立体几何作辅助线的一般思路和常用方法.ppt

立体几何作辅助线的一般思路和常用方法 做立体几何题 性质定理是打开解题思路的关键 也是引入辅助线的基础 它可告诉我们应该如何作辅助线 其中最常用的是线面平行和面面垂直性质定理 1 若题中给出直线a 面 这一条件 做题时首先考虑的是 要运用线面平行的性质定理 对照该定理中的条件就会想到应过a作一平面 和 相交于b 则得a b 然后再根据其它条件完成证明 例1巳知直线a 面 且a 面 求证 86年广东高考题 分析 要证两面垂直 根据判定定理 须在一面内作一条直线和另一面垂直 因a 面 考虑将直线a移到 即可 看已知条件a 面 应该想到用线面平行的性质定理 这时对照定理应过直线a作一平面和面 交于直线b 可得出a b 完成证明 练习 已知直线a 面 a 面 且 b 求证 a b 93年3 2高考题 a b 2 若题中给出条件 作题时 先想到的是面面垂直的性质定理 要运用该定理就必须在其中一面内作两面交线的垂线a 则得出a垂直于另一平面 例2 已知平面 且 a 求证 a 93年3 2高考题 分析 要证a 须证直线a垂直 内的两条相交直线 所以考虑在 内作两条相交直线 由条件 应想到用两面垂直的性质定理 在 内先取点O 在面 内分别做OA OB 交线b c 可得出OA OB 易知a OA a OB 从而有a a c b A B O 例3 已知直线a 面 且a不包含于 求证 a 92年三南考题 分析 要证a 须在 内作一直线与a平行 因已知中有面 这时该想到两面垂直的性质定理 在 内作两面交线的垂线b 则有b 又a 再根据线面垂直的性质定理得a b 然后完成证明 a b 2 用两面垂直的性质定理作一面的垂线 在证题或解题中为找一线在一面内的射影 或找线面角 点到面的距离 用三垂线逆定理作平面角 都需过一点作一面的垂线 为定垂足的位置 需先找两面垂直 即先过这点找一面与该面垂直 然后用两面垂直的性质定理将垂足作在两面的交线上 例4已知A1B1C1一ABC是正三棱柱 D是AC中点 1 证明AB1 面DBC1 2 假设AB BC1 求以BC1为棱 DBC1与CBC1为面的二面角的大小 94年3 2考题 分析 1 要证AB1 面BDC1 须在面BDC1内作一直线平行于AB1 从结论出发 先承认线面平行 根据性质定理只须过AB1作一平面 这面就是面AB1C 此面与面BDC1交于OD 可知有AB1 OD 但证明时 应先连B1C 然后取B1C中点O 即可2 作平面角时 抓住棱是BC1 由1知OD BC1 用三垂线逆定理作平面角时 关键是作面的垂线 应想到得先过D找两面垂直 想到后就很容易从已知中知底面与侧面垂直 然后用两面垂直的性质定理 在底面ABC内作DG 交线BC于G 则DG 面BCC1 连结OG可知OG BC1 从而作出了平面角 B1 B A C A1 C1 D O G 例5 园柱的轴截面ABCD是正方形 点B在底面园周上 AF DE F是垂足I 求证 AF DB2 若园柱与三棱锥D ABE的体积比等于3 求直线DE与平面ABCD所成的角 文 若AB a VD ABE 3 求点B到面ABCD的距离 95年考题 练习 长方形纸片ABCD中AB a AD b 将纸片沿过A直线AAl折成直二面角 问怎样折法才能使BD最小 A B E D C F 分析 1 证明两线垂直的基本思路主要有两条 一是先证一线垂直于另一线所在的平面 然后得线线垂直 二是用三垂线定理 此题可考虑证AF垂直BD所在平面 因易证BE 面DAE 所以AF BE又AF DE AF 面BDE 故有AF BD2 要求线面角 得先找DE在面ABCD内的射影 考虑过E作面ABCD的垂线 应先过E找两面垂直 由圆柱的性质不难看出面ABE