2018版高中数学第二章统计2.3.2方差与标准差学案

1 2 3 22 3 2 方差与标准差方差与标准差 1 理解样本数据方差与标准差的意义和作用 会计算数据的方差 标准差 重点 难点 2 掌握通过合理抽样对总体的稳定性水平作出科学估计的思想 难点 基础 初探 教材整理 方差与标准差 阅读教材 P69 P70 例 4 上边的内容 并完成下列问题 1 极差的概念 我们把一组数据的最大值与最小值的差称为极差 2 方差与标准差的概念 1 设一组样本数据x1 x2 xn 其平均数为 则称s2 xi 2为这个 x 1 n n i 1 x 样本的方差 2 方差的算术平方根s 为样本的标准差 1 n n i 1 xi x 2 填空 1 已知样本方差为s2 xi 5 2 则样本的平均数 1 10 n i 1 x1 x2 x10 导学号 11032048 x 解析 由题意得 5 n 10 x 5 x1 x2 x3 x10 50 x x1 x2 x3 x10 10 答案 5 50 2 数据 10 6 8 5 6 的方差s2 解析 5 个数的平均数 7 x 10 6 8 5 6 5 2 所以s2 10 7 2 6 7 2 8 7 2 5 7 2 6 7 2 3 2 1 5 答案 3 2 小组合作型 方差与标准差的计算 1 某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图如图 2 3 7 则该 运动员在这五场比赛中得分的方差为 图 2 3 7 2 设样本数据x1 x2 x10的均值和方差分别为 1 和 4 若yi xi a a为非零常 数 i 1 2 10 则y1 y2 y10的均值和标准差分别为 精彩点拨 根据方差和均值的定义进行计算 自主解答 1 依题意知 运动员在 5 次比赛中的分数依次为 8 9 10 13 15 其 平均数为 11 8 9 10 13 15 5 故方差为s2 8 11 2 9 11 2 10 11 2 13 11 2 15 11 2 1 5 9 4 1 4 16 6 8 1 5 2 样本数据x1 x2 x10的均值 x1 x2 x10 1 x 1 10 方差s 2 x1 1 2 x2 1 2 x10 1 2 4 1 10 新数据x1 a x2 a x10 a的均值 x1 a x2 a x10 a x1 x2 x10 a 1 a x 1 10 1 10 新数据x1 a x2 a x10 a的方差 s2 x1 a 1 a 2 x2 a 1 a 2 x10 a 1 a 2 1 10 x1 1 2 x2 1 2 x10 1 2 4 s 2 1 10 3 答案 1 6 8 2 1 a 2 求样本方差或标准差的步骤 1 求样本的平均数 i x 1 n n i 1 x 2 利用公式s2 xi 2求方差s2 1 n n i 1 x 3 利用s 求标准差s s2 再练一题 1 样本中共有五个个体 其值分别为a 0 1 2 3 若该样本的平均值为 1 则样本方 差为 解析 由题意知 a 0 1 2 3 1 解得a 1 所以样本方差为 1 5 s2 1 1 2 0 1 2 1 1 2 2 1 2 3 1 2 2 1 5 答案 2 方差与标准差的应用 甲 乙两台机床同时加工直径为 100 cm 的零件 为检验质量 各从加工的零 件中抽取 6 件测量 所得数据为 甲 99 100 98 100 100 103 乙 99 100 102 99 100 100 1 分别计算两组数据的平均数与方差 2 根据计算的结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定 精彩点拨 求平均数计算方差 根据方差的大小进行判断 自主解答 1 甲 99 100 98 100 100 103 100 x 1 6 乙 99 100 102 99 100 100 100 x 1 6 s 99 100 2 100 100 2 98 100 2 100 100 2 100 100 2 甲 1 6 2 103 100 2 7 3 4 s 99 100 2 100 100 2 102 100 2 99 100 2 100 100 2 乙 1 6 2 100 100 2 1 2 两台机床所加工零件的直径的平均值相同 又s s 2 甲2 乙 所以乙机床加工零件的质量更稳定 1 方差和标准差都是反映一组数据波动情况的特征数 常用来比较两组数据的波动大 小 方差 标准差越大 数据的离散程度越大 方差 标准差越小 数据的离散程度越小 或数据越集中 稳定 2 比较两组数据的异同点 一般情况是从平均数及方差或标准差这两个方面考虑 再练一题 2 甲 乙两位学生参加数学竞赛培训 在培训期间他们参加 5 次测试 成绩记录如下 甲 78 76 74 90 82 乙 90 70 75 85 80 现要从中选派一人参加数学竞赛 从统计学的角度考虑 应选择 同学 填 甲 或 乙 解析 甲 80 乙 80 xx 而s 78 80 2 76 80 2 74 80 2 90 80 2 82 80 2 32 2 甲 1 5 s 90 80 2 70 80 2 75 80 2 85 80 2 80 80 2 50 2 乙 1 5 甲 乙 s s xx2 甲2 乙 从统计学的角度考虑 选甲参加更合适 答案 甲 探究共研型 平均数 方差的性质 探究 1 方差与原始数据的单位相同吗 为什么 标准差的取值范围如何 s 0 表示 怎样的意义 提示 由于方差进行了平方运算 故方差的单位是原始数据单位的平方 从而标 准差的单位与原始数据的单位相同 由标准差的定义知s 0 当s 0 时 表示所有的样 本数据都相同 5 探究 2 所有样本数据均加上一个常数 其平均数 方差改变吗 若所有样本数据均 乘以一个非零常数时 结果又会怎样 提示 设样本x1 x2 xn的平均数为 方差为s2 则样本 x x1 b x2 b xn b的平均数为 b 方差为s2 样本ax1 ax2 axn的平均数 x 为a 方差为a2s2 x 从某班抽取 5 名学生测量身高 单位 cm 数据如下 161 163 162 165 164 求这 5 名学生身高的平均数及标准差 精彩点拨 本题可用两种解法 方法一是直接套公式计算 方法二把原数据统一减去一个常数 160 通过新数据的平均数 方差求解 自主解答 法一 身高的平均数 x 163 cm 161 163 162 165 164 5 标准差s 1 5 161 163 2 163 163 2 162 163 2 165 163 2 164 163 2 cm 2 法二 将原数据都减去 160 之后得到一组新数据为 1 3 2 5 4 新数据的平均数 1 3 2 5 4 3 x 1 5 新数据的方差s 2 1 3 2 3 3 2 2 3 2 5 3 2 4 3 2 2 1 5 由平均数及方差的性质得 原数据的平均数 160 3 163 cm x 原数据的标准差s cm s 22 1 平均数 方差具有以下性质 1 数据x1 x2 xn与数据x1 x1 a x2 x2 a xn xn a的方差相 等 即数据经过平移后方差不变 2 若x1 x2 xn的平均数为 方差为s2 那么mx1 a mx2 a mxn a的 x 平均数为m a 方差为m2s2 x 2 利用以上性质可使平均数 方差的计算变得简单 6 再练一题 3 已知k1 k2 kn的方差为 5 则 3 k1 4 3 k2 4 3 kn 4 的方差为 解析 设k1 k2 kn的平均数为 则 3 k1 4 3 k2 4 3 kn 4 的 k 平均数为 3 4 k s2 3 ki 4 3 4 2 3 ki 2 9 ki 2 9 5 45 1 n n i 1 k 1 n n i 1 k 1 n n i 1k 答案 45 1 下列叙述不正确的是 填序号 样本的平均数可以近似地描述总体的平均水平 极差描述了一组数据变化的幅度 样本的方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小 一个班级的数学成绩的方差越大说明成绩越稳定 解析 选项 都是对三个基本概念的正确描述 方差越大说明一组数据围绕 平均数的波动越大 所以 一个班级的数学成绩的方差越大 说明成绩越不稳定 因此选 项 是不正确的 故选 答案 2 甲 乙 丙 丁四人参加奥运会射击项目选拔赛 四人的平均成绩和方差见表 甲乙丙丁 平均数 x 8 58 88 88 方差s2 3 53 52 18 7 则参加奥运会的最佳人选应为 解析 由平均数及方差的定义知 丙的平均成绩较高且较稳定 答案 丙 3 若 1 2 3 x的平均数是 5 而 1 3 3 x y的平均数是 6 则 1 2 3 x y的方差 是 解析 由 5 得x 14 1 2 3 x 4 同理y 9 由s2 12 22 32 142 92 5 82 24 56 1 5 7 答案 24 56 4 已知样本 9 10 11 x y的平均数是 10 方差是 4 则xy 解析 由题意得 Error 整理得Error 2 得 2xy 182 xy 91 答案 91 5 假定下述数据是甲 乙两个供货商的交货天数 甲 10 9 10 10 11 11 9 11 10 10 乙 8 10 14 7 10 11 10 8 15 12 根据两个供货商的交货情况 并计算哪个供货商交货时间短一