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幂函数 学习目标 1 掌握幂函数的概念 熟悉时 幂函数的图像和性质 2 能利用幂函数的性质来解决一些实际问题3 通过对情景的观察 思考 归纳 总结形成结论 培养发现问题 解决问题的能力 重点 从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质 难点 画五个幂函数的图象并由图象概括其性质 问题引入 1 如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克 那么她需要支付p w元 这里p是w的函数 2 如果正方形的边长为a 那么正方形的面积这里S是a的函数 3 如果立方体的边长为a 那么立方体的体积 这里V是a函数 4 如果一个正方形场地的面积为S 那么这个正方形的边长这里a是S的函数 5 如果某人ts内骑车行进了1km 那么他骑车的平均速度这里v是t的函数 我们先看几个具体问题 若将它们的自变量全部用x来表示 函数值用y来表示 则它们的函数关系式将是 一般地 函数叫做幂函数 powerfunction 其中x为自变量 为常数 定义 几点说明 3 幂函数中的可以为任意实数 一 幂函数与指数函数的区别 1 幂函数中的指数为任意实数 而指数函数中的底数a为大于0且不等于1的常数 2 只有形如的函数才叫做幂函数 判断下列函数是否为幂函数 1 y x4 3 y xe 5 y 2x2 6 y x3 2 判一判 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 3 1 1 x y x y 二 我们重点研究 对于我们较熟悉的这三类函数的图象只需找关键点来作图 o o 1 1 2 1 2 1 1 1 1 2 2 1 2 3 4 6 1 0 1 2 0 描点法作图 1 1 0 1 0 1 R R R 0 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 0 0 0 0 0 0 0 R 0 0 0 0 R x y 在同一平面直角坐标系内作出幂函数 的图象 O y x 1 1 1 归纳 幂函数图象在第一象限的分布情况 y 1 1 1 0 x 1 所有的幂函数图象恒过点 1 1 2 在第一象限内递增 若 在第一象限内递减 幂函数的性质 4 1时 图象下凸 当0 1时 图象上凸 5 图像不过第四象限 6 第一象限内 当x 1时 越大图象越高 3 当为奇数时 幂函数为奇函数 当为偶数时 幂函数为偶函数 下列哪些说法是正确的 1 幂函数均过定点 1 1 2 幂函数在 0 上单调递减 在 0 上也单调递减 因此幂函数在定义域内单调递减 3 幂函数的图象均在两个象限出现 4 幂函数在第四象限可以有图象 5 当 0时 幂函数在第一象限均为增函数 正确 不正确 不正确 不正确 正确 随堂练习 例1 比较下列各题中两数值的大小 1 73 1 83 0 8 1 0 9 1 幂函数y x 1在 0 上是单调减函数 解 幂函数y x3在R上是单调增函数 又 1 7 1 8 1 73 1 83 又 0 8 0 9 0 8 1 0 9 1 例1 拓展 比较下列两个代数式值的大小 解 1 考察幂函数在区间 0 上单调增函数 因为所以 2 考察幂函数在区间 0 上是单调减函数 因为所以 证明幂函数在 0 上是增函数 例2 用定义证明函数的单调性的步骤 1 取数 设x1 x2是某个区间上任意二值 且x1 x2 2 作差 f x1 f x2 3 变形 4 判断f x1 f x2 的符号 5 下结论 证明 任取x1 x2 0 且x1 x2 则 注意 若给出的函数是有根号的式子 往往采用有理化的方式 练习1 设a 0 20 3 b 0 30 3 c 0 30 2 则 A a b cB a b cC a c bD b a c 巩固练习 分析 比较a b的大小 需利用幂函数y x0 3的单调性 比较b c的大小 需利用指数函数y 0 3x的单调性 B 练习3 如果函数f x m2 m 1 xm是幂函数 且在区间 0 上是减函数 求满足条件的实数m的值 变式训练 如果幂函数f x xm2 2m 3在区间 0 上是减函数 求满足条件的实数