高考数学平面向量与解析几何

第 讲第 讲 平面向量与解析几何平面向量与解析几何 在高中数学新课程教材中 学生学习平面向量在前 学习解析几何在后 而且教材中二者知 识整合的不多 很多学生在学习中就 平面向量 解平面向量题 不会应用平面向量去解决解析 几何问题 用向量法解决解析几何问题思路清晰 过程简洁 有意想不到的神奇效果 著名教育 家布鲁纳说过 学习的最好刺激是对所学材料的兴趣 简单的重复将会引起学生大脑疲劳 学习 兴趣衰退 这充分揭示方法求变的重要性 如果我们能重视向量的教学 必然能引导学生拓展思 路 减轻负担 一 知识整合一 知识整合 平面向量是高中数学的新增内容 也是新高考的一个亮点 向量知识 向量观点在数学 物理等学科的很多分支有着广泛的应用 它具有代数形式和几何形式的 双重身份 能融数形 与一体 能与中学数学教学内容的的许多主干知识综合 形成知识交汇点 而在高中数学体系中 解析几何占有着很重要的地位 有些问题用常规方法去解决往往运算比较繁杂 不妨运用向量作 形与数的转化 则会大大简化过程 二 例题解析二 例题解析 例 1 2000 年全国高考题 椭圆的焦点为 FF 点 P 为其上的动点 当 F1 49 22 yx 12 P F 为钝角时 点 P 横坐标的取值范围是 12 解 F1 0 F2 0 设 P 3cos 2sin 55 为钝角 21PF F 12 53cos 2sin 53cos 2sin PF PF 9cos2 5 4sin2 5 cos2 1 0 解得 点 P 横坐标的取值范围是 5 5 cos 5 5 5 53 5 53 点评 解决与角有关的一类问题 总可以从数量积入手 本题中把条件中的角为钝角转化为 向量的数量积为负值 通过坐标运算列出不等式 简洁明了 例 2 已知定点 A 1 0 和 B 1 0 P 是圆 x 3 2 y 4 2 4 上的一动点 求的 22 PAPB 最大值和最小值 分析 因为 O 为 AB 的中点 所以故可利用向量把问题转化为求向量的最2 PAPBPO OP 值 解 设已知圆的圆心为 C 由已知可得 1 0 1 0 OAOB 又由中点公式得0 1OAOBOA OB 2PAPBPO 所以 22 2 2PAPBPAPBPA PB 2 2 2 POOAOPOBOP 22 4222 POOA OBOPOPOAOB 2 22OP 又因为 点 P 在圆 x 3 2 y 4 2 4 上 3 4 OC 所以 且 5 2 OCCP OPOCCP 所以OCCPOPOCCPOCCP 即 故37OP 222 2022100PAPBOP 所以的最大值为 100 最小值为 20 22 PAPB 点评 有些解几问题虽然没有直接用向量作为已知条件出现 但如果运用向量知识来解决 也会显得自然 简便 而且易入手 例 3 2003 年天津高考题 O是平面上一定点 A B C是平面上不共线的三个点 动点P 满足 则P的轨迹一定通过 ABC的 AC AC AB AB OAOP 0 A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心 分析 因为同向的单位向量 由向量加法的平行四边形则知 ABAC AB AC ABAC 分别是与 是与 ABC 的角平分线 射线 同向的一个向量 又 ABAC ABAC 知 P 点的轨迹是 ABC 的角平分线 从而点P的轨迹一定通 ABAC OPOAAP ABAC 过 ABC的内心 反思 根据本题的结论 我们不难得到求一个角的平分线所在的直线方程的步骤 1 由顶点坐标 含线段端点 或直线方程求得角两边的方向向量 12 v v P C y x A o B 2 求出角平分线的方向向量 12 12 vv v vv 3 由点斜式或点向式得出角平分线方程 直线的点向式方程 过 P 其方向 00 xy 向量为 其方程为 v a b 00 xxyy ab 例 4 2003 年天津 已知常数 向量 经过原点以为方0 a 0 1 0 ca iOci 向向量的直线与经过定点以为方向向量的直线相交于点 其中 试问 0 aA2ic PR 是否存在两个定点 使得为定值 若存在 求出的坐标 若不存在 说FE PEPF FE 明理由 本小题主要考查平面向量的概念和计算 求轨迹的方法 椭圆的方程和性质 利用方程判 定曲线的性质 曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力 解 根据题设条件 首先求出点 P 坐标满足的方程 据此再判断是否存在两定点 使得点 P 到两定点距离的和为定值 a 1 2 a 0 1 0 ca ici 2ic 因此 直线 OP 和 AP 的方程分别为 和 axy axay 2 消去参数 得点的坐标满足方程 yxP 22 2 xaayy 整理得 因为所以得 1 2 2 8 1 2 2 2 a a y x 0 a i 当时 方程 是圆方程 故不存在合乎题意的定点 E 和 F 2 2 a ii 当时 方程 表示椭圆 焦点和为合乎题意 2 2 0 a 2 2 1 2 1 2 a aE 2 2 1 2 1 2 a aF 的两个定点 iii 当时 方程 也表示椭圆 焦点和为 2 2 a 2 1 2 1 0 2 aaE 2 1 2 1 0 2 aaF 合乎题意的两个定点 点评 本题以平面向量为载体 考查求轨迹的方法 利用方程判定曲线的性质 曲线与方程 的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力 去掉平面向量的背景 我们不难看到 本题即为 下题 在 OAP 中 O 0 0 A 0 a 为两个定点 另两边 OP 与 AP 的斜率分别是 求 P 的轨迹 0 2 a a 而课本上有一道习题 数学第二册 上 第 96 页练习题 4 三角形 ABC 的两个顶点 A B 的坐标分别是 6 0 6 0 边 AC BC 所在直线的斜率之 积等于 求顶点 C 的轨迹方程 通过本例可见高考题目与课本的密切关系 4 9 例 5 2004 年天津卷理 22 椭圆的中心是原点 O 它的短轴长为 相应于焦点 F c 0 22 的准线 与 x 轴相交于点 A OF 2 FA 过点 A 的直线与椭圆相交于 P Q 两点 0 cl 1 求椭圆的方程及离心率 2 若 求直线 PQ 的方程 0 OQOP 3 设 过点 P 且平行于准线 的直线与椭圆相交于另一点 M 证明AQAP 1 l FQFM 分析 本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质 直线方程 平面向量的计算 曲线和方 程的关系等解析几何的基本思想方法和综合解题能力 1 解 由题意 可设椭圆的方程为 2 1 2 2 2 2 a y a x 由已知得解得 2 2 2 22 c c a c ca 2 6 ca 所以椭圆的方程为 离心率 1 26 22 yx 3 6 e 2 解 由 1 可得 A 3 0 设直线 PQ 的方程为 由方程组 3 xky 得 3 1 26 22 xky yx 062718 13 2222 kxkxk 依题意 得 0 32 12 2 k 3 6 3 6 k 设 则 2211 yxQyxP 13 18 2 2 21 k k xx 13 627 2 2 21 k k xx 由直线 PQ 的方程得 于是 3 3 2211 xkyxky 9 3 3 3 2121 2 21 2 21 xxxxkxxkyy 0 OQOP0 2121 yyxx 由 得 从而 15 2 k 3 6 3 6 5 5 k 所以直线 PQ 的方程为或035 yx035 yx 2 证明 由已知得方程组 3 3 2211 yxAQyxAP 注意 解得 1 26 1 26 3 3 2 2 2 2 2 1 2 1 21 21 yx yx yy xx 1 2 15 2 x 因 故 0 2 11 yxMF 1 3 2 1211 yxyxFM 2 1 2 1 21 yy 而 所以 2 1 2 222 yyxFQ FQFM 三 总结提炼三 总结提炼 由于向量具有几何形式和代数形式的 双重身份 使向量与解析几何之间有着密切联系 而新课程高考则突出了对向量与解析几何结合考查 这就要求我们在平时的解析几何教学与复习 中 应抓住时机 有效地渗透向量有关知识 树立应