得 解 由题意得 0 X123216 0 6 0 0 3 0 3 C XP 432 0 4 06 0 1 2 1 3 C XP288 0 4 06 0 2 2 2 3 C XP 故故的分布列的分布列064 0 4 0 3 3 3 3 C XPX X0123 P216 0 432 0 288 0 064 0 点评 学生这是一道二项分布的题目 学生容易看成超几何分布 认为点评 学生这是一道二项分布的题目 学生容易看成超几何分布 认为服从服从X 的超几何分布 的超几何分布 10 N4 M3 n 例例 3 已知一批种子发芽率为已知一批种子发芽率为 0 4 现在从中选取三颗进行测试 记其发芽数为现在从中选取三颗进行测试 记其发芽数为 求 求的的 分布列 分布列 解 由题意得解 由题意得 0 123 6 0 3 B 216 0 6 0 0 3 0 3 C P 432 0 6 04 0 1 21 1 3 C P 288 0 6 04 0 2 2 2 3 C P 故故的分布列的分布列064 0 4 0 1 3 3 3 C P 0123 P216 0 432 0 288 0 064 0 点评 与例点评 与例 2 比较这两个题目是完全相同的 二项分布应满足独立重复试验 比较这两个题目是完全相同的 二项分布应满足独立重复试验 每一次试验中只有两种结果 要么发生 要么不发生 每一次试验中只有两种结果 要么发生 要么不发生 任何一次试验中发生的概率都一样任何一次试验中发生的概率都一样 每次试验间是相互独立的互不影响的每次试验间是相互独立的互不影响的 例例 1 在抽取过程中可以认为是不放回的抽取 两次抽取之间是有影响的不是独立的 在抽取过程中可以认为是不放回的抽取 两次抽取之间是有影响的不是独立的 例例 2 例 例 3 在抽取过程中可以认为是有放回的抽取 两次抽取过程中是互不影响的 在抽取过程中可以认为是有放回的抽取 两次抽取过程中是互不影响的 例例 4 2006 6 广东 广东 1616 某运动员射击一次所得环数 某运动员射击一次所得环数的分布列如下 的分布列如下 X X6 078910 P02 03 03 02 0 现进行两次射击 以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩 记为现进行两次射击 以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩 记为 求求的分布列 的分布列 解 由题意得解 由题意得 6 0 78910 环 两次命中小于环 另一次命中的环数一次命中mPmmPmP 000002 6 0 P04 0 2 02 002 02 7 P 39 0 3 03 03 02 03 02 9 P 36 0 2 02 03 03 02 03 02 10 P 故故的分布列为的分布列为 6 078910 P004 0 21 0 39 036 0 点评 学生容易把本题看做是超几何分布 理解成点评 学生容易把本题看做是超几何分布 理解成 例例 5 本题利用课本上推到二项 本题利用课本上推到二项 分布公式的原理中事件的独立性和互斥性 分布公式的原理中事件的独立性和互斥性 例例 5 一个袋中装有一个袋中装有 10 个大小相同的小球 其中标号为个大小相同的小球 其中标号为 7 的球的球 2 个 标号为个 标号为 8 的球的球 3 个 个 标号为标号为 9 的球的球 3 个 标号为个 标号为 10 的球的球 2 个个 从盒中任取两球记较大的一个球的标号为从盒中任取两球记较大的一个球的标号为 求 求 的分布列 的分布列 解 由题意得解 由题意得 78910 当当时包含一个球标号为时包含一个球标号为和一个球标号比和一个球标号比小 和两个标号都是小 和两个标号都是m mmm 45 1 7 2 10 2 2 C C P 5 1 45 9 8 2 10 2 3 1 2 1 3 C CCC P 5 2 45 18 9 2 10 2 3 1 5 1 3 C CCC P 45 17 10 2 10 2 2 1 8 1 2 C CCC P 故故的分布列为的分布列为 78910 P 45 1 5 1 5 2 45 17 例例 6 一个袋中装有一个袋中装有 20 个大小相同的小球 其中标号为个大小相同的小球 其中标号为 7 的球的球 4 个 标号为个 标号为 8 的球的球 6 个 个 标号为标号为 9 的球的球 6 个 标号为个 标号为 10 的球的球 4 个个 从盒中任取两球记较大的一个球的标号为从盒中任取两球记较大的一个球的标号为 求 求 的分布列 的分布列 答案 答案 78910 P 95 3 190 39 38 15 19 7 点评 点评 例例 5 和和 例例 6 虽然球所占的比例相同 但分布列也不同 两次试验都可以虽然球所占的比例相同 但分布列也不同 两次试验都可以 看做是不放回的抽取 两次抽取不是相互独立的 对比同学看以看一下下面两道超几何分看做是不放回的抽取 两次抽取不是相互独立的 对比同学看以看一下下面两道超几何分 布问题布问题 袋中有袋中有 1010 个完全相同球 其中白球个完全相同球 其中白球 3 3 个 黑球个 黑球 7 7 个 从中个 从中 取出取出 2 2 个球记录其中白个球记录其中白 球个数为球个数为 求 求的分布列的分布列 袋中有袋中有 2020 个完全相同球 其中白球个完全相同球 其中白球 6 6 个 黑球个 黑球 1414 个 从中个 从中 取出取出 2 2 个球记录其中白个球记录其中白 球个数为球个数为 求 求的分布列的分布列 例例 7 一个袋中装有一个袋中装有 10 个大小相同的小球 其中标号为个大小相同的小球 其中标号为 7 的球的球 2 个 标号为个 标号为 8 的的 球球 3 个 标号为个 标号为 9 的球的球 3 个 标号为个 标号为 10 的球的球 2 个个 从盒子中任意取出一个球 从盒子中任意取出一个球 放回后放回后第二第二 次再任取一个球 记两次球标号较大的为次再任取一个球 记两次球标号较大的为 求 求的分布列 的分布列 方法一 方法一 解 解 由由 例例 1 中类似的方法中类似的方法7 8910 04 0 2 02 0 7 P21 0 3 03 02 03 02 8 P 39 0 3 03 03 02 03 02 9 P 36 0 2 02 03 03 02 03 02 10 P 78910 P04 0 21 0 39 036 0 方法二 由分步计数原理共计有方法二 由分步计数原理共计有种取法 当种取法 当时有时有1001010 m 种取法种取法 22 mm 标号小于 标号小于等于 04 0 1010 22 7 P21 0 1010 2255 8 P 39 0 1010 5588 9 P36 0 1010 881010 10 P 故分布列为故分布列为 78910 P04 0 21 0 39 036 0 点评 点评 例例 7 可以看做是又放回的抽取 每次抽取是相互独立的 可以看做是又放回的抽取 每次抽取是相互独立的 小结 当抽取的方式从无放