高中数学求值域的10种方法

第 1 页 共 13 页 求函数值域的十 种方法 一一 直直接接法法 观观察察法法 对于一些比较简单的函数 其值域可通过观察得到 例 1 求函数的值域 1yx 解析 函数的值域为 0 x 11x 1yx 1 练习 1 求下列函数的值域 32 11 yxx xxf 42 1 x x y 4 11 2 xy 2 1 0 1 x 参考答案 1 5 2 1 1 4 1 0 3 二二 配配方方法法 适用于二次函数及能通过换元法等转化为二次函数的题型 形如 的函数的值域问题 均可使用配方法 2 F xafxbf xc 例 2 求函数 的值域 2 42yxx 1 1 x 解析 22 42 2 6yxxx 11x 321x 2 1 2 9x 2 3 2 65x 35y 函数 的值域为 2 42yxx 1 1 x 3 5 例 3 求函数的值域 4 0 42 2 xxxy 解析 本题中含有二次函数可利用配方法求解 为便于计算不妨设 配方得 利用二次函数的相关知识得 0 4 2 xfxxxf 4 0 4 2 2 xxxf 从而得出 4 0 xf 0 2y 说明 在求解值域 最值 时 遇到分式 根式 对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制 本题 为 0 xf 例 4 若 试求的最大值 42 yx0 0 yxyxlglg 第 2 页 共 13 页 分析与解 本题可看成第一象限内动点在直线上滑动时函数的最 P x y42 yxxyyxlglglg 大值 利用两点 确定一条直线 作出图象易得 4 0 0 2 y 1 时 取最 2 0 4 0 2 lglglglg 42 lg 2 1 2 xyxyxyyyy 而yxlglg 大值 2lg 练习 2 求下列函数的最大值 最小值与值域 14 2 xxy 4 3 14 2 xxxy 1 0 14 2 xxxy 5 0 14 2 xxxy 5 x xx y 42 2 4 4 1 x 6 2 23yxx 参考答案 3 2 1 2 1 3 6 5 73 6 4 6 0 2 三三 反反函函数数法法 反函数的定义域就是原函数的值域 利用反函数与原函数的关系 求原函数的 值域 适用类型 分子 分母只含有一次项的函数 即有理分式一次型 也可用于其它易反解出自变量的函 数类型 例 5 求函数的值域 1 2 x x y 分析与解 由于本题中分子 分母均只含有自变量的一次型 易反解出 从而便于求出反函数 x 反解得 故函数的值域为 1 2 x x y y y x 2 2 2 练习 1 求函数的值域 23 32 x y x 2 求函数 的值域 axb y cxd 0 d cx c 参考答案 1 22 33 aa cc 第 3 页 共 13 页 四四 分分离离 变变量量法法 适用类型 1 分子 分母是一次函数的有理函数 可用分离常数法 此类问题一般也可以利用反函数 法 例 6 求函数的值域 1 25 x y x 解 177 25 11 222 2525225 x x y xxx 函数的值域为 7 2 0 25x 1 2 y 1 25 x y x 1 2 y y 适用类型 2 分式且分子 分母中有相似的项 通过该方法可将原函数转化为为 常 xfky 为k 数 的形式 例 7 求函数的值域 1 2 2 xx xx y 分析与解分析与解 观察分子 分母中均含有项 可利用分离变量法 则有 xx 2 22 22 1 1 11 xxxx y xxxx 2 1 1 13 24 x 不妨令 从而 0 1 4 3 2 1 2 xf xf xgxxf 4 3 xf 注意 在本题中若出现应排除 因为作为分母 所以故 0 xf xf 4 0 3 g x 1 3 1 y 另解另解 观察知道本题中分子较为简单 可令 求出 的值域 进而可得到 2 22 11 1 xx t xxxx t 的值域 y 练习 1 求函数的值域 1 322 2 2 xx xx y 参考答案 1 10 2 3 第 4 页 共 13 页 五五 换换元元法法 对于解析式中含有根式或者函数解析式较复杂的这类函数 可以考虑通过换元的 方法将原函数转化为简单的熟悉的基本函数 其题型特征特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型 当 根式里是一次式时 用代数换元代数换元 当根式里是二次式时 用三角换元三角换元 例 8 求函数的值域 212yxx 解 令 则 12tx 0t 2 1 2 t x 22 15 1 24 yttt 当 即时 无最小值 函数的值域为 1 2 t 3 8 x max 5 4 y 212yxx 5 4 例 9 求函数的值域 2 21 1 yxx 解 因 即 2 1 1 0 x 2 1 1x 故可令 1cos 0 x 1cossincos11cosy 2 1 4 sin 2 4 5 44 0 2 sin 1 24 02sin 1 12 4 故所求函数的值域为 21 0 例 10 求函数的值域 3 42 21 xx y xx 解 原函数可变形为 2 22 121 211 xx y xx 可令 X 则有 tan 2 2 22 21 sin2 cos 11 xx xx 11 sin2cos2sin4 24 y 当时 28 k max 1 4 y 当时 28 k min 1 4 y 而此时有意义 tan 第 5 页 共 13 页 故所求函数的值域为 4 1 4 1 例 11 求函数 的值域 sin1 cos1 yxx 12 2 x 解 sin1 cos1 yxx sincossincos1xxxx 令 则 sincosxxt 2 1 sin cos 1 2 xxt 22 11 1 1 1 22 yttt 由 sincos2sin 4 txxx 且 12 2 x 可得 2 2 2 t 当时 当时 2t max 3 2 2 y 2 2 t 32 42 y 故所求函数的值域为 32 3 2 422 例 12 求函数的值域 2 45yxx 解 由 可得 2 50 x 5x 故可令 5cos 0 x 5cos45sin10sin 4 4 y 0 5 444 第 6 页 共 13 页 当时 4 max 410y 当时 min 45y 故所求函数的值域为 4 5 410 六六 判判别别式式法法 把函数转化成关于的二次方程 通过方程有实数根 判别式 x 0F x y 从而求得原函数的值域 形如 不同时为零 的函数的值域 常用此 0 2 111 2 222 a xb xc y a xb xc 1 a 2 a 方法求解 例 13 求函数的值域 2 2 3 1 xx y xx 解 由变形得 2 2 3 1 xx y xx 2 1 1 30yxyxy 当时 此方程无解 1y 当时 1y xR 2 1 4 1 3 0yyy 解得 又 11 1 3 y 1y 11 1 3 y 函数的值域为 2 2 3 1 xx y xx 11 1 3 yy 七七 函函数数的的单单调调性性法法 确定函数在定义域 或某个定义域的子集 上的单调性 求出函数 的值域 例 14 求函数的值域 12yxx 解 当增大时 随的增大而减少 随的增大而增大 x12x x1 2x x 函数在定义域上是增函数 12yxx 1 2 111 1 2 222 y 函数的值域为 12yxx 1 2 第 7 页 共 13 页 例 15 求函数的值域 11yxx 解 原函数可化为 1x1x 2 y 令 显然在上为无上界的增函数 1 1 21 xyxy 21 y y 1 所以在上也为无上界的增函数21 yyy 1 所以当 x 1 时 有最小值 原函数有最大值21 yyy 2 2 2 2 显然 故原函数的值域为 0y 2 0 适用类型 2 用于求复合函数的值域或最值 原理 同增异减原理 同增异减 例 16 求函数的值域 4 log 2 2 1 xxy 分析与解 由于函数本身是由一个对数函数 外层函数 和二次函数 内层函数 复合而成 故可令 配方得 由复合函数的单调性 同增异减 2 4 0 t xxx t x 2 2 4 0 4 t xxt x 所以 知 2 y 八八 利利用用有有界界性性 一般用于三角函数型 即利用等 1 1 cos 1 1 sin xx 例 17 求函数的值域 cos sin3 x y x 解 由原函数式可得 可化为 sincos3yxxy 2 1sin 3yx xy 即 2 3 sin 1 y x x y x R sin 1 1 x x 即 2 3 11 1 y y 解得 22 44 y 第 8 页 共 13 页 故函数的值域为 22 44 注 该题还可以使用数形结合法 利用直线的斜率解题 coscos0 sin3sin3 xx y xx 例 18 求函数的值域 1 2 12 x x y 解 由解得 1 2 12 x x y 1 2 1 x y y 20 x 1 0 1 y y 11y 函数的值域为 1 2 12 x x y 1 1 y 九 图像法 数形 结合法 其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义 如两点的 距离公式直线斜率等等 这类题目若运用数形结合法 往往会更加简单 一目了然 赏心悦目 例 19 求函数的值域 3 5 yxx 解 22 3 5 8 22 x yxx x 3 35 5 x x x 的图像如图所示 3 5 yxx 由图像知 函数的值域为 3 5 yxx 8 例 20 求函数的值域 22 2 8 yxx 解 原函数可化简得 2 8 yxx 上式可以看成数轴上点 P x 到定点 A 2 间的距离之和 8 B 由上图可知 当点 P 在线段 AB 上时 2 8 10yxxAB 当点 P 在线段 AB 的延长线或反向延长线上时 2 8 10yxxAB 8 5 3 o y x 第 9 页 共 13 页 故所求函数的值域为 10 例 21 求函数的值域 22 61345yxxxx 解 原函数可变形为 2222 3 02 2 0 1 yxx 上式可看成 x 轴上的点到两定点的距离之和 0 P x 3 2 2 1 AB 由图可知当点 P 为线段与 x 轴的交点时 22 min 32 2 1 43yAB 故所求函数的值域为 43 例 22 求函数的值域 22 61345yxxxx 解 将函数变形为 2222 3 02 2 0 1 yxx 上式可看成定点 A 3 2 到点 P x 0 的距离与定点到点的距离之差 1 2 B 0 x P 即 yAPBP 由图可知 1 当点 P 在 x 轴上且不是直线 AB 与 x 轴的交点时 如点 则构成 根据三 P ABP 角形两边之差小于第三边 有 22 32 2 1 26APBPAB 即 2626y 2 当点 P 恰好为直线 AB 与 x 轴的交点时 有 26APBPAB 综上所述 可知函数的值域为 26 26 第 10 页 共 13 页 例 23 求函数的值域 x x y cos2 sin3 分析与解 看到该函数的形式 我们可联想到直线中已知两点求直线的斜率的公式 将 12 12 xx yy k 原函数视为定点 2 3 到动点的斜率 又知动点满足单位圆的方程 从而问题 sin cosxx sin cosxx 就转化为求点 2 3 到单位圆连线的斜率问题 作出图形观察易得的最值在直线和圆上点的连线和圆相 切时取得 从而解得 3 326 3 326 y 点评 本题从函数本身的形式入手 引入直线的斜率 结合图形 从而使问题得到巧解 例 24 求函数的值域 xxy 11 分析与解答 令 则 xu 1xv 10 0 vu2 22 vu yvu 原问题转化为 当直线与圆在直角坐标系的第一象限有公共点时 求直线 yvu 2 22 vuuov 的截距的取值范围 由图 1 知 当经过点时 yvu 2 0 2 min y 当直线与圆相切时 222 2 max OCODy 所以 值域为 22 y 2 2 O V UA B C D E 第 11 页 共 13 页 十十 不不等等式式法法 利用基本不等式 求函数的 3 2 3abab abcabc a b cR 最值 其题型特征解析式是和式时要求积为定值 解析式是积时要求和为定值 不过有时需要用到拆项 添项和两边平方等技巧 例 25 求函数的值域 22 11 sin cos 4 sincos yxx xx 解 原函数变形为 22 22 22 22 22 11 sincos sincos 1sec 3tancot 32 tancot 5 yxx xx ces xx xx xx 当且仅当tan cotxx 即当时 等号成立4 xk kz 故原函数的值域为 5 例 26 求函数的值域 2sin sin2yxx 解 4sin sincosyxxx 2 4sincosxx 42 222 2223 16sincos 8sinsin 22sin 8 sinsin22sin 3 64 27 yxx xxx xxx 当且仅当 即当时 等号成立 22 sin22sinxx 2 2 sin 3 x 由可得 2 64 27 y 8 38 3 99 y 故原函数的值域为 8 3 8 3 99 十十一一 多多种种方方法法综综合合运运