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二叉树模型介绍 第十一章 为期权进行估值的一个常用方法是构造二叉树图 这个树图表示了股票价格在期权的有效期内可能遵循的路径 在这里 我们假设股票价格遵循随机游走 每一时间步中 价格上升一定百分比有一定的概率 价格下降一定的百分比也有一定的概率 11 2 11 3 一个简单的二叉树模型 股票的即期价格为 20在3个月内股票价格为 22或 18 股票价格 22 股票价格 18 股票价格 20 11 4 股票价格 22期权价格 1 股票价格 18期权价格 0 股票价格 20期权价格 一个看涨期权 一个有效期3个月的股票看涨期权执行价格为21 11 5 考虑一个证券组合 D股股票多头一个看涨期权空头证券组合是无风险的 当22D 1 18D或D 0 25 构造一个无风险证券组合 11 6 证券组合的价值 无风险证券组合是 0 25股股票多头1个看涨期权空头证券组合价值3个月时是22 0 25 1 4 50证券组合的现值是4 5e 0 12 0 25 4 3670 11 7 期权的估值 证券组合为0 25股股票多头1个看涨期权空头现值是4 367股票价值是5 000 0 2520 因此期权价值为0 633 5 000 4 367 11 8 一般结论 价值取决于标的股票价值 且有效期为T的衍生品 11 9 一般结论 续 考虑包含D股股票多头和1份衍生品空头的证券组合证券组合是无风险的当S0uD u S0dD d S0uD u S0dD d 11 10 一般结论 续 在T时刻证券组合价值是S0uD u证券组合的现值是 S0uD u e rT证券组合的现值的利益表达方式是S0D f结论为 S0D S0uD u e rT 11 11 一般结论 续 将D带入下式并化简得 p u 1 p d e rT其中 11 12 作为概率的P 可以将p和1 p作为股票价格上升和下降的概率衍生品的价值是在风险中性世界以无风险利率贴现值 p 1 p 11 13 风险中性估值 当上升和下降的概率是p和1 p股票价格在T时刻价值是S0erT这说明股票价格获得无风险收益二叉树模型显示为一般衍生品估值我们可以假设标的资产的期望报酬率为无风险利率且以无风险利率贴现这是风险中性估值的一般思想 11 14 一个例子 由于我们可以从下式中估计p值20e0 12 0 25 22p 18 1 p 得p 0 6523还可以使用方程得 S0u 22 u 1 S0d 18 d 0 S0 p 1 p 11 15 使用风险中性为期权估值 期权价值为 e 0 12 0 25 0 6523 1 0 3477 0 0 633 11 16 两步二叉树模型 每一步的时间为3个月K 21 r 12 11 17 两步二叉树的估值 节点B的价值 e 0 12 0 25 0 6523 3 2 0 3477 0 2 0257节点A的价值 e 0 12 0 25 0 6523 2 0257 0 3477 0 1 2823 201 2823 22 18 24 23 2 19 80 0 16 20 0 2 0257 0 0 A B C D E F 11 18 一个例子 K 52 时间步 1年r 5 11 19 当期权为美式期权时会如何 11 20 Delta值 Delta D 是期权价格的变动与标的资产 股票 价格变动的比值D的价值随期权的状态不同而不同 虚值 实值 深度实值 深度虚值 11 21 选择u和d 一种匹配波动率的方法是设 s是波动率且Dt是时间步的长度 这是由Cox Ross 和Ru