小学数学培优竞赛分数大小的比较带答案

1 分数大小的比较参考答案 知识要点 我们已经掌握了基本的比较整数 小数 分数大小的方法 本专题将进一步研究如 何比较一些较复杂的数或式子的值的大小 解答这种类型的题目时 常需要将原题进行各种形式的转化 再利用一些不等式的 性质进行推理判断 如那么 如果那么如果那么0 ab 22 ab 0 ab 11 ab 1 0 a b b 等等 ab 一 分数大小的比较 1 分母相同的两个分数 分子大的分数比较大 2 分子相同的两个分数 分母大的分数比较小 分母小的分数比较大 3 分子 分母都不相同的两个分数 运用分数的基本性质 把它们化成分母相同 或分子相同 而大小不变的两个分数 再作比较 二 分数的特点和基本运算性质 性质 1 如果是一个真分数 是一个自然数 则 b a 0m bbm aam 性质 2 如果是一个分子大于分母的假分数 是一个自然数 则 b a 0m bbm aam 性质 3 如果 那么 bd ac bbdd aacc 性质 4 如果有两个分数和 那么当时 必有 反之 若 b a 0 d ac c bd ac bcad 则必有 其中都是自然数 bcad bd ac a b c d 一 通分比较大小 典型例题 例 1 将下面各组中的分数按从大到小的顺序排列 1 2 5 711 37 8 12 20 60 30 15 20 12 27 13 17 11 解析 1 采用分母通分 得到 比较各分数的分 5757701166 3774 8120 12120 20120 60120 子的大小不难发现 537711 8601220 2 采用分子通分的方法不难判定 20153012 17132711 注 1 通分有两种方式 一种是分母通分 一种是分子通分 具体采用哪一种 关键是 观察各分数的分子和分母的特征 2 练习一 1 在分数中最大的是哪一个 最小的是哪一个 56 15 10 13 17 33 23 解析 采用分子通分的方法不难判定 151056 33231317 2 把下列分数按从大到小的顺序排列起来 37 29 23 59 20 15 12 30 解析 采用分母通分的方法不难判定 59292337 30151220 3 比大 比 小的分数有无穷多个 现在请你写出三个 2 3 3 4 解析 即满足要求 注意这类题的解题方法 2832 3936 3311 3417 35 31248 41248 4816 4824 48 二 巧妙利用 1 比较分数的大小 比较两个分数的大小时 如果要比较的两个分数都接近 1 时 可先 1 减去原分数 再 根据被减数相等 都是 1 减数越小 差越大的道理判断原分数的大小 例 2 比较和的大小 77773 77778 88884 88889 解析 通分显然不太可取 考虑到其中每一个分数都与 1 接近 所以不妨借助于 1 来 帮助我们比较大小 即 7777358888455555 1 1 11 7777877778 8888988889 77778888897777888889 7777388884 7777888889 练习二 1 比较和的大小 7777775 7777777 6666661 6666663 解析 通分显然不太可取 考虑到其中每一个分数都与 1 接近 所以不妨借助于 1 来 帮助我们比较大小 77777752666666122222 1 1 11 77777777777777 66666636666663 6666663777777766666637777777 即 77777756666661 77777776666663 2 将按从小到大的顺序排列出来 98765 9876 987 98 98766 9877 988 99 解析 所以 9876519876198719811111 1 1 1 1 9876698766 98779877 988988 9999 99988987798766 3 98987987698765 99988987798766 三 巧用 倒数 比较分数的大小 如果两个分数的倒数非常接近 则我们可以先用 1 分别除以这两个数 再根据被除 数相等 商越小 除数越大的道理判断原分数的大小 例 3 比较和的大小 111 1111 1111 11111 解析 和的倒数分别是 111 1111 1111 11111 11111111111 10 10 111111 11111111 11 1010 1111111 因此 111111111 1111111 1111111 111111111 练习三 1 比较和的大小 333 1666 a 33 166 b 解析 333 1133 1111 5 5 166633316633 abab abba 2 比较和的大小 111111110 222222221 a 444444443 888888887 b 解析 111111110 11444444443 1111 2 2 222222221111111110888888887444444443 abba abab 四 利用分数的性质比较大小 例 4 比较和的大小 77771 77775 a 88883 88887 b 解析 方法 1 利用 1 比较大小 777714888834 1 1 77775777758888788887 abab 方法 2 利用倒数比较大小 方法 3 通分比较大小 方法 4 利用分数的性质比较大小 因为 7777177771 1111288883 7777577775 1111288887 ab 练习四 1 1 比较和的大小 2 比较和的大小 666665 666667 777776 777778 33331 33335 a 22223 22225 b 解析 1 前者小于后者 用上述几种方法都可以证明 2 利用与 1 比较和简单的通分 ab 2 将分别填在下面的各 中 使下面的不等式成立 73 468925 51 84 57 100 36 62 4 解析利用性质 1 可以直接判断 2546517389 36576284100 3 如果 那么在括号中可以填的自然数有多少个 141 8 3 解析因为 即所以括号内可以填的数有这个范围内 141 8 3 444 32 12 13 31 的任何一个都可以 共有 19 个 五 变形比较分数的大小 除了将分数比较大小转化为比差 比商等形式外 还常常要根据算式的特点将它作 适当的变形后再进行判断 例 5 比较的积与 0 25 比较 哪个大246810121416 解析 设则 13579111315246810121416 246810121416357911131517 ab ab 所以由不等式的性质 2 1111 0 25 16444 abaaaaba 练习五 1 比较的积与比较 哪个大 13579111315313335 246810121416323436 1 6 解析 设 则 所 13579113133352468103436 246810123234363579113536 ab ab 以由不等式的性质 2 1111 36666 abaaaaba 2 比较的积与比较 哪个大 135791113159799 24681012141698100 a 1 10 解析 思路与上述两题完全一样 这里从略 1 10 a 六 分数运算的综合应用问题 例 6 满足下式的最小是多少 n 11111949 1 22 33 4 1 1998nn 解析 原不等式左边等于所以 11111111949 1 22334111998 n nnn 即 所以最小是 40 19981949 1 nn 491949 19494939 7nn n 练习六 5 1 下面的五个分数中 按从小到大的顺序排列 在中间的分数是哪一个 第四届 华杯赛 少年数学邀请赛初赛试题 2 5 15 10 12 3 8 23 17 19 解析 利用分子通分不难说明中间数是 10 5 12 15 2 17 8 19 23 3 2 设与的大小关系是怎样的 吉林省第八届小 111111110444444443 222222221888888887 ab ab 学数学邀请赛试题 解析 111111110444444440 4444444403444444443 222222221888888884 8888888843888888887 abab 3 设试比较的大小 2001 年全国小学数学奥林匹克决赛试 29293031 62626160 ab a b 题 解析 注意分数的分母与分子变化时 分数 29292929293031293031 62626262626262626160 ab 的大小变化 例 7 已知为连续自然数 求与 小学生数学报 第五届小学 4 19519 xy x y xy 生数学邀请赛初赛试题 解析 利用分母通分所 5476576 5 19 95 5765 1995 595 19955 xxyy xy xy 以 15 16x 练习七 1 在 里填入适当的数 使不等式成立 里应填的数是多少 17 0 250 26 解析 原不等式化为 117131717 78 13850 65 66 67 4 5068 xxxx xx 注意 类似的题目可能是多解问题 2 将下面的六个分数 按从小到大的顺序排列 排在第三个位置上的分数是哪一个 吉林省第五届 我爱中华 小学数学夏令营竞赛试题 36 60 24 72 12 48 41 67 29 83 13 59 解析 利用分子通分 考虑到由此得 36 60 72 12 48 60 72 48 12 5 6 4 720 到因此从小到大的顺序是 36720 60720 24720 72720 12720 48720 41820 67794 29870 83830 13780 59885 所以第三位上的分数是 482472366012 592983416713 72 83 6 课后精练与思考题 1 比较下面的两个乘积的大小 A B9 8732 7 2345 9 8733 7 2344 AB 解析 两个数的和相等 则相差越小的两个数的乘积越大 所以 AB 2 比较和的大小 235861 235862 a 652971 652974 b 解析 所以 23586116529713111 1 11 235862235862652974652974217658 217658235862 ab ba 3 比较和的大小 8888887 8888889 a 9999991 9999994 b 解析 8888887 1269999991 136 11 11 88888898888887266666619999994999999119999982 ab ab 11 ab ba 4 比较的积与 0 002 比较 哪个大 46810121000000 57911131000001 解析 46810121000000 0 002 57911131000001 5 下面的几个分数算式中 哪一个答数最小 它的答数是多少 35 520 36 620 37 720 38 820 39 920 310 1