归纳推理教学设计

1 1 1 归纳推理归纳推理 授课人 杨绍慧授课人 杨绍慧 1 教材版本教材版本 北师大版高中数学选修 2 2 二 教材的地位和作用二 教材的地位和作用 推理与证明思想贯穿于高中数学的整个知识体系 选修 2 2 第一章 推理 与证明 是新课标教材的亮点之一 本章内容分为推理与证明两部分 其中第 一节 归纳与类比 将归纳推理与类比推理的一般方法进行了必要的总结和归 纳 同时也对后继知识的学习起到引领的作用 三 课时划分三 课时划分 归纳与类比 的教学分两个课时完成 第一课时内容为归纳推理 第二课 时内容为类比推理 本节课为第一课时 四 三维教学目标四 三维教学目标 1 知识与技能目标 理解归纳推理的概念 了解归纳推理的作用 掌握归纳推理的一般步骤 会利用归纳进行一些简单的归纳推理 2 过程与方法目标 学生通过积极主动地参与课堂活动 经历归纳推理概念的获得过程 了解 归纳推理的含义 通过体验哥德巴赫猜想 多面体的欧拉定理的产生过程 增强 学生的成功体验 并由此认识利用归纳推理能猜测和发现一些新事实 得出新 结论的作用并明确归纳推理的一般过程 通过具体解题 感受归纳推理探索和 提供解决问题的思路和方向的作用 通过自主学习归纳推理的一般方法 建构 归纳推理的思维方式 3 情感态度与价值观目标 运用数学史实 数学家的事迹激励学生 促其积极向上 形成良好品德素 质 通过主动探究 合作学习 相互交流 培养不怕困难 勇于探索的优良作 风 增强了数学应用意识 通过体会成功 形成学习数学知识 了解数学文化 的积极态度 通过我国古今数学领域数学家杨辉和陈景润取得的杰出成就和事 迹 培养学生的民族自尊心和自豪感 增强热爱祖国的思想感情 五 教学重点五 教学重点 归纳推理的含义与作用 六 教学难点六 教学难点 利用归纳推理进行简单的合情推理 7 教学方法教学方法 启发发现法 问题谈论法 2 8 8 教学过程设计教学过程设计 情景引入情景引入 请同学们打开课本 第一章是 推理与证明 当大家看到推理二字时可 能想到更多的是和我们的生活有密切联系 情景 1 警察破案的推理判断 情景 2 医生诊断病情 其实我们数学学科中 也有很多推理的例子 引出 情景 3 数学中的一个推理 两直线相交 对顶角相等 和是对顶角1 2 由 和 得 12 思考交流思考交流 请同学们举出一些日常生活和学习中进行推理的例子 通过同学们的踊跃发言及时引导 关键是分析由已知到未知的思维过程 提出问题提出问题 问题问题 1 1 什么叫推理 什么叫推理 教师通过刚才举的一些例子 分析得出推理的含义 由一个或几个已知的 判断 前提 推导出一个未知的结论的思维过程 并对推理做出两点说明 1 推理一般包括合情推理和演绎推理 2 归纳推理和类比推理是最常见的合情推理 此时引入 法国著名数学家 天文学家拉普拉斯 P S Laplace 1749 1827 曾说 在数学这门科学里 我们发现真理的主要工具是归纳和类比 由此说明归纳推理和类比推理的重要性 今天的学习内容是其中的归纳推理 并引出 问题问题 2 2 怎样的推理是归纳推理呢 怎样的推理是归纳推理呢 既然发现数学真理是有这样一种归纳推理的方法 我们可以追溯数学家的 脚步去追寻 他们通过归纳发现了哪些真理 或者是得到了哪些重要的结论 来看以下的例题 例例 1 1 观察以下各等式 试通过归纳 猜想出有关正整数的结论 观察以下各等式 试通过归纳 猜想出有关正整数的结论 6 3 36 3 3 8 3 58 3 5 10 3 710 3 7 12 5 712 5 7 14 7 714 7 7 16 5 1116 5 11 通过学生交流讨论 观察分析可以得出结论 一个大于 4 的偶数可以表示 成两个奇素数之和 告诉同学们 这就是著名的哥德巴赫猜想 激发同学们的成功体验 并对 哥德巴赫及哥德巴赫猜想作介绍 关于哥德巴赫猜想大数学家欧拉没有给出证明 几百年过去了依然没有人 给出证明 但是提到哥德巴赫猜想的时候不得不提的就是我国著名数学家陈景 润 1973 年 数学奇才陈景润发表了著名论文 大偶数表示为一个素数与不超 过两个素数乘积之和 1 2 把几百年来人们未曾解决的哥德巴赫猜想 的证明大大推进了一步 引起轰动 在国际上被命名为 陈氏定理 他有着 超人的勤奋和顽强的毅力 多年来孜孜不倦地致力于数学研究 废寝忘食 每 3 天工作 16 个小时以上 在遭受疾病折磨时 他都没有停止过自己的追求 为数 学事业的发展作出了重大贡献 他的事迹和拼搏献身的精神在全国各地广为传 颂 成为一代又一代青少年心目中传奇式的人物和学习楷模 教师通过对陈景润的事迹进行介绍 培养学生的民族自尊心和自豪感 增 强热爱祖国的思想感情 例例 2 2 在一个凸多面体中 试通过归纳 猜想其顶点数 在一个凸多面体中 试通过归纳 猜想其顶点数 V V 棱数 棱数 E E 面数面数 F F 满足的关系 满足的关系 教师通过对三棱锥 长方体 十二面体等多面体顶点数 V 棱数 E 面数 F 的分析并结合表格 多面体顶点数 V 棱数 E 面数 F 三棱锥464 四棱锥585 五棱锥6106 三棱柱695 五棱柱10157 长方体8126 八面体6128 十二面体203012 得出结论 多面体的欧拉定理 教师在此对大数学家欧拉作简单介绍 莱昂哈德 欧拉 Leonhard Euler 1707 年 4 月 1783 年 9 月 瑞士数学家 自然科学家 13 岁时入读巴塞 尔大学 15 岁大学毕业 16 岁获得硕士学位 他从 19 岁开始发表论文 直到 76 岁 他那不倦的一生 共写下了 886 本书籍和论文 其中在世时发表了 700 多篇论文 彼得堡科学院为了整理他的著作 整整用了 47 年 欧拉著作惊人的 高产并不是偶然的 他那顽强的毅力和孜孜不倦的治学精神 可以使他在任何 不良的环境中工作 他常常抱着孩子在膝盖上完成论文 即使在他双目失明后 的 17 年间 也没有停止对数学的研究 口述了好几本书和 400 余篇的论文 当 他写出了计算天王星轨道的计算要领后离开了人世 通过欧拉的事迹 引导同学们要有克服困难 顽强的毅力和孜孜不倦的治 学精神 打出字幕 欧拉永远是我们可敬的老师 通过这两个例子的分析 讲解 引导同学们得出归纳推理的概念 所谓归 纳推理 就是根据某一类事物的部分对象具有某种性质 推出这类事物的所有 对象都具有这种性质的推理 叫做归纳推理 简称归纳 简单点说就是 由 部分到整体 由个别到一般 在此基础上提出 问题问题 3 3 上述的归纳推理是怎样的过程呢 上述的归纳推理是怎样的过程呢 即如何进行归纳推理 由学生总结出归纳推理的思维过程 V E F 2 猜测一般性结论 观察 实验 推广 概括 4 初步运用初步运用 1 1 已知下列不等式 已知下列不等式 33 32 3 2 23 22 3 2 13 12 3 2 试归纳出一般性的结论 试归纳出一般性的结论 这个问题让学生充分思考 看学生归纳的结果是否符合归纳推理的形式 并引导学生对归纳的结论进行证明 在此基础上提出 问题问题 4 4 归纳推理的结论是否成立呢 归纳推理的结论是否成立呢 从归纳推理前提和结论之间的关系分析不难发现 归纳推理的结论不一定 正确 并引导学生看课本上的一段话 1640 年 著名数学家费马对形如 的数进行计算时发现当时对应的都是素数 也是素122 n 3 2 1 n122 n 12 4 2 数 于是 他归纳出一个猜想 所有形如 的数都是素122 n 3 2 1 n 数 对于大一点的 验证这个猜想是很难的事情 直至近百年后的 1732 年 n 瑞士数学家欧拉发现不是素数 从而否定了这个猜想 670041764112 5 2 至此 下一个问题可以自然地提出来了 问题问题 5 5 归纳推理所得的结论并不可靠 为什么还要学习归纳推理呢 归纳推理所得的结论并不可靠 为什么还要学习归纳推理呢 让学生充分思考 并发言 积极引导 并得出 由于事物的普遍性寓于事物的特殊性之中 归纳可以 为我们提出论断的猜想提供基础与依据 它是一种重要的思维方法 是发现数 学定理的一个重要方法 2 2 课后第 课后第 7 7 页页 练习练习 1 1 杨辉三角的前五行是杨辉三角的前五行是 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 3 3 3 3 1 1 1 1 4 4 6 6 4 4 1 1 试写出第试写出第 8 8 行 并归纳 猜想出一般规律 行 并归纳 猜想出一般规律 让学生充分思考 并发言 再介绍我国古代数学家杨辉 以及杨辉三角这 一发现比欧洲发现这一规律要早近 400 年 其实 中国古代数学家在数学的许 多重要领域中处于遥遥领先的地位 中国古代数学