高中数学三角函数常见习题类型及解法[1]

94 方法技巧 1 三角函数恒等变形的基本策略 1 常值代换 特别是用 1 的代换 如 1 cos2 sin2 tanx cotx tan45 等 2 项的分拆与角的配凑 如分拆项 sin2x 2cos2x sin2x cos2x cos2x 1 cos2x 配凑角 等 2 2 3 降次与升次 4 化弦 切 法 4 引入辅助角 asin bcos sin 这里辅助角所在 22 ba 象限由 a b 的符号确定 角的值由 tan 确定 a b 例 1 已知 求 1 2 2tan sincos sincos 的值 22 cos2cos sinsin 解 1 223 21 21 tan1 tan1 cos sin 1 cos sin 1 sincos sincos 2 22 22 22 cossin cos2cossinsin cos2cossinsin 3 24 12 222 1 cos sin 2 cos sin cos sin 2 2 2 2 说明 利用齐次式的结构特点 如果不具备 通过构造的办法得到 进行弦 切互化 就会使解题过程简化 例 2 求函数的值域 2 1 sincos sincos yxxxx 解 设 则原函数可化为sincos2sin 22 4 txxx 因为 所以 22 13 1 24 yttt 22 t 当时 当时 2t max 32y 1 2 t min 3 4 y 所以 函数的值域为 3 32 4 y 例 3 已知函数 2 4sin2sin22f xxxxR 95 1 求的最小正周期 的最大值及此时 x 的集合 f x f x 2 证明 函数的图像关于直线对称 f x 8 x 解 22 4sin2sin222sin2 1 2sin f xxxxx 2sin22cos22 2sin 2 4 xxx 1 所以的最小正周期 因为 f xT xR 所以 当 即时 最大值为 22 42 xk 3 8 xk f x2 2 2 证明 欲证明函数的图像关于直线对称 只要证明对任意 f x 8 x xR 有成立 88 fxfx 因为 2 2sin 2 2 2sin 2 2 2cos2 8842 fxxxx 2 2sin 2 2 2sin 2 2 2cos2 8842 fxxxx 所以成立 从而函数的图像关于直线对称 88 fxfx f x 8 x 例 4 已知函数 y cos2x sinx cosx 1 x R 2 1 2 3 1 当函数 y 取得最大值时 求自变量 x 的集合 2 该函数的图像可由 y sinx x R 的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到 解 1 y cos2x sinx cosx 1 2cos2x 1 2 1 2 3 4 1 2sinx cosx 1 4 1 4 3 cos2x sin2x cos2x sin sin2x cos 4 1 4 3 4 5 2 1 6 6 4 5 sin 2x 2 1 6 4 5 所以 y 取最大值时 只需 2x 2k k Z 即 x k k Z 6 2 6 96 所以当函数 y 取最大值时 自变量 x 的集合为 x x k k Z 6 2 将函数 y sinx 依次进行如下变换 i 把函数 y sinx 的图像向左平移 得到函数 y sin x 的图像 6 6 ii 把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的倍 纵坐标不变 得到函 2 1 数 y sin 2x 的图像 6 iii 把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的倍 横坐标不变 得到 2 1 函数 y sin 2x 的图像 2 1 6 iv 把得到的图像向上平移个单位长度 得到函数 y sin 2x 的 4 5 2 1 6 4 5 图像 综上得到 y cos2x sinxcosx 1 的图像 2 1 2 3 这类题一般有两种解法 一是化成关于 sinx cosx 的齐次式 降幂后最终化 成 y sin x k 的形式 二是化成某一个三角函数的二次三项式 22 ba 本题 1 还可以解法如下 当 cosx 0 时 y 1 当 cosx 0 时 y 1 1 xx xxx 22 2 cossin cossin 2 3 cos 2 1 x x 2 tan1 tan 2 3 2 1 化简得 2 y 1 tan2x tanx 2y 3 03 tanx R 3 8 y 1 2y 3 0 解之得 y 4 3 4 7 ymax 此时对应自变量 x 的值集为 x x k k Z 4 7 6 例 5 已知函数 3 cos3 3 cos 3 sin 2x xx xf 将f x 写成的形式 并求其图象对称中心的横坐标 sin xA 如果 ABC 的三边 a b c 满足 b2 ac 且边 b 所对的角为 x 试求 x 的 范围及此时函数f x 的值域 解 2 3 33 2 sin 2 3 3 2 cos 2 3 3 2 sin 2 1 3 2 cos1 2 3 3 2 sin 2 1 xxxxx xf 由 0 即 33 2 sin x zk k xzkk x 2 13 33 2 得 97 即对称中心的横坐标为zk k 2 13 由已知 b2 ac 2 3 1 33 2 sin 31 33 2 sin 3 sin 29 5 23 9 5