高二数学反证法测试题

由莲山课件提供 资源全部免费 由莲山课件提供 资源全部免费 选修选修 2 22 2 2 反证法反证法 一 选择题 1 否定结论 至多有两个解 的说法中 正确的是 A 有一个解 B 有两个解 C 至少有三个解 D 至少有两个解 答案 C 解析 在逻辑中 至多有 n 个 的否定是 至少有 n 1 个 所以 至多有两个解 的否定为 至少 有三个解 故应选 C 2 否定 自然数 a b c 中恰 由莲山课件提供 资源全部免费 由莲山课件提供 资源全部免费 有一个偶数 时的正确反设为 A a b c 都是奇数 B a b c 或都是奇数或至少 有两个偶数 C a b c 都是偶数 D a b c 中至少有两个偶数 答案 B 解析 a b c 三个数的奇 偶 性有以下几种情况 全是奇数 有两个奇数 一个偶数 有一个奇 数 两个偶数 三个偶数 因为要否 定 所以假设应为 全是奇数或至 少有两个偶数 故应选 B 3 用反证法证明命题 三角形 由莲山课件提供 资源全部免费 由莲山课件提供 资源全部免费 的内角中至少有一个不大于 60 时 反设正确的是 A 假设三内角都不大于 60 B 假设三内角都大于 60 C 假设三内角至多有一个大于 60 D 假设三内角至多有两个大于 60 答案 B 解析 至少有一个不大于 的否定是 都大于 60 故应选 B 4 用反证法证明命题 若整 系数一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 有有理根 那么 由莲山课件提供 资源全部免费 由莲山课件提供 资源全部免费 a b c 中至少有一个是偶数 时 下列假设正确的是 A 假设 a b c 都是偶数 B 假设 a b c 都不是偶数 C 假设 a b c 至多有一个偶 数 D 假设 a b c 至多有两个偶 数 答案 B 解析 至少有一个 反设词 应为 没有一个 也就是说本题应 假设为 a b c 都不是偶数 5 命题 ABC 中 若 A B 则 a b 的结论的否定应 由莲山课件提供 资源全部免费 由莲山课件提供 资源全部免费 该是 A ab 的否定应为 a b 或 a0 x1 1 且 xn 1 n 1 2 试证 xn x o al 2 n 3 3x2 n 1 数列 xn 或者对任意正整数 n 都满 足 xnxn 1 当此题用反证法否定 结论时 应为 A 对任意的正整数 n 都有 xn xn 1 B 存在正整数 n 使 xn xn 1 C 存在正整数 n 使 xn xn 1 且 xn xn 1 D 存在正整数 n 使 xn xn 1 xn xn 1 0 答案 D 解析 命题的结论是 对任意 正整数 n 数列 xn 是递增数列或是 递减数列 其反设是 存在正整数 n 使数列既不是递增数列 也不是递 由莲山课件提供 资源全部免费 由莲山课件提供 资源全部免费 减数列 故应选 D 二 填空题 11 命题 任意多面体的面至 少有一个是三角形或四边形或五边 形 的结论的否定是 答案 没有一个是三角形或四 边形或五边形 解析 至少有一个 的否定 是 没有一个 12 用反证法证明命题 a b N ab 可被 5 整除 那么 a b 中至少有一个能被 5 整除 那 么反设的内容是 由莲山课件提供 资源全部免费 由莲山课件提供 资源全部免费 答案 a b 都不能被 5 整除 解析 至少有一个 的否定 是 都不能 13 用反证法证明命题 一 个三角形中不能有两个直角 的过 程归纳为以下三个步骤 A B C 90 90 C 180 这与三角形内角和为 180 相矛盾 则 A B 90 不成 立 所以一个三角形中不能有两 个直角 假设 A B C 中有两 个角是直角 不妨设 A B 90 由莲山课件提供 资源全部免费 由莲山课件提供 资源全部免费 正确顺序的序号排列为 答案 解析 由反证法证明的步骤知 先反证即 再推出矛盾即 最后 作出判断 肯定结论即 即顺序应 为 14 用反证法证明质数有无限 多个的过程如下 假设 设全体 质数为 p1 p2 pn 令 p p1p2 pn 1 显然 p 不含因数 p1 p2 pn 故 p 要么是质数 要 由莲山课件提供 资源全部免费 由莲山课件提供 资源全部免费 么含有 的质因 数 这表明 除质数 p1 p2 pn 之外 还有质数 因此原假设不成 立 于是 质数有无限多个 答案 质数只有有限多个 除 p1 p2 pn之外 解析 由反证法的步骤可得 三 解答题 15 已知 a b c 0 ab bc ca 0 abc 0 求证 a 0 b 0 c 0 证明 用反证法 假设 a b c 不都是正数 由 abc 0 可知 这三个数中必有两个为负数 由莲山课件提供 资源全部免费 由莲山课件提供 资源全部免费 一个为正数 不妨设 a 0 b0 则由 a b c 0 可得 c a b 又 a b 0 c a b a b a b ab c a b a b a b ab 即 ab bc ca0 ab 0 b2 0 a2 ab b2 a2 ab b2 0 即 ab bc ca0 矛盾 由莲山课件提供 资源全部免费 由莲山课件提供 资源全部免费 所以假设不成立 因此 a 0 b 0 c 0 成立 16 已知 a b c 0 1 求证 1 a b 1 b c 1 c a 不能同时 大于 1 4 证明 证法 1 假设 1 a b 1 b c 1 c a 都大于 1 4 a b c 都是小于 1 的正数 1 a 1 b 1 c 都是正数 1 a b 2 1 a b 1 4 1 2 由莲山课件提供 资源全部免费 由莲山课件提供 资源全部免费 同理 1 b c 2 1 2 1 c a 2 1 2 三式相加 得 1 a b 2 1 b c 2 1 c a 2 3 2 即 矛盾 3 2 3 2 所以 1 a b 1 b c 1 c a 不 能都大于 1 4 证法 2 假设三个式子同时大于 1 4 即 1 a b 1 b c 1 c a 1 4 1 4 1 4 由莲山课件提供 资源全部免费 由莲山课件提供 资源全部免费 三式相乘得 1 a b 1 b c 1 c a 3 1 4 因为 0 a 1 所以 0 a 1 a 2 1 a a 2 1 4 同理 0 b 1 b 0 c 1 c 1 4 1 4 所以 1 a a 1 b b 1 c c 3 1 4 因为 与 矛盾 所以假设不成 由莲山课件提供 资源全部免费 由莲山课件提供 资源全部免费 立 故原命题成立 17 已知函数 f x 是 上 的增函数 a b R 1 若 a b 0 求证 f a f b f a f b 2 判断 1 中命题的逆命题是否 成立 并证明你的结论 解析 1 证明 a b 0 a b 由已知 f x 的单调性得 f a f b 又 a b 0 b a f b f a 由莲山课件提供 资源全部免费 由莲山课件提供 资源全部免费 两式相加即得 f a f b f a f b 2 逆命题 f a f b f a f b a b 0 下面用反证法证之 假设 a b 0 那么 Error f a f b f a f b 这与已知矛盾 故只有 a b 0 逆命题得证 18 2010 湖北理 20 改编 已 知数列 bn 的通项公式为 bn n 1 求 1 4 2 3 由莲山课件提供 资源全部免费 由莲山课件提供 资源全部免费 证 数列 bn 中的任意三项不可能成 等差数列 解析 假设数列 bn 存在三项 br bs bt r sbs br 则只 2 3 可能有 2bs br bt成立 2